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大连市2013年高三双基测试卷 数学理


大连市 2013 年高三双基测试卷

数学(理)试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,其中第 II 卷第 22 题~第 24 题为选 考题,其它题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式:球的体积公式 V ?

4 3 ?R .其

中 R 为球半径. 3

? 用最小二乘法求线性回归方程系数公式 b ?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2

i

? nx

2

? ? , a ? y ? bx .

第I卷
一.选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1. 复数 z ? 1 ? i 的虚部是 A. 1 B. ? 1 C. i D. ? i
2 2.已知集合 M ? x | x ? 4x ? 3 ? 0 , N ? ?x | lg(3 ? x) ? 0? ,则 M ? N =

?

?

A. {x | 1 ? x ? 3} C. ? 3.函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) A.
2

B. {x | 1 ? x ? 2} D. {x | 2 ? x ? 3} 的最小正周期为

? 4
2

B.

? 2

C. ?

D. 2?

4.抛物线 x ? A. 2

1 y 的焦点 F 到准线 l 的距离是 2
B. 1 C.

1 2

D.

1 4

·1·

5.执行如图所示的程序框图,如果 n ? 6 ,则输出的 s 的值是

6 7 5 C. 6
A.

7 8 4 D. 5
B.

开始

i ? 1, s ? 0
i ? i ?1

s?s?
i ? n?
否 输出 s 是

1 i ? (i ? 1)

结束 第 5 题图

6. S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和, a2 ? a8 ? 6 ,则 S 9 ? A.

27 2

B. 27

C. 54

D. 108

7.把一枚骰子连续掷两次,已知在第一次抛出的是偶数点的情况下,第二次抛出的也是偶数点的概 率为 A. 1 B.

1 2
x

C.

1 3

D.

1 4

8.下列函数中,与函数 y ? ?3 的奇偶性相同且在 (??,0) 上单调性也相同的是 A. y ? ?

1 x

B. y ? log2 x

C. y ? 1 ? x

2

D. y ? x ?1
3

9.下列说法中,正确的是
2 2 A.命题“若 am ? bm ,则 a ? b ”的逆命题是真命题

B.命题“ p 或 q ”为真命题,则命题“ p ”和命题“ q ”均为真命题 C.已知 x ? R ,则“ x ? 1 ”是“ x ? 2 ”的充分不必要条件 D.命题“ ?x ? R , x ? x ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R , x ? x ? 0 ”
2 2

10.设 O 在 ?ABC 的的内部,有 OA ? 2OB ? 3OC ? 0 ,则 0 ?ABC 的面积和 ?AOC 且的面积之比
·2·

??? ?

??? ?

??? ?

为 A.3 B.

5 3 3

C.2

D.

2 3

11.已知 f ( x ) 是定义在 R 上的且以 2 为周期的偶函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x2 ,如果函数

g ( x) ? f ( x) ? ( x ? m) 有两个零点,则实数 m 的值为
A. 2 k ( k ? Z ) C.0 B. 2 k 或 2 k ? D. 2 k 或 2 k ?

1 (k ? Z ) 4

1 (k ? Z ) 4

12.SC 为球 O 的直径,A, B 是该球球面上的两点,AB ? 2, ?ASC ? ?BSC ? 的体积为 A.

?
4

, 若棱锥 A ? SBC

4 3 ,则球 O 体积为 3
B.

4 ? 3

32 ? 3

C. 27?

D. 4 3?

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题:(本大题共 4 小 题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上)13.一个几 何体的三视图及其尺寸如下(单位:cm) :

4

4

4 主视图

4 左视图

4 俯视图

第 13 题图

·3·

则该几何体的表面积为

cm . ___.

2

? 14.已知下列表格所示的数据的回归直线方程为 y ? 3.8 x ? a ,则 a 的值为___

x
y

2 251

3 254

4 257

5 262

6 266

15.数列 ?an ? 满足: a1 ? 3a2 ? 5a3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? an ? (n ? 1) ? 3n?1 ? 3 ,则数列 ?an ? 的通项公式

an =



16.已知点 A ? 2,0 ,B( 2, 0 ) ,且动点 P 满足 PA ? PB ? 2 ,则动点 P 的轨迹与直线 y ? k ( x ? 2) 有两个交点的充要条件为 k ? .

三. 解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知 A, B, C 是 ?ABC 的三个内角,向量 m ? (sin A ? sin B, sin C ) , 向量 n ? ( 2 sin A ? sin C, sin A ? sin B) ,m//n (Ⅰ)求角 B ; (Ⅱ)若 sin A ?

3 ,求 cos C 的值. 5

频率 组距 0.07 0.065

18. (本小题满分 12 分) 为了解学生身高情况,某校以 10%的比例对全校 700 名学生按性别进行抽样检查,测得身高情 况的频率分布直方图如下: 频率 男 生 组距 女 生
0.08

7 150

0.025 0.02 0.01

0.04 0.02
1 150

0

160 165 170 175 180

185 190 身高/cm 第 18 题图

0

150 155 160 165 170 175 180 身高/cm

·4·

已知样本中身高在[150,155)cm 的女生有 1 人. (Ⅰ)求出样本中该校男生的人数和女生的人数; (Ⅱ)估计该校学生身高在 170~190cm 之间的概率; (Ⅲ)从样本中身高在 185~190cm 之间的男生和样本中身高在 170~180cm 之间的女生中随机 抽取 3 人, 记被抽取的 3 人中的女生人数为 X . 求随机变量 X 的分布列和数学期望 E ( X ) .

19. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为梯形, ?DAB ? 60? , AB ∥ CD , AD ? CD ? 2 AB ? 2 , PD ? 底面 ABCD , M 为 PC 的中点. P (Ⅰ)证明: BD ? PC ; (Ⅱ)若 PD ?

1 AD ,求二面角 D ? BM ? P 的余弦值. 2

M

D

C B

A

第 19 题图

20. (本小题满分 12 分) 设 A , B 分别是直线 y ? 设 O 为坐标原点,动点 P 满足 OP ? OA ? OB . (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程;

2 2 x和y ?? x 上的动点,且 AB ? 2 , 2 2

EF (Ⅱ) 过点 ( 3,0) 做两条互相垂直的直线 l1 ,l 2 , 直线 l1 ,l 2 与点 P 的轨迹相交弦分别为 CD 、 ,
设 CD 、 EF 的弦中点分别为 M 、 N ,求证:直线 MN 恒过一个定点.

21. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? ln x ? ax ( a ? R ) .
2

(Ⅰ)求函数 f (x) 的单调区间; (Ⅱ)当 a ?

1 时,证明:存在 x0 ? (2,??) ,使 f ( x0 ) ? f (1) ; 8
·5·

(Ⅲ)当 a ?

1 2 时,证明: f ( x) ? 4 4

x4 ?1 ?

3 . 4

请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,直线 AB 经过⊙O 上的点 C,并且 OA=OB,CA=CB,⊙O 交直线 OB 于 E、D, 连结 EC、CD. (Ⅰ)求证:直线 AB 是⊙O 的切线; E 1 (Ⅱ)若 tan∠CED= ,⊙O 的半径为 3,求 OA 的长. 2 O D A C
第 22 题图

B

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,以原点 o 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线 l : ? ?

?
4

与曲线 C : ?

? x ? t ? 1, ( t 为参数),相交于 A, B 两点. 2 ? y ? (t ? 1) ,

(Ⅰ)写出射线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标系方程; (Ⅱ)求线段 AB 的中点极坐标.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
·6·

已知实数 t ,若存在 t ? [ ,3] 使得不等式 t ? 1 ? 2t ? 5 ? x ? 1 ? x ? 2 成立,求实数 x 的取值范围.

1 2

·7·

·8·

·9·

·10·

·11·

·12·

·13·

·14·


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