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浙江省金丽衢十二校2016届高三数学上学期第一次联考试题 文


金丽衢十二校 2015 学年高三第一次联考 数学试卷(文科)
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间 120 分钟. 试卷总分为 1 50 分.请考生将所有 试题的答案涂、写在答题纸上. 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ▲ ) A.y=0 B.y=sin2x x -x C.y=x+lgx D.y=2 +2 2.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a3 ? a4 ? 5 ,则 S 6 =( ▲ ) A.5 B. 10 C.15 D.20 3.已知 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是( ▲ ) A.若 l //? , m //? ,则 l //m B.若 l ? m , m //? ,则 l ? ? C.若 l ? m , l ? ? ,则 m //? D.若 l ? ? , m ? ? ,则 l //m 4.设两直线 l1: (3+m)x+4y=5-3m 与 l2:2x+(5+m)y=8,则“l1∥l2”是“m<-1”的( ▲ ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.若函数 f ( x) ? A.2
2x ? a x ?1
2

(a ? 2) 在区间(1,+∞)上的最小值为 6,则实数 a 的值为( ▲ )

3 B. 2
x
2

C.1
? y
2

1 D. 2

6.已知 F1、F2 分别是椭圆 C:

? 1 (a>b>0)的左、右焦点.若椭圆 C 上存在点 P, 2 2 a b 使得线段 PF1 的中垂线恰好经过焦点 F2,则椭圆 C 离心率的取值范围是( ▲ ) 2 1 2 1 1 A.[ ,1) B.[ , ] C.[ ,1) D.(0, ] 3 3 2 3 3 a?b? a?b 2

7.设 a,b∈R,定义: M( a, b) ?

, m( a, b) ?

a?b? a?b 2

.下列式子错误的是

( ▲ ) A.M(a,b)+ m(a,b)= a+b B.m(|a+b|,|a-b|)=| a|-|b| C.M(|a+b|,|a-b|)=| a|+|b| D.m(M(a,b), m (a,b))= m(a,b) 8.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, c ? b ? 6, c ? b ? a ? 2 ,且 O 为此三 角形的内心,则 AO ? CB ? ( ▲ A.4 B.5

??? ? ???

) C. 6 D.7

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. 9. 已知全集 U=R, 集合 A ? x x ≥ 2 ,B ? x 0 ≤ x ? 5 , 则 A? B ?

?

?

?

?



, (CUA) ? B=
1



. ▲ , 该双曲线的渐近线方程为 ▲ .

y2 2 10. 若双曲线 -x =1 的一个焦点为(0,2), 则 m= m

? ?? ? ?tan ? ( x ? 1) ? , 0 ? x ≤ 1 11.设函数 f ( x) ? ? ? 2 ,则 f ? f ?e?? ? ? ? ln x, x ?1 ?
点为 ▲ . 12.某几何体的三视图如图所示(单位:cm) , 则该几何体的体积是 ▲ ,表面积为 ▲



,函数 y ? f ( x) ? 1 的零

1 1 . 3
正视图

3 2
侧视图

13.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, 3 2 AD 为边 BC 上的高.已知 AD = a,A= π ,b=1, 6 3 1 则 c+ 的值为 ▲ .

俯视图 第 12 题图

c

?x ≥ m ? 14.设 m∈R,其中实数 x,y 满足 ?2 x ? 3 y ? 6 ≥ 0 . 若| x+2y |≤18,则实数 m 的最小值 ? ?3 x ? 2 y ? 6 ≤ 0
是 ▲ .
2

15.已知函数 f(x)=x -(3+2a)x+6a,其中 a>0. 若有实数 b 使得

)≤0, 成立,则实数 ? ff ((b b ?1)≤0
2

a 的取值范围是 ▲ . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分. 解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题 14 分) 已知向量 a ? (sin x,2 sin x) , b ? (2 cos x,? sin x) ,函数 f(x)= a ? b . (Ⅰ) 求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ) 求函数 y ? f ( x) 在 [?

? 3?

, ] 上的值域. 4 8

17 . ( 本小题 15 分 ) 在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥平面 ABCD ,底面 ABCD 为直角梯形,

? CDA= ? BAD=90°,AB=AD=2DC=2 2,PA=4 且 E 为 PB 的中点.
(Ⅰ) 求证:CE//平面 PAD; (Ⅱ) 求直线 CE 与平面 PAC 所成角的正切值. P

E

A

B
2

D

C
第 17 题图

18.(本小题 15 分) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=a(a≠-2),an+1=2Sn+2 ,n∈N*. n (Ⅰ) 设 bn=Sn+2 .求证:数列{bn}是等比数列; (Ⅱ) 若数列{an}是单调递增数列,求实数 a 的取值范围.

n

19.(本小题 15 分) 已知函数 f ( x) ? loga (a2 x ? t ), 其中 a ? 0 且 a ? 1 . (Ⅰ) 当 a ? 2 时,若 f ( x) ? x 无解,求 t 的范围; 求 t 的范围. (Ⅱ) 若存在实数 m,n( m ? n ) ,使得 x ? ?m, n? 时,函数 f ? x ? 的值域都也为 ? m, n? ,

3

20.(本小题 15) 分已知抛物线 C:y=ax (a>0),过点 P(0,1)的直线 l 交抛物线 C 于 A、B 两点. 1 (Ⅰ) 若抛物线 C 的焦点为(0, ) ,求该抛物线的方程; 4 (Ⅱ) 已知过点 A、B 分别作抛物线 C 的切线 l1、l2,交于点 M,以线段 AB 为直径的圆经 过点 M,求实数 a 的值.
1 F (0, ) 4

2

4

金丽衢十二校 2015 学年高三第一次联考 数学试卷(文科)参考答案 一、选择题.每小题 5 分 ,共 40 分. 1 C 2 C 3 D 4 A 5 B 6 C 7 B 8 C

二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. 9. x x ? 0 , x 0 ? x ? 2 . 12.

?

? ?

?

10. 3, y ? ? 3x . 13. -3 .

11. 0,e . 14. 2.

2 3 , 4?2 3 ? 6. 3

15. (0,

2 ] ? [5,??) . 2
????????????3 分 ???????????5 分 ???????????7 分

三、 解答题:本大题共 5 小题,共 74 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 解: (I) f ( x) ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x)

? 2 sin( 2 x ? ) ? 1 4
故函数 f ( x) 的最小正周期为 ? ; (II)设 t ? 2 x ?

?

?
4

,当 x ? [ ?

? 3?
4 8 ,

]时?

?
4

? t ? ? ???????????9 分

又函数 y ? sin t 在 [ ? 则当 t ? ?

? ?

, ] 上为增函数,在 [ , ? ] 上为减函数,?????11 分 2 4 2

?

? ? 2 时 sin t 有最小值 ? ;当 t ? 时 sin t 有最大值 1, ????13 分 4 2 2 ? 3? ] 上的值域为 [?2, 2 ?1] 故 y ? f ( x) 在 [? , ????????15 分 4 8 1 17.解:(Ⅰ)取 PA 的中点 Q ,连接 QE、QD ,? E 为 PB 的中点,QE∥ AB 且 QE ? AB , 2 ? 底面 ABCD 为直角梯形, ? CDA= ? BDA=90°, AB=AD=2DC=2 2, ? QE∥ CD 且 QE ? CD ,? 四边形 QECD 是平行四边形, ? EC∥ QD ,又 FC ? 平面 PAD,QD ? 平面 PAD ? EC//平面 PAD.?????7 分
(Ⅱ)方法一:过 E 作平面 PAC 的垂线,记垂足为 O,连接 CO, 则 ? ECO 就是直线 CE 与平面 PAC 所成角. 又 PA ,AC ? 平面 PAC,且 PA∩AC=A,
5

?????????9 分

过 B 作 BN⊥AC,记垂足为 N,因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥BN,

所以 BN⊥平面 PAC, 所以 EO∥BN,又因 为 E 是 AB 的中点,所以 EO = 过 E 作 EM⊥AB 于 M,连接 CM,可得 CE = 2 3 . 在 Rt△CEO 中,CO = 2

?????????11 分

1 2 10 BN = . 2 5

EO 13 26 ,则 tan ? ECO = = . ??????15 分 CO 13 5

所以直线 CE 与平面 PAC 所成角的正切值为 (用其他方法类似得分).

26 . 13

方法二:建立直角坐标系如图所示,设直线 CE 与平面 PAC 所成角大小为α , 则 A(0,0,0),C(2 2, 2,0), P(0,0,4), E(0, 2,2) ,所以 CE ? (?2 2,0,2) ,

AC ? (2 2, 2,0), AP ? (0,0,4) ,设平面 PAC 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,则有
? ? AC ? n ? 2 2 x ? 2 y ? 0 z ? 0 ,即 n ? (?1,2,0) , ? ? ? AP ? n ? 0 x ? 0 y ? 4 z ? 0
则 sinα = | cos ? CF , n ?|? ??????11 分

| CF ? n | | CF | ? | n |

?

2 2 2 3? 5

?

2 ,??????13 分 15

从而可得 cosα =

13 26 ,tanα = , 13 15
26 . 13
???????15 分

所以直线 CF 与平面 PAC 所成角的正切值为

18. 解:(Ⅰ)由题意有 Sn?1 ? Sn ? an?1 ? 2Sn ? 2n ,即 Sn?1 ? 3Sn ? 2n ,所以

bn?1 Sn?1 ? 2n?1 3Sn ? 3 ? 2n ? ? ? 3, bn Sn ? 2n Sn ? 2n
又因为 a≠-2,所以 a ? 2 ? 0

???????????5 分 ???????????7 分

所以数列{bn}是以 a ? 2 为首项,3 为公比的等比数列. (Ⅱ)由题(Ⅰ)得 Sn ? 2n ? b1 ? 3n ?1 ? (a ? 2) ? 3n ?1 , ?????????????9 分 所以

Sn ? (a ? 2) ? 3n?1 ? 2n ,



Sn?1 ? (a ? 2) ? 3n?2 ? 2n?1 (n ≥ 2) ,②
由①-②得 an ? (a ? 2) ? 2 ? 3n?2 ? 2 n?1 ,n≥2,而 a1=a 不符合上式, ????????????11 分 又因为数列{an}是单调递增数列, 所以 a2- a1=a+2>0,得 a>-2, ????????????12 分
6

且 an ?1 ? an ? (a ? 2) ? 2 ? 3n ?1 ? 2n ? (a ? 2) ? 2 ? 3n ?2 ? 2n ?1 ? 0, n≥2

3 9 2 n ? ( ) ,即 a ? ? . 2 8 3 3 综上可得,实数 a 的取值范围是 a ? ? . ????????????15 分 2
即 4(a ? 2) ? 3n ?2 ? 2n ?1, 化简得 a ? 2 ? 19. 解:(Ⅰ)? log2 (22 x ? t ) ? x ? log2 2x , ? 2 等价于 2
2x

2x

? t ? 2 x 无解,

? t ≥ 2x 恒 成 立 , 即 t ≥ ?22 x ? 2x ? g ( x) 恒 成 立 , 即 t ≥ g ( x)ma x , 易 得
1 , 4
??????????7 分

g ( x) max ? g (?1) ? ?2? 2 ? 2?1 ?
?t ? 1 . 4

( Ⅱ ) ? f ( x) ? loga (a 2 x ? t ), 当 a ? 1 时是单调增函数,当 0 ? a ? 1 时是单调减函数,即

f ( x) 是单调函数.

??????????9 分

?a 2 m ? t ? a m ? f ?(m) ? m ? ,即 ? 2 n , ?? n ? ? f ( n) ? n ?a ? t ? a
则题中问题等价于关于 k 的方程 a
k 2k

? a k ? t ? 0 有两个不相等的解. ??11 分
2

令 a ? u ? 0 ,则问题等价于关于 u 的二次方程 u ? u ? t ? 0 在 u ? (0,??) 上有两个不

?u1 ? u2 ? 0 ?t ? 0 1 ? ? 相等的实根,即 ?u1 ? u2 ? 0 ,即 ? 1 ,得 0 ? t ? 4 t? ?? ? 0 ? ? 4 ?
20. 解:(Ⅰ)抛物线的方程可化为: x ?
2
2

??????14 分

1 1 1 y ,则 ? ,a ?1 a 4a 4

所以抛物线的方程为 x ? y ?? ????5 分
x2 ? y

(Ⅱ) 假设存在无穷多对直线 l1、l2 ,使得以线段 AB 为直径的圆经过点 M 因为直线 l 与抛物线相交于两点,所以直线 l 斜率存在; 设直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 ,代入抛物线方程中得: ax ? kx ? 1 ? 0 ,
2

设 A ( x1 , y1 ) B ( x2 , y2 ) 则 x1 ? x2 ?
2

k 1 , x1 x2 ? ? ??????????7 分 a a
2

设过 A 作抛物线 y ? ax 的切线方程为:y=m(x-x1)+y1 代入 y ? ax 消去 y 得 ax ? mx ? mx 1 ? y1 ? 0 ,由△=0 可得 m ? 2ax1
2

所以

l1 的方程: y ? ax1 ? 2ax1 ( x ? x1 ) ,
2

2

同理可得 l2 的方程: y ? ax2 ? 2ax2 ( x ? x2 )

??????????9 分
7

由中点坐标及直线 l1 的方程可知 M ( 则 MA ? ? x1 ?

k x1 ? x2 , ax1 x2 ) 即 M ( ,?1) 2a 2

k k ? ? ? 2 , ax12 ? 1? , MB ? ? x2 ? , ax2 ? 1? ????????11 分 2a 2a ? ? ? 因为以线段 AB 为直径的圆经过点 M ,所以 MA ? MB . ? ?
则 MA ? MB ? ? x1 ?

? ?

k ?? k ? 2 2 ? ? x2 ? ? + ax1 ? 1 ax2 ? 1 2a ? ? 2a ?

?

??

?

? x1 x2 ?

k k2 2 2 ( x1 ? x2 ) ? 2 ? a 2 x12 x2 ? a ?? x1 ? x2 ? ? 2 x1 x2 ? +1 ? ? 2a 4a

1 ? 1 ?1 ????????13 分 ? ? ? 2 ? k 2 ? 4 ? ? 0 (1) a ? a 4a ? 因为以线段 AB 为直径的圆经恒过点 M 即(1)式恒等.

1 ?1 ? 2 ?0 ? ? a 4a 则? ?4 ? 1 ? 0 ? ? a

解得 a ?

1 . 4

????????15 分

8


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