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2015-2016高中数学 2.3 数学归纳法课时作业 新人教A版选修2-2


课时作业(十九)

数学归纳法

A 组 基础巩固 n n 1.用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时,x +y 能被 x+y 整除”的第二步是( ) A.假使 n=2k+1 时正确,再推 n=2k+3 时正确 B.假设 n=2k-1 时正确,再推 n=2k+1 时正确 C.假设 n=k 时正确,再推 n=k+1 时正确 * D.假使 n≤k

(k≥1)时正确,再推 n=k+2 时正确(以上 k∈N ) 答案:B * 2.某同学回答“用数学归纳法证明 n?n+1?<n+1(n∈N )”的过程如下: * 证明:①当 n=1 时,显然命题是正确的;②假设当 n=k(k≥1,k∈N )时,有 k?k+1? 2 2 2 <k+1,那么当 n=k+1 时, ?k+1? +?k+1?= k +3k+2< k +4k+4=(k+1)+1, * ∴当 n=k+1 时命题是正确的.由①②可知对于 n∈N ,命题都是正确的.以上证法是错误的, 错误在于( ) A.从 k 到 k+1 的推理过程没有使用假设 B.假设的写法不正确 C.从 k 到 k+1 的推理不严密 D.当 n=1 时,验证过程不具体 答案:A 1 1 1 * 3.用数学归纳法证明:1+ + +?+ n <n(n∈N ,且 n>1),第二步证明由“k 到 k 2 3 2 -1 +1”时,左端增加的项数是( ) k-1 k A.2 B.2 k k C.2 -1 D.2 +1 答案:B 1 1 1 1 * 4.用数学归纳法证明 + + +?+ <1(n∈N ,n≥2),由“k 到 k+1”时,不 n n+1 n+2 2n 等式左端的变化是( ) 1 A.增加 一项 2?k+1? 1 1 B.增加 和 两项 2k+1 2?k+1? 1 1 1 C.增加 和 两项,同时减少 一项 2k+1 2?k+1? k D.以上都不对 答案:C n-1 1 1 1 ?-1? 1 1 5. 已知 n 为正偶数, 用数学归纳法证明 1- + - +?+ =2( + +? 2 3 4 n n+2 n+4 1 + )时,若已知假设 n=k(k≥2)为偶数时命题为真,则还需要用归纳假设再证( ) 2n A.n=k+1 时等式成立 B.n=k+2 时等式成立 C.n=2k+2 时等式成立 D.n=2(k+2)时等式成立 答案:B 6.平面上原有 k 个圆,它们相交所成圆弧共有 f(k)段,若增加第 k+1 个圆与前 k 个圆 均有两个交点,且不过前 k 个圆的交点,试问前 k 个圆的圆弧增加__________段. 答案:2k 2 * 7.对于不等式 n +4n<n+2(n∈N ),某学生的证明过程如下:

-1-

(1)当 n=1 时, 1 +4<1+2,不等式成立. * 2 (2) 假 设 n = k(k ∈ N ) 时 , 不 等 式 成 立 , 即 k +4k <k + 2 , 则 n = k + 1 时 , 2 2 2 2 ?k+1? +4?k+1?= k +6k+5< ?k +6k+5?+4= ?k+3? =(k+1)+2. ∴当 n=k+1 时,不等式成立. 上述证法第__________步错误. 答案:(2) *, 4n+2 2n+1 8.对任意 n∈N 3 +a 都能被 14 整除,则最小的自然数 a=__________. 6 3 10 5 解析:当 n=1 时,3 +a 能被 14 整除的数为 a=3 或 5;当 a=3 且 n=2 时,3 +3 不能 被 14 整除,故 a=5. 答案:5 * 2 2 2 2 9.已知 n∈N ,求证 1·2 -2·3 +?+(2n-1)·(2n) -2n·(2n+1) =-n(n+1)(4n +3). * 证明:①当 n=1 时,左边=4-18=-14=(-1)×2×7=右边.②假设当 n=k(k∈N , 2 2 2 2 k≥1)时成立,即 1·2 -2·3 +?+(2k-1)·(2k) -2k·(2k+1) =-k(k+1)(4k+3).当 n=k+1 时,1·22-2·32+?+(2k-1)·(2k)2-2k·(2k+1)2+(2k+1)·(2k+2)2-(2k+ 2 2 2)·(2k+3) =-k(k+1)(4k+3)+(2k+2)[(2k+1)(2k+2)-(2k+3) ]=-k(k+1)(4k+ 3) + 2(k +1)·(- 6k - 7) =- (k + 1)(k + 2)(4k + 7) =- (k +1)·[(k + 1) + 1][4(k + 1) + * 3],即当 n=k+1 时成立.综上所述,对一切 n∈N 结论成立. B 组 能力提升 1 1 1 * 10.当 n≥2,n∈N 时,求证:1+ + +?+ > n. 2 3 n 1 证明:(1)当 n=2 时,左边=1+ >1.7,右边= 2,左边>右边. 2 1 1 1 * (2)方法一:假设当 n=k(k≥2 且 k∈N )不等式成立,即 1+ + +?+ > k,则 2 3 k 当 n = k + 1 时,左边= 1 + 1 2 + 1 3 +?+ 1

2

k



1

k+1

> k+

1

k+1



k?k+1?+1 > k+1

k·k+1 k+1 = = k+1=右式, k+1 k+1 即当 n=k+1 时,不等式也成立.
方法二:假设当 n=k(k≥2,且 k∈N )时不等式成立,即 1+ 当 n=k+1 时,左边=1+ 式成立,只需证 k+ 只需证 1 1 2 + 1
*

1 2



1 3

+?+

1

k

> k,则

1 1 1 +?+ + > k+ ,右边= k+1要证不等 3 k k+1 k+1

k+1

> k+1,

k· k+1+1 > k+1 k+1 只需证 k·?k+1?+1>k+1, 2 只需证 k +k>k, 2 2 只需证 k +k>k , 只需证 k>0,由题设知显然成立. 所以当 n=k+1 时,不等式也成立.
方法三:假设当 n=k(k≥2,且 k∈N )时不等式成立,即 1+ 当 n=k+1 时,
*

1 2



1 3

+?+

1

k

> k,则

-2-

左边=1+

1 2



1 3

+?+

1

k



1 > k+ , k+1 k+1

1

右边= k+1, 1 k?k+1?+1-?k+1? k?k+1?-k 因为 k+ - k+1= = > 0, k+1 k+1 k+1 所以左边>右边. 所以当 n=k+1 时,不等式也成立. * 根据(1)和(2),可知对一切 n∈N ,且 n≥2,不等式都成立. 2 11.已知某数列的第一项为 1,并且对所有的自然数 n≥2,数列的前 n 项之积为 n . (1)写出这个数列的前 5 项; (2)写出这个数列的通项公式并加以证明. 2 2 解析:(1)已知 a1=1,由题意,得 a1·a2=2 ,∴a2=2 . 2 3 2 ∵a1·a2·a3=3 ,∴a3= 2. 2 2 2 4 5 同理,可得 a4= 2,a5= 2. 3 4 9 16 25 因此这个数列的前 5 项分别为 1,4, , , . 4 9 16 (2)观察这个数列的前 5 项,猜测数列的通项公式应为: 1?n=1?, ? ? an=? n2 2?n≥2?. ? ??n-1? 下面用数学归纳法证明当 n≥2 时,an= 2. ?n-1? 2 2 2 ①当 n=2 时,a2= 2=2 ,结论成立. ?2-1? ②假设当 n=k(k≥2,k∈N )时,结论成立,即 ak= 2. ?k-1? 2 ∵a1·a2·?·ak-1=(k-1) , a1·a2·?·ak-1·ak·ak+1=(k+1)2, 2 2 2 2 2 ?k+1? ?k+1? ?k-1? ?k+1? ?k+1? ∴ak+1= = = = 2· 2 2 2. ?a1·a2·?·ak-1?·ak ?k-1? k k [?k+1?-1] 这就是说当 n=k+1 时,结论也成立. 根据①②可知,当 n≥2 时,这个数列的通项公式是 an= 1?n=1? ? ? ∴这个数列的通项公式为 an=? n2 2?n≥2?. ? ??n-1?
*

n2

k2

n2
?n-1?

2

.

-3-


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