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重庆市南开中学2011届高三上学期期中考试理科数学试题


重庆市南开中学 2011 届高三期中考试

数学试题(理)
第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)备题答案必须答在答题卡上。 1.点 P 是 P1P2 的中点,则点 P2 分有向线段 PP 的比为 1 A.-2 B. ?

??? ?

D.2



1 2

C.

1 2

2.设向量 a ? (1, x ?1), b ? ( x ? 1,3) ,则 " x ? 2"是" a / /b " 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.下列各选项中,与 sin 2011? 最接近的数是 A.

?

?

?

?









1 2

B.

2 2

C.-

1 2

D.-

2 2
( )

4.下列命题中,真命题是 A. 若ac ? bc, 那么a ? b C.若 a ? b, 则ac 2 ? bc 2

a b B.若 a ? b, 则 ? c c
D.若 a ? b, 则a ? c ? b ? c

? ? ? ? ? ? | a ? 2b | ? = 5.已知非零向量 a, b满足a ? b ? 0, 则 ? | a ? 2b |
A.





1 4

B.2

C.

1 2

D.1 ( )

6.由下面的条件能得 出 ?ABC 为锐角三角形的是

1 A. sin A ? cos BaA ? 5
C . tan A ? tan B ? tan C ? 0 7.如 果数列 {an } 满足 a1 ? 2, a2 ? 1, 且

??? ??? ? ? B. AB ? BC ? 0
D. b ? 3, c ? 3 3, B ? 30?

an an ?1 aa ? n n ?1 (n ? 2) ,则 a100 = an?1an?1 an ? an ?1
C.





A.

1 2100
x

B.

1 2 99
x

1 100

D.

1 50

8.已知函数 f ( x) ? a , g ( x) ? b 的图象与直线 y=3 的交点分别为 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,且 a 与 b 的大小关系不可能成立的是 ... A. b ? a ? 1 B. a ? 1 ? b ? 0 C. 1 ? b ? a ? 0 ( D. b ? 1 ? a ? 0 )

9.函数 f ( x) ? sin x, f '( x)是f ( x) 的导函数,若将 f ( x ) 的图象按向量 a ? (m, k ) 平移可得 到 f '( x), 则当 | a | 最小时, lim(1 ?
x ??

?

?

? ? ?2 ? ?2 ? ?1 sin A cot C ? cos A 10.设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 成等比数列,则 的取 sin B ? cot C ? cos B
A. B. C. D. 值范围为 A. (0, ( B. ( )

?

?

1 1 1 ? 2 ?? ? n ) = m m m





? ? ?1

5 ?1 ) 2

5 ?1 5 ?1 5 ?1 , ) C. ( , ??) 2 2 2

D. (0, ??)
[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:(本大题 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.设 f ( x) ? 4x ? 2x?1, 则f ?1 (0) = 。

12.设向 量 a与b 的夹角为? , a ? (2,1),3b ? a ? (5, 4), 则sin ? = 13.已知函数 f ( x) ? ?

? ?

?

? ?



?cos(? ? x) ( x ? 0) 3 3 , 则f ( ) ? f (? ) ? 5 5 ? f ( x ? 1) ? ? ( x ? 0)



14.直线 y ? 2与函数f ( x) ? 3 | sin x | ? sin x( x ? [0, 4? ]) 的图象有 15.如图,点 D、E 分别是△ABC 边 AB、AC 上的点, 且满足 2 AD ? AB,3AE ? AC ,若 CD 与 BE 交

个交点。

????

??? ??? ? ?

??? ?

???? ? | DM | 于点 M,则 ???? = ? | MC |



三、解答题:(本大题 6 个小题,共 75 分) 16.(13 分)平面内给定三个向量 a ? (3, 2), b ? (?1, 2), c ? (4,1) (1)求 | 3a ? b ? 2c | 的值; (2)若 (a ? kc) ? (2b ? a) ,求实数 k 的值。

?

?

?

? ?

?

?

?

? ?

17.(13 分)向量 a ? ( 3sin 2x,cos 2x), b ? (sin 2x,sin 2 x),函数f ( x) ? a ? b ? t (t ? R). (1)指出函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递增区间; (2)当 x ? [?

?

?

? ?

, ]时, 函数f ( x)的最大值为 3 ,求函数 f ( x) 的最小值,并求此时 12 6

? ?

的 x 的值。 18.(3 分)

[来源:Z§xx§k.Com]

已知 {an } 是等差数列,公差 d ? 0, 且a1 , a3 , a13 成等比数列, Sn 是{an }的前 n 项和。 (1)求证: S1 , S3 , S9 成等比数列; (2)设数列 bn ?

nan . 是否存在正整数 m,使得 n ? n时, bn ? 1.99 恒成立? Sn

若存在,求出 m 的最小值;若不存在,请说明理由。 19.(12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a ?

7, A ? 60? ,

b ? c ? 5 ,且 b ? c ,求 b, c及sin C 的值。
20.(12 分)已知函数 f ( x) ?

x (0 ? x ? 1)的反函数为f ?1 ( x). 1? x

设数列 {an }满足a1 ? 1, an?1 ? f ?1 (an )(n ? N * ). (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)已知数 列 {bn }满足b1 ? 有

1 , bn ?1 ? (1 ? bn ) 2 ? f ?1 (bn ) ,求证:对一切正整数 n ? 1 都 2

1 1 1 ? ??? ? 2. a1 ? b1 2a2 ? b2 nan ? bn

21.(12 分)已知定义在 R 上的单调函数 f ( x), 存在实数x0 ,使得对于任意实数 x1 , x2 , 总 有 f ( x0 x1 ? x0 x2 ) ? f ( x0 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 恒成立。 (1)求 x0 的值; (2)若 f ( x0 ) ? 1 ,且对 于任意正整数 n, 有an ?

1 1 , bn ? f ( n ) ? 1, f ( n) 2
[来源:Z§xx§k.Com]

记 Sn ? a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 , Tn ? b1b2 ? b2b3 ? ? ? bn bn?1 , 比较 大小关系,并给出证明; (3)在(2)的条件下,若不等式

4 S n 与Tn 的 3

an?1 ? an?2 ? ? ? a2 n ?

4 [log 1 ( x ? 1) ? log 1 (9 x 2 ? 1) ? 1] 对任意不小于 2 的正 35 2 2

整数 n 都成立,求 x 的取值范围。

参考答案
BACDD CDDBB 11.1 12.

10 10

13. ?

14.6

15.

1 4

16.解:(1) 3a ? b ? 2c ? (0,6) ?| 3a ? b ? 2c |? 6 (2) a ? kc ? (4k ? 3, k ? 2), 2b ? a ? (?5, 2) 由 (a ? kc) ? (2b ? a ) ? ?5(4k ? 3) ? 2( k ? 2) ? 0 ? k ? ? 17.解:(1) f ( x) ? sin(4 x ?

? ?

?

? ?

?

?

?

? ?

?

?

? ?

11 . 18

?
3

)?t ?

3 2

? . 2 k? ? k? 5? ? , ? ](k ? Z ) 递增区间是 [ 2 24 2 24
? f ( x) 的最小正周期是
(2)由 x ? ??

2? ? ? ? 3 ? ? ?? , ??? ? 4 x ? ? ? ?1 ? sin(4 x ? ) ? , 3 3 3 3 2 ? 12 6 ?

? 3 ?当 sin(4 x ? ) ? 时, 3 2 f ( x) max ? t ? 3 ? 3 ? t ? 0
?当 sin(4 x ? ) ? ?1, 3 4x ?

?

?
3

??

?
2

?x??

?
24

时,

f ( x) min ?

3 ?1 2

18.(1)由已知得,

(a1 ? 2d )2 ? a1 (a1 ?12d ) ? d ? 2a1 (d ? 0 ? a1 ? 0)
由此, S1 ? a1 , S3 ? 9a1 , S9 ? 81a1 ? S3 ? S1 ? S9 ,
2

命题得证。 (2)? d ? 2a1 ? an ? (2n ? 1)a1 ? Sn ? n a1 ? bn ?
2

nan 1 ? 2? . Sn n

假设存在正整数 m 满足条件,即使得当 n ? m得, 2 ?

1 ? 1.99, n

解得 n ? 100. ? 对于正整数 m ? 100 时,均满足题目条件,故 m 的最小值为 100。 19.解: a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 7 ? b2 ? c2 ? bc ? (b ? c)2 ? 3bc ? 25 ? 3bc,

?bc ? 6, 又b ? c ? 5且b ? c ? b ? 2, c ? 3
由正弦定理

a c sin A 3 21 ? ? sin C ? ?c ? sin A sin C a 14
x x (0 ? x ? 1) ? f ?1( x) ? , 1? x 1? x

20.解:(1)由 f ( x) ?

? an?1 ? f ?1 (an ) ? an ? f (an?1 ) ? ?

an?1 1 1 ? ? ? 1. an?1 ? 1 an?1 an

?1? 1 ? ? ? 是以 为首项,1 为公差的等差数列, a1 ? an ?


1 ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n. an

1 ? an ? . n
(2)由已知得 bn ?1 ? (1 ? bn ) ?
2

bn ? bn?1 ? bn (bn ? 1), 1 ? bn

显然 bn ? (0, ??)

? ?

b b2 b ?b 1 1 1 1 ? ? n ? n ? n ?1 n ? ? nan ? bn 1 ? bn bn ?1 bnbn ?1 bnbn ?1 bn bn ?1 1 1 1 ? ?? ? a1 ? b1 2a2 ? b2 nan ? bn 1 1 1 1 1 1 ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) b1 b2 b2 b3 bn bn ?1

?( ?

1 1 1 ? ? 2? ? 2. b1 bn ?1 bn ?1

21.解:(1)令 x1 ? x2 ? 0 ? f ( x0 ) ? ? f (0). 又令 x1 ? 1, x2 ? 0, f (1) ? ? f (0).

? f ( x0 ) ? f (1),由函数f ( x)的单调性知, x0 ? 1.
(2)由(1)知,

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (1) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1, 由x1 , x2的任意性,令x1 ? n, x2 ? 1, f (n ? 1) ? f (n) ? f (1) ? 1 ? f (n) ? 2, ? f (n) ? 2n ? 1(n ? N * ) ? an ? 1 . 2n ? 1
1 2 1 2 1 2

1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 又? f ( n ) ? f ( n ?1 ? n ?1 ) ? 2 f ( n ?1 ) ? 1, 2 2 2 2 1 1 ? 2bn ?1 ? 2 f ( n ?1 ) ? 2 ? f ( n ) ? 1 ? bn . 2 2 1 n ?1 ? bn ? ( ) . 2
由数列求和方法知:

又? f (1) ? f ( ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? f (1) ? f ( ) ? 0 ? b1 ? f ( ) ? 1 ? 1

1 1 2? 1 ? Sn ? (1 ? ), Tn ? ?1 ? ( ) n ? . 2 2n ? 1 3? 4 ?

4 2? 1 1 ? ? Sn ? Tn ? ?( ) n ? . 3 3? 4 2n ? 1 ? ?
n n 1 0 ? 4n ? (3 ? 1) n ? Cn 3n ? Cn ?1 3n ?1 ? ? ? Cn 3 ? Cn ? 3n ? 1 ? 2n ? 1,

4 ? Sn ? Tn . 3
(3)令 F (n) ? an?1 ? an?2 ? ? ? a2n ? F (n ? 1) ? a2n?1 ? a2n?2 ? an?1

?

1 1 1 ? ? ? 0 (通分易证) 4n ? 1 4n ? 3 2n ? 1
12 . 35

?当n ? 2时,F(n)>F(n-1)>?>F(2)=a 3 ? a4 ?

[来源:Zxxk.Com]

?

? 12 ? ? ?log 1 ( x ? 1) ? log 1 (9 x 2 ? 1) ? 1? ? log 1 ( x ? 1) ? log 1 (9 x 2 ? 1) ? 2. 35 ? 2 2 ? 2 2
5 9 1 3 1 3

[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

解此不等式,所以 x 的取值范围是 (? , ? ) ? ( ,1)


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