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江苏省南通市2012年下学期高三数学学科基地密卷(一)


2012 届南通市数学学科基地密卷(一)

数 学I

注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷共 4 页, 包含填空题 (第 1 题——第 14 题) 解答题 、 (第 15 题——第 20 题) 本 . 卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟.考试结束后,请将答题卡交回. 2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试 卷及答题卡的规定位置. 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答必 须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚. 4. 如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗. 5. 请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗 的圆珠笔.

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答卷纸的相应 ...... 位置上. ... 1. z ? 2 ? mi , m ? R ,若

1? z 对应点在第二象限,则 m 的取值范围为 1? i





2 2.已知全集 U ? R ,集合 A ? x ? Z ? x ? 5 x ? 0 , B ? x x ? 4 ? 0 则 (CU A) ? B 中最

?

?

?

?

大的元素是





3.已知 m ? (cos ?x,sin ?x)(? ? 0), n ? (1, 3) ,若函数 f ( x) ? m ? n 的最小正周期是 2,

??

?

?? ?

则 f (1) ?



. ▲ .

4.执行以下语句后,打印纸上打印出的结果应是:

i ?1 x?4
While

i <10 x ? x ? 2i i ?i?3

End While Print “ x ? ” x

5.已知函数 f ( x) ? 1 ? 2 x ? tan x , x ? (0,

?
2

) ,则 f ( x) 的单调减区间是





6.在数轴上区间 ? ?3,6? 内,任取三个点 A, B, C ,则它们的坐标满足不等式:

( xA ? xB )( xB ? xC ) ? 0 的概率为





7.P 为抛物线 y 2 ? 4 x 上任意一点,P 在 y 轴上的射影为 Q,点 M(4,5) ,则 PQ 与 PM 长度之和的最小值为: ▲ . ▲ .

8、设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列正确命题序号是 (1)若 m∥ ? ,n∥ ? ,则 m∥n, (2)若 m ? ? , m ? n 则 n / /?

(3)若 m ? ? , n ? ? 且 m ? n ,则 ? ? ? ;(4)若 m ? ? , ? // ? ,则 m // ?
x 9. 定义在 R 上 f ( x ) 满足: f ( x ? 2)?f ( x) ? 1 ,当 x ? (0, 2) 时, f ( x ) = ( ) ,

1 2

则 f (2011) =





?x ? y ? 2 ? 0 ? 10.过平面区域 ? y ? 2 ? 0 内一点 P 作圆 O : x2 ? y 2 ? 1 的两条切线,切点分别为 A, B , ?x ? y ? 2 ? 0 ?
记 ?APB ? ? ,则当 ? 最小时 cos? ? ▲ . 11.如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形” ,他们是由整数的倒数组成的,第 n 行有 n 个 数且两端的数均为

1 ( n ? 2) ,每个数是它下一行左右相邻两数的和, n
▲ .

如: 1 ? 1 ? 1 , 1 ? 1 ? 1 , 1 ? 1 ? 1 ?,则第 n(n ? 3) 行第 3 个数字是 1 2 2 2 3 6 3 4 12

12. 已知正方形 ABCD 的坐标分别是 (? 1, 0), (0,1) , (1, 0) , (0, ?1) ,动点 M 满足:

k MB ?k MD ? ?
13. “ a ?

1 则 MA ? MC ? 2



. ▲ .

1 a ”是“对 ? 正实数 x , 2 x ? ? c ”的充要条件,则实数 c ? 8 x

14.函数 f ( x ) 的定义域为 D ,若满足① f ( x ) 在 D 内是单调函数,②存在 ? a, b? ? D ,使

f ( x) 在 ? a, b? 上的值域为 ??b, ?a? ,那么 y ? f ( x) 叫做对称函数,现有 f ( x) ? 2 ? x ? k 是对
称函数, 那么 k 的取值范围是 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请把答案写在答题卡相应的位置上.解答时应 写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本题满分 14 分) 已知二次函数 f (x)=x2+mx+n 对任意 x∈R,都有 f (-x) = f (2+x)成立,设向量 1 → → → → a = ( sinx , 2 ) , b = (2sinx , ), c = ( cos2x , 1 ), d =(1,2), 2 (Ⅰ)求函数 f (x)的单调区间; →→ →→ (Ⅱ)当 x∈[0,π]时,求不等式 f ( a · )>f ( c · )的解集. b d

16.(本题满分 14 分) 在如图的多面体中, EF ⊥平面 AEB , AE ? EB , AD // EF , EF // BC , BC ? 2 AD ? 4 , EF ? 3 , AE ? BE ? 2 , G 是 BC 的中点. (Ⅰ) 求证: AB // 平面 DEG ; A D (Ⅱ) 求证: BD ? EG ; (Ⅲ)求多面体 ADBEG 的体积.

E

F

B

G

C

17.(本题满分 14 分)

x2 ? y 2 ? 1的两焦点为 F1 , F2 , P 为动点,若 PF1 ? PF2 ? 4 . 2 (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 E 方程;
已知双曲线 (Ⅱ)若 A (?2,0), A2 (2,0), M (1,0) ,设直线 l 过点 M ,且与轨迹 E 交于 R 、 Q 两点,直 1 线 A R 与 A2Q 交于点 S .试问:当直线 l 在变化时,点 S 是否恒在一条定直线上?若是, 1 请写出这条定直线方程,并证明你的结论;若不是,请说明理由.

18.(本题满分 16 分) 如图所示:一吊灯的下圆环直径为 4m,圆心为 O,通过细绳悬挂在天花板上,圆环 呈水平状态,并且与天花板的距离 (即OB) 为 2m,在圆环上设置三个等分点 A1,A2,A3。 点 C 为 OB 上一点(不包含端点 O、B) ,同时点 C 与点 A1,A2,A3,B 均用细绳相连接, 且细绳 CA1,CA2,CA3 的长度相等。设细绳的总长为 y (1)设∠CA1O = ? (rad),将 y 表示成 θ 的函数关系式; (2)请你设计 ? ,当角 θ 正弦值的大小是多少时,细绳总长 y 最小,并指明此时 BC 应为 多长。 B C A3 A1 O A2 19.(本题满分 16 分) 已知, 数列 an 有 a1 ? a, a2 ? p (常数 p ? 0 )对任意的正整数 n, Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an , , 并有 S n 满足 S n ? (1)求 a 的值; (2)试确定数列 an 是不是等差数列,若是,求出其通项公式。若不是,说明理由; (3)令 p n ?

? ?

n(a n ? a1 ) 。 2

? ?

S n ? 2 S n ?1 ,是否存在正整数 M,使不等式 p1 ? p2 ? ? ? pn ? 2n ? M 恒 ? S n ?1 S n ? 2

成立,若存在,求出 M 的最小值,若不存在,说明理由。

20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ? x ? ?

ln x x

(1)求 f ?x ? 的单调区间; (2)若关于 x 的不等式 ln x ? mx 对一切 x ? ?a,2a??a ? 0? 都成立,求 m 范围; (3)某同学发现:总存在正实数 a, b?a ? b?, 使 a ? b ,试问:他的判断是否正确;
b a

若正确,请写出 a 的范围;不正确说明理由.

数学Ⅱ(附加题)
23. 【必做题】本题满分 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1. (矩阵与变换)求矩阵 M= ?

?1 2 ? ? 的特征值及其对应的特征向量. ?2 1 ?
? x ? 3 cos? ? y ? sin ?

2. (坐标系与参数方程)在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 C 的参数方程为 ?



其中 ? 为参数.以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为

2 ? cos( ? ?

?

3

) ? 3 6 .求椭圆 C 上的点到直线 l 距离的最大值和最小值.

二.[必做题] 每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 ....... 说明、证明过程或演算步骤.

, 3. 如图,已知三棱柱 ABC? A1 B1C1 的侧棱与底面垂直, AA ? AB ? AC ? 1 AB ⊥AC, 1
M 是 CC1 的中点,N 是 BC 的中点,点 P 在直线 A1 B1 上,且满足 A1 P ? ? A1 B1 . (Ⅰ)当 ? 取何值时,直线 PN 与平面 ABC 所成的角 ? 最大? (Ⅱ)若平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 45 ,试确定点 P 的位置.
?

A1
P

B1

C1

4. 已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 3, an ? 3

an ?1

(n ? 2) .

(Ⅰ)求证: ?n ? N * , ?mn ? N , 使 an ? 4mn ? 3 ; (Ⅱ)求 a2010 的末位数字.

数学参考答案
1. (?1,1) 2. 3 3.-1 4. 28 5. (

? ? , ) 4 2
1 3

6. ( xA ? xB )( xB ? xC ) ? 0 的实质是点 B 在点 A, C 之间,故考虑它们的排列顺序可得答案为 7.

34 ?1 解析:焦点 F (1, 0) PM ? PQ = PM ? PF ? 1 ,而 PM ? PF 的最小值是 MF ? 34

8. (3) (4) 9.2 10 当 P 离圆 O 最远时 ? 最小,此时点 P 坐标为: ? ?4, ?2? 记 ?APO ? ? , 则 cos ? ? 1 ? 2sin 11.
2

? ,计算得 cos? =

9 10

2 , n ? (n ? 1) ? (n ? 2)
1 x2 y ?1 y ? 1 1 ?? , ? y2 ? 1 ? ? ? . 整理, ∴ 得 2 x x 2 2

12.设点 M 的坐标为 ( x, y ) , k M ?k ∵ B M D

( x ? 0) ,发现动点 M 的轨迹方程是椭圆,其焦点恰为 A, C 两点,所以 MA ? MC ? 2 2

c2 c2 1 ? ? c ? 1 ,亦可转化为 13. 若 c ? 0, 则 a ? 0, 不符合题意,若 c ? 0, 则 a ? , 于是 8 8 8
二次函数 a ? ?2 x ? cx 恒成立展开讨论。
2

14.由于 f ( x) ?

? 2 ? a ? k ? ?a 2 ? x ? k 在 ? ??,2? 上是减函数,所以 ? ? 关于 x 的方程 ? ? 2 ? b ? k ? ?b ?

? 9? 2 ? x ? k ? ? x 在 ? ??,2? 上有两个不同实根。通过换元结合图象可得 k ? ? 2, ? ? 4?
(-x)+(2+x) 15.解; (1)设 f(x)图象上的两点为 A(-x,y1) 、B(2+x, y2) ,因为 =1 2 f (-x) = f (2+x),所以 y1= y2 由 x 的任意性得 f(x)的图象关于直线 x=1 对称, ∴x≥1 时,f(x)是增函数 ;x≤1 时,f(x)是减函数。 1 →→ (2)∵ a · =(sinx,2)· b (2sinx, )=2sin2x+1≥1, 2 →→ c · =(cos2x,1)· d (1,2)=cos2x+2≥1, →→ →→ ∵f(x)在是[1,+∞)上为增函数,∴f ( a · )>f ( c · ) ? f(2sin2x+1)> f(cos2x+2) b d

? 2sin2x+1>cos2x+2 ? 1-cos2x+1>cos2x+2 ? 3? ,k∈z ? cos2x<0 ? 2kπ+ <2x<2kπ+
? 3? <x< 4 4 ? 3? →→ →→ 综上所述,不等式 f ( a · )>f ( c · )的解集是:{ x| <x< b d } 。 4 4
∵0≤x≤π ∴ 16.解:(Ⅰ)证明:∵ AD / / EF , EF / / BC ,∴ AD / / BC . 又∵ BC ? 2 AD , G 是 BC 的中点, ∴ AD/ /BG , ∴四边形 ADGB 是平行四边形,∴ AB / / DG . ∵ AB ? 平面 DEG , DG ? 平面 DEG ,∴ AB / / 平面 DEG . (Ⅱ)证明:∵ EF ? 平面 AEB , AE ? 平面 AEB ,∴ EF ? AE , 又 AE ? EB, EB ? EF ? E , EB, EF ? 平面 BCFE ,∴ AE ? 平面 BCFE . 过 D 作 DH / / AE 交 EF 于 H ,则 DH ? 平面 BCFE . ∵ EG ? 平面 BCFE , ∴ DH ? EG . ∵ AD / / EF , DH / / AE ,∴四边形 AEHD 平行四边形,∴ EH ? AD ? 2 , ∴ EH ? BG ? 2 ,又 EH / / BG, EH ? BE , ∴四边形 BGHE 为正方形,∴ BH ? EG , 又 BH ? DH ? H , BH ? 平面 BHD , DH ? 平面 BHD ,∴ EG ⊥平面 BHD . ∵ BD ? 平面 BHD , ∴ BD ? EG . (Ⅲ) ∵ EF ? 平面 AEB , AD // EF ,∴ EF ? 平面 AEB ,

2 ? 3? , k∈z ? kπ+ <x<kπ+ 4 4

2

由(2)知四边形 BGHE 为正方形,∴ BE ? BC . ∴ VADBEG ? VD? AEB ? VD? BEC ? 17.解法一: (Ⅰ)由题意知: F (? 3,0), F ( 3,0) ,又∵ PF ? PF2 ? 4 ,∴动点 P( x, y) 必在以 1 1

1 1 4 4 8 S ?ABE ? AD ? S ?BCE ? AE ? ? ? , 3 3 3 3 3

F1 , F2 为焦点,
长轴长为 4 的椭圆,∴ a ? 2 ,又∵ c ? 3 , b2 ? a 2 ? c2 ? 1 . x2 ∴椭圆 C 的方程为 2 ? y2 ? 1 . 4 (Ⅱ)由题意,可设直线 l 为: x ? my ? 1 .

? 3 3 3? ? 3? x? , ① 取 m ? 0, 得 R ?1, ? ,Q ?1, ? ? ,直线 A1R 的方程是 y ? ? 2 ? ? 6 3 2 ? ? ? ? ? 3 x ? 3, 交点为 S1 4, 3 . 直线 A2 Q 的方程是 y ? 2 ? 3? ? 3? S 4, ? 3 . 若 R ?1, ? ? ,Q ?1, ? ? ? 2 ? ,由对称性可知交点为 2 ? 2 ? ? ? ? 若点 S 在同一条直线上,则直线只能为 ? : x ? 4 . ②以下证明对于任意的 m, 直线 A1R 与直线 A2 Q 的交点 S 均在直线 ? : x ? 4 上.

?

?

?

?

? x2 2 ? ? y ?1 2 事实上,由 ? 4 ,得 ? my ? 1? ? 4y2 ? 4, 即 m2 ? 4 y2 ? 2my ? 3 ? 0 , ? x ? my ? 1 ? ?2m ?3 记 R ? x1 , y1 ? ,Q ? x 2 , y2 ? ,则 y1 ? y2 ? 2 . , y1y2 ? 2 m ?4 m ?4 y y1 6y1 , 得 y0 ? . 设 A1R 与 ? 交于点 S0 (4, y0 ), 由 0 ? 4 ? 2 x1 ? 2 x1 ? 2

?

?

设 A2 Q 与 ? 交于点 S0? (4, y0? ), 由
? y 0 ? y 0? ? 6y1 2y 2 ? x1 ? 2 x 2 ? 2

2y 2 y0? y2 . ? , 得 y 0? ? x2 ? 2 4 ? 2 x2 ? 2

?

6y1 ? my2 ? 1? ? 2y 2 ? my1 ? 3?

? x1 ? 2 ?? x 2 ? 2 ?

?

4my1 y2 ? 6 ? y1 ? y2 ?

? x1 ? 2?? x 2 ? 2 ?

?12m ?12m ? 2 2 ? m ?4 m ?4 ?0, ? x1 ? 2?? x 2 ? 2?

∴ y0 ? y0? ,即 S 0 与 S0? 重合, 这说明,当 m 变化时,点 S 恒在定直线 ? : x ? 4 上. 解法二: (Ⅰ)同解法一.

? 3 3 3? ? 3? x? , 直线 A2 Q 的 (Ⅱ)取 m ? 0, 得 R ?1, ? ,Q ?1, ? ? ,直线 A1R 的方程是 y ? ? 2 ? ? 6 3 2 ? ? ? ? ? 3 x ? 3, 交点为 S1 4, 3 . 方程是 y ? 2 1 1 ?8 3? 取 m ? 1, 得 R ? , ? ,Q ? 0, ?1? ,直线 A1R 的方程是 y ? x ? , 直线 A2 Q 的方程是 6 3 ?5 5?

?

?

1 y ? x ? 1, 交点为 S2 ? 4,1? . ∴若交点 S 在同一条直线上,则直线只能为 ? : x ? 4 . 2 以下证明对于任意的 m, 直线 A1R 与直线 A2 Q 的交点 S 均在直线 ? : x ? 4 上.
? x2 2 ? ? y ?1 2 事实上,由 ? 4 ,得 ? my ? 1? ? 4y2 ? 4, 即 m2 ? 4 y2 ? 2my ? 3 ? 0 , ? x ? my ? 1 ?

?

?

?2m ?3 . , y1y2 ? 2 2 m ?4 m ?4 y1 y A1R 的方程是 y ? ? x ? 2 ? , A2Q 的方程是 y ? 2 ? x ? 2 ? , x1 ? 2 x2 ? 2 y y2 消去 y, 得 1 ? x ? 2 ? ? ? x ? 2 ? …………………………………… x1 ? 2 x2 ? 2
记 R ? x1 , y1 ? ,Q ? x 2 , y2 ? ,则 y1 ? y2 ? 以下用分析法证明 x ? 4 时,①式恒成立。 6y1 2y 2 ? , 要证明①式恒成立,只需证明 x1 ? 2 x 2 ? 2 ∵ 2my1y2 ? 3? y1 ? y2 ? ?



即证 3y1 ? my2 ? 1? ? y2 ? my1 ? 3? , 即证 2my1y2 ? 3? y1 ? y2 ?. ………………



?6m ?6m ? 2 ? 0, ∴②式恒成立. 2 m ?4 m ?4 这说明,当 m 变化时,点 S 恒在定直线 ? : x ? 4 上. ? x2 2 ? ? y ?1 2 解法三: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)由 ? 4 ,得 ? my ? 1? ? 4y2 ? 4, ? x ? my ? 1 ?
即 m2 ? 4 y2 ? 2my ? 3 ? 0 . 记 R ? x1 , y1 ? ,Q ? x 2 , y2 ? ,则 y1 ? y2 ?

?

?

?2m ?3 . , y1y2 ? 2 2 m ?4 m ?4 y1 y A1R 的方程是 y ? ? x ? 2 ? , A2Q 的方程是 y ? 2 ? x ? 2 ? , x1 ? 2 x2 ? 2

y1 ? ?y ? x ? 2 ? x ? 2? , y y2 ? 1 由? 得 1 ? x ? 2? ? ? x ? 2? , x2 ? 2 ? y ? y 2 ? x ? 2 ? , x1 ? 2 ? x2 ? 2 ? y ? my1 ? 3? ? y1 ? my2 ? 1? y ? x ? 2 ? ? y1 ? x 2 ? 2 ? 2my1 y 2 ? 3y 2 ? y1 ? 2? ? 2? 2 即 x ? 2? 2 1 3y 2 ? y1 y2 ? my1 ? 3? ? y1 ? my2 ? 1? y2 ? x1 ? 2 ? ? y1 ? x 2 ? 2 ?
2m ? ? 2? ?3 ? ?2m ? ? 3? 2 ? y1 ? ? y1 m ?4 ?m ?4 ? ?4. ? ?2m ? 3? 2 ? y1 ? ? y1 ?m ?4 ?
2

这说明,当 m 变化时,点 S 恒在定直线 ? : x ? 4 上. 18. (Ⅰ)解:在 Rt △COA1 中,

CA1 ?

2 , CO ? 2 tan ? , ………2 分 cos ? 2 y ? 3CA1 ? CB ? 3 ? ? 2 ? 2 tan ? = cos ? 2(3 ? sin ? ) ? ? 2 ( 0 ? ? ? )……7 分 cos ? 4

B C A3 A1 O A2

(Ⅱ) y ? 2
/

? cos2 ? ? (3 ? sin ? )(? sin ? ) 3 sin ? ? 1 ?2 , 2 cos ? cos2 ?
1 3
………………12 分

令 y ? ? 0 ,则 sin ? ? 当 sin ? ?

1 1 时, y ? ? 0 ; sin ? ? 时, y ? ? 0 , 3 3

∵ y ? sin ? 在 [0,

?

4

] 上是增函数
1 2 时,y 最小,最小为 4 2 ? 2 ;此时 BC ? 2 ? m 3 2
…16 分

∴当角 ? 满足 sin ? ?

19 解: (1)由已知,得 s1 ? (2)由 a1 ? 0 得 S n ?

1 ? (a ? a) ? a1 ? a , ∴ a ? 0 2

nan (n ? 1)a n ?1 , 则 S n ?1 ? , 2 2

∴ 2(S n?1 ? S n ) ? (n ? 1)an?1 ? nan ,即 2an?1 ? (n ? 1)an?1 ? nan , 于是有 (n ? 1)an?1 ? nan ,并且有 nan?2 ? (n ? 1)an?1 , ∴ nan?2 ? (n ? 1)an?1 ? (n ? 1)an?1 ? nan , 即 n(an?2 ? an?1 ) ? n(an?1 ? an ) , 而 n 是正整数,则对任意 n ? N 都有 a n?2 ?an?1 ? an?1 ? an , ∴数列 ?an ? 是等差数列,其通项公式是 an ? (n ? 1) p 。

(n ? 2)(n ? 1) p (n ? 1)np n(n ? 1) p 2 2 2 2 (3)∵ Sn ? ? pn ? ? ? 2? ? (n ? 1)np (n ? 2)(n ? 1) p 2 n n?2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) ? 2n ∴ p1 ? p2 ? p3 ? ? ? pn ? 2n ? (2 ? ? ) ? (2 ? ? ) ? ? ? (2 ? ? 1 3 2 4 n n?2 2 2 ; ? 2 ?1? ? n ?1 n ? 2
由 n 是正整数可得 p1 ? p2 ? ? ? pn ? 2n ? 3 ,故存在最小的正整数 M=3,使不等式

p1 ? p2 ? ? ? pn ? 2n ? M 恒成立。
20. (1)定义域 ? 0,?? ?
f ?? x ? ? 1 ? ln x ?0 x2

∴ ln x ? 1 ∴ f ? x ? 在 ? 0,e? 递增, ?e, ??? 递减

(2)由题 m ?

ln x x
a?e ? ? 2 ○? ln a ? f ? x ?max ? a ?

e ? a? ? ? 2 1 ○? ? f ? x ? ? ln 2a max ? 2a ?

? e ? ?a?e ? 3 ○? 2 ? f ? x? ? 1 max ? e ?

∴ a ? 时, m ?

e 2

ln 2e 2a

a ? e 时, m ?

ln a e

e 1 ? a ? e 时, m ? 2 e

数学Ⅱ(附加题)参考答案 1.解:矩阵 M 的特征多项式为 f (? ) ?

? ?1
?2

?2 ? (? ? 1)(? ? 1) ? 4 = ?2 ? 2? ? 3 . ? ?1

令 f (? ) ? 0, 得矩阵 M 的特征值为-1 和 3 . 当 ? ? ?1时,联立 ?

? -2 x ? 2 y ? 0 , 解得x ? y ? 0 ??2 x ? 2 y ? 0 ?1? ?. ? ?1?

所以矩阵 M 的属于特征值-1 的一个特征向量为 ?

当 ? ? 3时,联立 ?

? 2x ? 2 y ? 0 , 解得x ? y ??2 x ? 2 y ? 0 ?1? ?1?

所以矩阵 M 的属于特征值 3 的一个特征向量为 ? ? . 2.解:直线 l 的普通方程为: x ? 3 y ? 3 6 ? 0 ,设椭圆 C 上的点到直线 l 距离为 d .
| 3 cos? ? 3 sin ? ? 3 6 | d? ? 2 6 sin(? ? ) ? 3 6 4 2

?

∴当 sin(? ?

?
4

) ? 1 时, d max ? 2 6 ,当 sin(? ?

?
4

) ? ?1 时, d min ? 6 .

3.解: (1)以 AB,AC, AA1 分别为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系 A ? xyz , 则 PN ? (

1 1 ? ? , ,?1) , 2 2

平面 ABC 的一个法向量为 n ? (0,0,1) 则

?

sin ? ? cos ? PN , n ? ?

PN ? n PN n

?

1 1? 5 ? ?? ? ? ? 2? 4 ?
2

(*)

于是问题转化为二次函数求最值,而 ? ? [0,

?
2

], 当 ? 最大时,sin ? 最大,所以当 ? ?

1 时, 2

(sin? ) max ?

2 5 . 5
?

(3)已知给出了平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 45 ,即可得到平面 ABC 的一个 法向量为

???? ? ???? ?? 1 n ? AA1 ? (0,0,1) ,设平面 PMN 的一个法向量为 m ? ( x, y, z) , MP ? (? , ?1, ) . 2

2? ? 1 1 1 ? ? ?m ? NP ? 0 ?(? ? 2 ) x ? 2 y ? z ? 0 ? y? 3 x ? ? ? 由? 得? ,解得 ? . ?m ? MP ? 0 ? ? x ? y ? 1 z ? 0 ? z ? 2(1 ? ? ) x ? ? ? ? 2 3 ?
令 x ? 3, 得m ? (3, 2? ? 1, 2(1 ? ? ))这样m和n就表示出来了, 于是由

??

?? ?

cos ? m, n ? ?

m?n mn

?

2(1 ? ? ) 9 ? (2? ? 1) 2 ? 4(1 ? ? ) 2

?

2 , 2

解得 ? ? ?

1 1 , 故点P在B1 A1 的延长线上,且 A1 P ? . 2 2

4.解:⑴当 n ? 1时,a1 ? 3. 假设当 n ? k时,ak ? 4mk ? 3, mk ? N
a 4 m ?3 4 m ?3 则当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? 3 k ? 3 k ? (4 ? 1) k

0 ? C4mk ?3 44mk ?3 ? (?1) 0 ?

1 C4mk ?3 44mk ?2 ? (?1)1 ?



?

4m ?2 C4mkk ?3 41 ? (?1) 4mk ?2 ?

4 m ?3 C4mkk ?3 40 ? (?1) 4mk ?3

? 4T ? 1 ? 4(T ? 1) ? 3
4m ?2 4 m ?1 4m ?2 4m ?2 0 0 1 1 * 其中 T ? C4mk ?3 4 k ? (?1) ? C4mk ?3 4 k ? (?1) ? … ? C4mkk ?3 ? (?1) k ? N .

所以 ?mk ?1 ? T ?1? N , 使 ak ?1 ? 4mk ?1 ? 3所以当n ? k +1时,结论也成立, 所以 ?n ? N * , ?mn ? N , 使an ? 4mn ? 3 ;

(2) an?1 ? 3

an

? 34mn ?3 ? (81)mn ? 27 ,故 a2010 的末位数字是 7.


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