电路自学课件 第三章

第3章
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

电阻电路的一般分析
本章重点
电路的图

KCL和KVL的独立方程数
支路电流法

网孔电流法
回路电流法

结点电压法
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?重点

熟

练掌握电路方程的列写方法：
支路电流法

回路电流法
结点电压法

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?线性电路的一般分析方法

? 普遍性：对任何线性电路都适用。 ? 系统性：计算方法有规律可循。
?方法的基础

? 电路的连接关系—KCL，KVL定律。 ? 元件的电压、电流关系特性。 复杂电路的一般分析法就是根据KCL、KVL及 元件电压和电流关系列方程、解方程。根据列方程 时所选变量的不同可分为支路电流法、回路电流法 和结点电压法。
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3.1 电路的图
1.网络图论 图论是拓扑学的一个分支，是富 有趣味和应用极为广泛的一门学科。 A A
B D

B

D

C C
哥尼斯堡七桥难题
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2.电路的图
i R1 R2 + R5 R4 uS _ R 6
1 5 2 6 有向图 4 3

n?5
抛开元 件性质
1 5

b ?8
3 8

R3

2
7

4
6

元件的串联及并联 组合作为一条支路

一个元件作 为一条支路

n?4 b?6

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结论 电路的图是用以表示电路几何结构的图
形，图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对 应。 ⑴图的定义(Graph) G={支路，结点}

①图中的结点和支路各自是一个整体。 ②移去图中的支路，与它所联接的结点依然 存在，因此允许有孤立结点存在。 ③如把结点移去，则应把与它联 接的全部支路同时移去。

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(2)路径

从图G的一个结点出发沿着一些支 路连续移动到达另一结点所经过的 支路构成路径。 图G的任意两结点间至少有一条路 径时称为连通图，非连通图至少存 在两个分离部分。

(3)连通图

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(4)子图

若图G1中所有支路和结点都是图 G中的支路和结点，则称G1是G 的子图。

①树(Tree)

T是连通图的一个子图且满足下 列条件： a.连通 b.包含所有结点 c.不含闭合路径
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树
不 是 树 树支：构成树的支路 连支：属于G而不属于T的支路

明确 ①对应一个图有很多的树
②树支的数目是一定的

bt ? n ? 1

连支数：

bl ? b ? bt ? b ? (n ? 1)
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②回路(Loop) 1 7 3 5 8 4

2

6

L是连通图的一个子图，构成一 条闭合路径，并满足：(1)连通， (2)每个结点关联2条支路。 不 回路 1 2 是 2 3 回 7 5 路 8 4 5

1）对应一个图有很多的回路； 明 2）基本回路的数目是一定的，为连支数； 确 3）对于平面电路，网孔数等于基本回路数。

l ? bl ? b ? (n ? 1)
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基本回路(单连支回路) 6 4 2 1 3 5

基本回路具有独占的一条连支

5 2

6
2

1

3

1

3

结论
结点、支路和 基本回路关系

支路数＝树支数＋连支数 ＝结点数－1＋基本回路数

b ? n ? l ?1
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例 图示为电路的图，画出三种可能的树及其对
应的基本回路。 1 4 8 3 5 6 7 2 8 5 6 7 4 8 3 6

4 8 3 2

注意
网孔为基本回路。

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3.2 KCL和KVL的独立方程数
1.KCL的独立方程数
2 1 1 2 3 5 4 3
1 2 3 4

4

6

i1 ? i4 ? i6 ? 0 ? i1 ? i2 ? i3 ? 0 i2 ? i5 ? i6 ? 0 ? i3 ? i4 ? i5 ? 0

1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＝0

结论
n个结点的电路, 独立的KCL方程为n-1个。
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2.KVL的独立方程数
2
1 1 6 4 1 4 3 5 2 3 对网孔列KVL方程：

u1 ? u3 ? u4 ? 0 2 u2 ? u3 ? u5 ? 0 3 u4 ? u5 ? u6 ? 0 2 u1 ? u2 ? u4 ? u5 ? 0
1

注意 可以证明通过对以上三个网孔方程进
行加、减运算可以得到其他回路的KVL方程：

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结论
①KVL的独立方程数=基本回路数=b－(n－1) ②n个结点、b条支路的电路, 独立的KCL和KVL方 程数为：

(n ? 1) ? b ? (n ? 1) ? b

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3.3 支路电流法
1. 支路电流法
以各支路电流为未知量列写 电路方程分析电路的方法。 对于有n个结点、b条支路的电路，要求解支路 电流,未知量共有b个。只要列出b个独立的电路方 程，便可以求解这b个变量。

2. 独立方程的列写
①从电路的n个结点中任意选择n-1个结点列写 KCL方程 ②选择基本回路列写b-(n-1)个KVL方程。
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例
R2 i2 1 R1 i3

2 R4 i4 R3 2

有6个支路电流，需列写6个方 程。KCL方程:
1

1 i1 34
+

3 i5

2 3

R5

? i2 ? i3 ? i4 ? 0 ? i4 ? i5 ? i6 ? 0

i1 ? i2 ? i6 ? 0

R6

uS

– 回路1 回路2 回路3

取网孔为独立回路，沿顺时 i6 针方向绕行列KVL写方程:

u2 ? u3 ? u1 ? 0 u4 ? u5 ? u3 ? 0 u1 ? u5 ? u6 ? 0
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这一步可 以省去
2 R2 i2 1 R1 1 i1 34 + i3 R4 i4 R3 2 R5 i5

回路1 回路2 回路3

u2 ? u3 ? u1 ? 0 u4 ? u5 ? u3 ? 0 u1 ? u5 ? u6 ? 0

应用欧姆定律消去支路电压得： 3

R2i2 ? R3i3 ? R1i1 ? 0 R4i4 ? R5i5 ? R3i3 ? 0 R1i1 ? R5i5 ? R6i6 ? uS

i6 uS –
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R6

小结 （1）支路电流法的一般步骤：
①标定各支路电流（电压）的参考方向； ②选定(n–1)个结点，列写其KCL方程； ③选定b–(n–1)个独立回路，指定回路绕行方 向，结合KVL和支路方程列写；

? R i ? ?u
k k

Sk

④求解上述方程，得到b个支路电流； ⑤进一步计算支路电压和进行其它分析。

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（2）支路电流法的特点： 支路法列写的是 KCL和KVL方程， 所以方程 列写方便、直观，但方程数较多，宜于在支路数不 多的情况下使用。 例1 求各支路电流及各电压源发出的功率。 a 解 ① n–1=1个KCL方程： I3 I1 7? I2 11? 结点a： –I1–I2+I3=0 + + 7? ② b–( n–1)=2个KVL方程： 1 2 70V 6V 7I1–11I2=70-6=64 – – 11I2+7I3= 6 b

?U=?US
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a
I1 + 70V – 7? I2 11? + 1 2 6V – b I3 7?

?1 ?1 1 Δ ? 7 ? 11 0 ? 203 0 11 7 0 Δ1 ? 64 6 ?1 Δ2 ? 7 0 ?1 ? 11 11 0 64 6 1 0 ? 1218 7 1 0 ? ?406 7

I1 ? 1218 203 ? 6A

I 2 ? ? 406 203 ? ? 2A
I 3 ? I1 ? I 2 ? 6 ? 2 ? 4A
P70 ? 6 ? 70 ? 420 W

P6 ? ?2 ? 6 ? ?12 W
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例2 列写支路电流方程.(电路中含有理想电流源）
解1
(1) n–1=1个KCL方程：

结点a： –I1–I2+I3=0
(2) b–( n–1)=2个KVL方程：

设电流 源电压 a I3 7?

7I1–11I2=70-U 11I2+7I3= U
增补方程：I2=6A

I1 7? I2 11? + 6A + 1 U 2 70V _ – b
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a 解2

I3 I1 7? I2 11? + 7? 6A 1 70V – b 由于I2已知，故只列写两个方程
结点a： –I1+I3=6

避开电流源支路取回路： 7I1＋7I3=70

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例3 列写支路电流方程.(电路中含有受控源）
a

7? + 70V –

I1

I2 11? + 1 U 7? + 2 _ 5U _
b

I3 解

结点a：

–I1–I2+I3=0 7I1–11I2=70-5U 11I2+7I3= 5U 增补方程：U=7I3

注意 有受控源的电路，方程列写分两步：
①先将受控源看作独立源列方程；
②将控制量用未知量表示，并代入①中所列的方 程，消去中间变量。
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3.4
1.网孔电流法

网孔电流法

以沿网孔连续流动的假想电流为未知量列 写电路方程分析电路的方法称网孔电流法。它仅 适用于平面电路。 ?基本思想 为减少未知量(方程)的个数，假想每个回 路中有一个回路电流。各支路电流可用回路电 流的线性组合表示，来求得电路的解。

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i1 R i2 R2 1 + il1 + uS1 il2 uS2 – – b
?列写的方程

i3

R3

独立回路数为2。选 图示的两个独立回路，支 路电流可表示为：

i1 ? il1 i3 ? il 2 i2 ? il 2 ? il 1

网孔电流在网孔中是闭合的，对每个相关结 点均流进一次，流出一次，所以KCL自动满足。 因此网孔电流法是对网孔回路列写KVL方程，方 程数为网孔数。
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2. 方程的列写 网孔1： R1 il1+R2(il1- il2)-uS1+uS2=0 网孔2： R2(il2- il1)+ R3 il2 -uS2=0
整理得：

(R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2 - R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2
i3 R3 观察可以看出如下规律：

i1 R i2 R2 1 + il1 + uS1 il2 uS2 – – b

R11=R1+R2
网孔1中所有电阻之和， 称网孔1的自电阻。
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i1 R i2 R2 1 网孔2中所有电阻之和，称 + il1 + uS1 il2 网孔2的自电阻。 uS2 – R12= R21= –R2 – b 网孔1、网孔2之间的互电阻。

R22=R2+R3

i3

R3

uSl1= uS1-uS2 网孔1中所有电压源电压的代数和。 uSl2= uS2 网孔2中所有电压源电压的代数和。 注意 ①自电阻总为正。
②当两个网孔电流流过相关支路方向相同 时，互电阻取正号；否则为负号。
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③当电压源电压方向与该网孔电流方向一致时，取 负号；反之取正号。 i3 i1 R i2 R2 1 方程的标准形式： + il1 + R3 il2 uS2 R11il1 ? R12il 2 ? usl1 uS1 ? ?R i ? R i ? u – – ? 21 l1 22 l 2 sl 2 b 对于具有 l 个网孔的电路，有:

? R11il1 ? R12il 2 ? ? ? R1l ill ? usl1 ?R i ? R i ? ? ? R i ? u ? 21 l1 22 l 2 2 l ll sl 2 ? ? ? ? Rl1il1 ? Rl 2il 2 ? ? ? Rll ill ? usll ?
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? R11il 1 ? R12il 2 ? ? ? R1l ill ? u sl1 ? R21il 1 ? R22il 2 ? ? ? R2 l ill ? u sl 2 ?? ? ? Rl1il1 ? Rl 2il 2 ? ? ? Rll ill ? u sll 注意 Rkk: 自电阻(总为正) Rjk: 互电阻
+ : 流过互阻的两个网孔电流方向相同； - : 流过互阻的两个网孔电流方向相反； 0 : 无关。
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例1 用网孔电流法求解电流 i
解 选网孔为独立回路：

( RS ? R1 ? R4 )i1 ? R1i2 ? R4i3 ? U S
? R1i1 ? ( R1 ? R2 ? R5 )i2 ? R5i3 ? 0 ? R4i1 ? R5i2 ? ( R3 ? R4 ? R5 )i3 ? 0 i ? i2 ? i3 表明

RS + US _

i1

R1

R4

R2 ①无受控源的线性网络Rjk=Rkj , i2 R5 i 系数矩阵为对称阵。 ②当网孔电流均取顺（或逆） i3 R3 时针方向时，Rjk均为负。
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小结
（1）网孔电流法的一般步骤：
①选网孔为独立回路，并确定其绕行方向； ②以网孔电流为未知量，列写其KVL方程； ③求解上述方程，得到 l 个网孔电流； ④求各支路电流； ⑤其它分析。 （2）网孔电流法的特点： 仅适用于平面电路。
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3.5
1.回路电流法

回路电流法

以基本回路中沿回路连续流动的假想电流为未 知量列写电路方程分析电路的方法。它适用于平面 和非平面电路。
?列写的方程

回路电流法是对独立回路列写KVL方程，方 程数为：

b ? (n ? 1)

注意 与支路电流法相比，方程数减少n-1个。
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2. 方程的列写 例 用回路电流法求解电流 i. RS
解 只让一个回路电 流经过R5支路。 + i1

R1

R2 i2 R5 i
i3 R3

US _

R4

( RS ? R1 ? R4 )i1 ? R1i2 ? ( R1 ? R4 )i3 ? U S
? R1i1 ? ( R1 ? R2 ? R5 )i2 ? ( R1 ? R2 )i3 ? 0
? ( R1 ? R4 )i1 ? ( R1 ? R2 )i2 ? ( R1 ? R2 ? R3 ? R4 )i3 ? 0

i ? i2
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方程的标准形式：

对于具有 l=b-(n-1) 个回路的电路，有:

? R11il1 ? R12il 2 ? ? ? R1l ill ? usl1 ?R i ? R i ? ? ? R i ? u ? 21 l1 22 l 2 2 l ll sl 2 ? ? ? ? Rl1il1 ? Rl 2il 2 ? ? ? Rll ill ? usll ?

注意 Rkk: 自电阻(总为正) Rjk:
互电阻 + : 流过互阻的两个回路电流方向相同； - : 流过互阻的两个回路电流方向相反； 0 : 无关。
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小结 （1）回路法的一般步骤：
①选定l=b-(n-1)个独立回路，并确定其绕行方向； ②对l 个独立回路，以回路电流为未知量，列写 其KVL方程； ③求解上述方程，得到 l 个回路电流； ④求各支路电流； ⑤其它分析。 （2）回路法的特点： ①通过灵活的选取回路可以减少计算量； ②互有电阻的识别难度加大，易遗漏互有电阻。
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3.理想电流源支路的处理
? 引入电流源电压，增加回路电流和电流源电流 的关系方程。

例 ( RS ? R1 ? R4 )i1 ? R1i2 ? R4i3 ? U S
? R1i1 ? ( R1 ? R2 )i2 ? U
? R4i1 ? ( R3 ? R4 )i3 ? ?U
方程中应包括 电流源电压 增补方程： RS + US _ i1

R1
IS

i2 _ U i3

R2

I S ? i2 ? i3

R4

+

R3

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?选取独立回路，使理想电流源支路仅仅属于一个

回路,该回路电流即 IS 。

例

i2 ? I S

( RS ? R1 ? R4 )i1 ? R1i2 ? ( R1 ? R4 )i3 ? U S
已知电流，实际减少了一方程

? ( R1 ? R4 )i1 ? ( R1 ? R2 )i2 ? ( R1 ? R2 ? R3 ? R4 )i3 ? 0
RS + US _

i1

R1
IS

i2 i3

R2

R4

R3
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4.受控电源支路的处理
对含有受控电源支路的电路，可先把受控 源看作独立电源按上述方法列方程，再将控制 量用回路电流表示。

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例1
RS + US _ i1

R1

R2 i2 5U _ + + R3 i3 _ U

增补方程：

U ? R3i3

R4

( RS ? R1 ? R4 )i1 ? R1i2 ? R4i3 ? U S

? R1i1 ? ( R1 ? R2 )i2 ? 5U
? R4i1 ? ( R3 ? R4 )i3 ? ?5U
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受控源看 作独立源 列方程

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例2 列回路电流方程
R2i2 ? U 2 ? U 3

解1

选网孔为独立回路

( R1 ? R3 )i1 ? R3i3 ? ?U 2

? R3i1 ? ( R3 ? R4 ? R5 )i3 ? R5i4 ? 0
? R5i3 ? R5i4 ? U 3 ? ? U1
增补方程：
+ U1 +

U2
R2

_

2 1 iS _ gU1 R
3

R1

U3

i1 ? i2 ? iS
i4 ? i2 ? gU 1

_

+

3 R5
R4

4
_
返 回

U1 ? ? R1i1

+ ?U1

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解2

i1 ? iS R1i1 ? ( R1 ? R2 ? R4 )i2 ? R4i3 ? ? ? U1
回路2选大回路
+ U1 _

? R3i1 ? R4i2 ? ( R3 ? R4 ? R5 )i2 ? R5i4 ? 0
R2 R1 gU1

i4 ? gU 1
增补方程：

i R3 1 S

3
R4

U1 ? ? R1 (i1 ? i2 )
4
_ + ?U1

R5

2

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例3 求电路中电压U，电流I和电压源产生的功率
2A
i2 2A i1 1? 3A 3? i4
＋

解

i1 ? 2A i2 ? 2A
i3 ? 3A

U
－

I

i3

2? + 6i4 4V –

? 3i1 ? i2 ? 4i3 ? ?4

i4 ? (6 ? 2 ? 12 ? 4) / 6 ? 2A I ? 2 ? 3 ? 2 ? 3A U ? 2i4 ? 4 ? 8V P ? 4 ? i4 ? 8W(吸收）
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3.6 结点电压法
1.结点电压法
以结点电压为未知量列写电路方程分析电路的 方法。适用于结点较少的电路。
?基本思想：

选结点电压为未知量，则KVL自动满足， 无需列写KVL 方程。各支路电流、电压可视为 结点电压的线性组合，求出结点电压后，便可方 便地得到各支路电压、电流。
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?列写的方程

结点电压法列写的是结点上的

KCL方程，独立方程数为：

(n ? 1)

注意
①与支路电流法相比，方程数减少b-(n-1)个。 ②任意选择参考点：其它结点与参考点的电位差即为 结点电压(位)，方向为从独立结点指向参考结点。 uA-uB uA uB

(uA-uB)+uB-uA=0
KVL自动满足

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2. 方程的列写
①选定参考结点，标明其余n-1个独立结点的电压； ②列KCL方程：

?i

R出

? ? iS入
iS1

iS2
1 i2 R2

i3 R3
2 i 4

3

i1+i2=iS1+iS2 -i2+i4+i3=0

i1

R1 R4

R5 i5 + uS _

-i3+i5=－iS2
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i1+i2=iS1+iS2 -i2+i4+i3=0 -i3+i5=-iS2
把支路电流用结点 电压表示：

iS2
1 i2 R2

i3 R3
2 i 4

3

iS1

i1

R1 R4

R5 i5 + uS _

un1 un1 ? un2 ? ? iS1 ? iS2 R1 R2 un1 ? un2 un2 ? un3 un2 ? ? ? ?0 R2 R3 R4 un2 ? un3 un3 ? uS ? ? ? ?iS 2 R3 R5

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整理得：

1 1 1 ( ? ) un1 ? ( )un2 ? iS1 ? iS2 R1 R2 R2 1 1 1 1 1 ? un1 ? ( ? ? ) un 2 ? un 3 ? 0 R2 R2 R3 R4 R3
1 1 1 uS ? ( )un2 ? ( ? ) un3 ? ?iS2 ? R3 R3 R5 R5

令 Gk=1/Rk，k=1, 2, 3, 4, 5

等效电 上式简记为： 流源 标准形式的结点 电压方程

G11un1+G12un2 ＋G13un3 = iSn1 G21un1+G22un2 ＋G23un3 = iSn2 G31un1+G32un2 ＋G33un3 = iSn3

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小结

G11=G1+G2 G33=G3+G5

结点1的自电导

G22=G2+G3+G4 结点2的自电导
结点3的自电导 结点的自电导等于接在该结点上所有支路的电导之和。

G12= G21 =-G2 结点1与结点2之间的互电导 G23= G32 =-G3 结点2与结点3之间的互电导
互电导为接在结点与结点之间所有支路的电 导之和，总为负值。

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iSn1=iS1+iS2 流入结点1的电流源电流的代数和。

iSn3=-iS2 ＋uS/R5 流入结点3的电流源电流的代数
和。 流入结点取正号，流出取负号。

由结点电压方程求得各结点电压后即可求得 各支路电压，各支路电流可用结点电压表示：

un1 i1 ? R1 un2 i4 ? R4

un1 ? un2 i2 ? R2 un 3 ? uS i5 ? R5

un2 ? un3 i3 ? R3

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结点法标准形式的方程：

G11un1+G12un2+…+G1,n-1un,n-1=iSn1 G21un1+G22un2+…+G2,n-1un,n-1=iSn2 ???? Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+…+Gn-1,nun,n-1=iSn,n-1 Gii —自电导，总为正。 Gij = Gji—互电导，结点i与结点j之间所有支路电
导之和，总为负。

iSni — 流入结点i的所有电流源电流的代数和。
注意 电路不含受控源时，系数矩阵为对称阵。
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总结
结点法的一般步骤： (1)选定参考结点，标定n-1个独立结点； (2)对n-1个独立结点，以结点电压为未知量，列 写其KCL方程； (3)求解上述方程，得到n-1个结点电压； (4)通过结点电压求各支路电流；

(5)其它分析。

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例 试列写电路的结点电压方程
1 GS + Us _ G1 G3 2 G4 G5 G2

3 (G1+G2+GS)U1-G1U2－GsU3=GSUS -G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0 －GSU1-G4U2+(G4+G5+GS)U3 =－USGS
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3. 无伴电压源支路的处理
①以电压源电流为变 + 量，增补结点电压与 Us 电压源间的关系。 _ (G1+G2)U1-G1U2 =I

I
G1

1 G2
G3

2 G4 3
G5

-G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0 -G4U2+(G4+G5)U3 =－I 增补方程

看成电流源

U1-U3 = US
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②选择合适的参考点

U1= US
-G1U1+(G1+G3+G4)U2- G3U3 =0 -G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0 1 G1 G3 G2 3 G4

4.受控电源支路的处理

+

对含有受控电源支路 Us 的电路，先把受控源看作 _ 独立电源列方程，再将控 制量用结点电压表示。

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例1 列写电路的结点电压方程
①先把受控源当作 独立源列方程； iS1

1
R1

+ uR _ 2 R3

R2

gmuR2

1 1 1 ( ? )un1 ? un 2 ? iS1 2 R1 R 2 R1 1 1 1 ? un1 ? ( ? )un 2 ? ? g muR ? iS 1 R1 R1 R 3
2

uR 2 ? un1
②用结点电压表示控制量。
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例2 列写电路的结点电压方程
解 ①设参考点 ②把受控源当作独立 源列方程；
iS1 R1 1 +

R5

+

uS _ R3 _ R4 3 gu3

－ ri R2 i 2

+ u3

un1 ? ri

1 1 1 1 1 ( ? ? )un 2 ? un1 ? un 3 ? ?iS1 ? gu3 R1 R 2 R4 R1 R4 1 1 1 1 1 uS ? un1 ? un 2 ? ( ? ? )un 3 ? ? gu3 ? R5 R4 R4 R3 R5 R5
③用结点电压表示控制量。 u3 ? ?un 3

i ? ? un 2 R2
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增补方程：

U = Un2 注意
与电流源串接的电 阻不参与列方程。

1? 3? ＋ 4V 1V 3A 5? － － 1 2? 2 ＋ U －
3? ＋ － 2?
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4U

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＋

例3 列写电路的结点电压方程 1 4U )un1 ? 0.5un2 ? un3 ? ?1 ? 解 (1 ? 0.5 ? 3? 2 5 ? 0.5un1 ? (0.5 ? 0.2)un2 ? 3A 3 un3 ? 4V

例 求电压U和电流I
解1 应用结点法

? 0.5un1 ? 0.5un2 ? un3 ? 20
解得：

un2 ? 100 ? 110 ? 210 V

2

2? 3 ＋ 110V

2? －

un3 ? 20 ? 50 ? 105 ? 175V

U ? un3 ? 1? 20 ? 195V
I ? ?(un2 ? 90) / 1 ? ?120 A
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＋
1

un1 ? 100 V

1? － 90V ＋

I

1? － U 20A ＋

－ 100V

解2 应用回路法

i1 ? 20A

i2 ? i1 ? 120

? 2i1 ? 4i3 ? 110 ? i3 ? 150 / 4
解得：

2? ＋

3

2? －2

I ? ?(i1 ? i2 ) ? ?120 A

110V

U ? 2i3 ? 100 ? 1? 20 ? 195V
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＋

1? － 90V ＋

I 1

1? － U 20A ＋

－
100V