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2016高三数学一轮阶段性测试题:1集合与常用逻辑用语


阶段性测试题一(集合与常用逻辑用语)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.(2015· 江西省三县联考)已知集合 A={x∈R|2x-3≥0},集合 B

={x∈R|x2-3x+2<0}, 则 A∩B=( ) 3 B.{x| ≤x<2} 2 3 D.{x| <x<2} 2

3 A.{x|x≥ } 2 C.{x|1<x<2} [答案] B

3 3 [解析] A={x|x≥ },B={x|1<x<2},∴A∩B={x| ≤x<2}. 2 2 2.(2015· 湖北省教学合作联考)下列命题中真命题的个数是( (1)若命题 p,q 中有一个是假命题,则? (p∧q)是真命题. (2)在△ABC 中,“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90° ”的必要不充分条件. (3)若 C 表示复数集,则有?x∈C,x2+1≥1. A.0 C .2 [答案] C [解析] (1)∵p、q 中有一个假命题,∴p∧q 为假命题,∴? (p∧q)为真命题,∴(1)正确; (2)若 C=90° ,则 cosA=cos(90° -B)=sinB,cosB=cos(90° -A)=sinA,∴cosA+sinA=cosB +sinB,但 cosA+sinA=cosB+sinB 时, 2sin(A+45° )= 2sin(B+45° ),∴满足 A=B,或 A +B=90° ,得不出 C=90° ,故(2)正确;(3)当 x=i 时,有 x2+1=0,故(3)错误,选 C. 3.(文)(2014· 文登市期中)已知集合 A={x|log4x<1},B={x|x≥2},则 A∩(?RB)=( A.(-∞,2) C.(-∞,2] [答案] B [解析] ∵A={x|log4x<1}={x|0<x<4},B={x|x≥2},∴?RB={x|x<2},所以 A∩(?RB)= B.(0,2) D.[2,4) ) B.1 D.3 )

(0,2),故选 B. 1 (理)(2015· 河南开封 22 校联考)已知集合 A={x|2x> },B={x|log2x<1},则 A∩B=( 2 A.(-1,2) B.(1,2) )

C.(0,2) [答案] C

D.(-1,1)

1 [解析] 由 2x> 得 x>-1,∴A={x|x>-1};由 log2x<1 得 0<x<2,∴B={x|0<x<2}, 2 ∴A∩B={x|0<x<2},选 C. 4.(2015· 豫南九校联考 )已知实数集 R 为全集,集合 A={x|y=log2(x-1)},B={y|y= 4x-x2},则(?RA)∩B=( A.(-∞,1] C.[0,1] [答案] C [解析] A={x|x>1}, B={y|0≤y≤2}, ∴?RA={x|x≤1}, (?RA)∩B={x|0≤x≤1}, 故选 C. 5.(2014· 江西临川十中期中)已知平面向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60° , 则“m=1”是“(a-mb)⊥a”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] C [解析] ∵|a|=1, |b|=2, 〈a, b〉 =60° , ∴a· b=1×2×cos60° =1, (a-mb)⊥a?(a-mb)· a =0?|a|2-ma· b=0?m=1,故选 C. 6.(2015· 娄底市名校联考)“p 且 q 是真命题”是“非 p 为假命题”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] A [解析] ∵“p∧q”是真命题,∴p 与 q 都是真命题,∴? p 为假命题;由? p 为假命题可 知 p 为真命题,但 q 的真假性不知道,∴p∧q 的真假无法判断,故选 A. a b 7.(2015· 濉溪县月考)已知向量 a,b 都是非零向量,“ =- ”是“a+b=0”的( |a| |b| A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] B a b a [解析] ∵a,b 都是非零向量,a+b=0,∴a 与 b 的方向相反,从而 =- ;但 =- |a| |b| |a| b 时,显然 a 与 b 方向相反,但|a|与|b|不一定相等,从而 a+b=0 不一定成立. |b| 8.(文)(2015· 山东滕州一中单元检测)设全集 U=R,A={x|-x2-3x>0},B={x|x<-1}, 则图中阴影部分表示的集合为( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) B.(0,1) D.(1,2]

A.{x|x>0} C.{x|-3<x<0} [答案] B

B.{x|-3<x<-1} D.{x|x<-1}

[解析] 由-x2-3x>0 得-3<x<0,阴影部分表示 A∩B={x|-3<x<-1},故选 B. ( 理 )(2014· 江西都昌一中月考 ) 已知全集 U = {1,2,3,4,5,6} ,集合 A = {2,3,4} ,集合 B = {2,4,5},则下图中的阴影部分表示( )

A.{2,4} C.{5} [答案] C

B.{1,3} D.{2,3,4,5}

[解析] 阴影部分在集合 B 中, 不在集合 A 中, 故阴影部分为 B∩(?UA)={2,4,5}∩{1,5,6} ={5},故选 C. 9.(2015· 安徽示范高中联考)设 a∈R,则“a=1”是“l1:直线 ax+y-1=0 与直线 l2:x -ay-3=0 垂直”的( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 [答案] A

[解析] 当 a=0 时,l1⊥l2,当 a=1 时,l1⊥l2,∴选 A. 10.(文)(2015· 韶关市十校联考)命题“?x∈R,ex-x+1≥0”的否定是( A.?x∈R,ex-x+1<0 C.?x∈R,ex-x+1>0 [答案] D [解析] 全称命题的否定为特称命题,“≥”的否定为“<”,故选 D. (理)(2015· 庐江二中、巢湖四中联考)下列说法错误的是( ) B.?x∈R,ex-x+1≥0 D.?x∈R,ex-x+1<0 )

A.若 p:?x∈R,x2-x+1=0,则? p:?x∈R,x2-x+1≠0 1 B.“sinθ= ”是“θ=30° ”的充分不必要条件 2 C.命题“若 a=0,则 ab=0”的否命题是“若 a≠0,则 ab≠0” D.已知 p:?x∈R,cosx=1,q:?x∈R,x2-x+1>0,则“p∧(? q)”为假命题 [答案] B

1 [解析] 特称命题的否定为全称命题,“=”的否定为“≠”,∴A 正确;sinθ= 时,θ 2 1 不一定为 30° ,例如 θ=150° ,但 θ=30° 时,sinθ= ,∴B 应是必要不充分条件,故 B 错;C 2 1 3 显然正确;当 x=0 时,cosx=1,∴p 真;对任意 x∈R,x2-x+1=(x- )2+ >0,∴q 真,∴ 2 4 p∧(? q)为假,故 D 正确. 11.(2014· 黄冈中学检测)已知集合 M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2, y2)∈M,使得 x1x2+y1y2=0 成立,则称集合 M 是“理想集合”,则下列集合是“理想集合” 的是( ) B.M={(x,y)|y=cosx} D.M={(x,y)|y=log2(x-1)}

1 A.M={(x,y)|y= } x C.M={(x,y)|y=x2-2x+2} [答案] B

[解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则由 x1x2+y1y2=0 知 OA⊥OB,由理想集合的定义知, 1 对函数 y=f(x)图象上任一点 A,在图象上存在点 B,使 OA⊥OB,对于函数 y= ,图象上点 x A(1,1),图象上不存在点 B,使 OA⊥OB;对于函数 y=x2-2x+2 图象上的点 A(1,1),在其图 象上也不存在点 B,使 OA⊥OB;对于函数 y=log2(x-1)图象上的点 A(2,0),在其图象上不存 在点 B, 使 OA⊥OB; 而对于函数 y=cosx, 无论在其图象上何处取点 A, 总能在其位于区间[- π π , ]的图象上找到点 B,使 OA⊥OB,故选 B. 2 2 12.(文)(2014· 河北冀州中学期中)下列命题中的真命题是( 3 A.?x∈R,使得 sinx+cosx= 2 C.?x∈(-∞,0),2x<3x [答案] B π 3 [解析] ∵sinx+cosx= 2sin(x+ )∈[- 2, 2], > 2,∴不存在 x∈R,使 sinx+cosx 4 2 3 = 成立,故 A 错;令 f(x)=ex-x-1(x≥0),则 f ′(x)=ex-1,当 x>0 时,f ′(x)>0,∴f(x) 2 在[0,+∞)上单调递增,又 f(0)=0,∴x>0 时,f(x)>0 恒成立,即 ex>x+1 对?x∈(0,+∞) π 都成立,故 B 正确;在同一坐标系内作出 y=2x 与 y=3x 的图象知,C 错误;当 x= 时,sinx 4 = 2 =cosx,∴D 错误,故选 B. 2 (理)(2015· 重庆南开中学月考)下列叙述正确的是( ) )

B.?x∈(0,+∞),ex>x+1 D.?x∈(0,π),sinx>cosx

A.命题:?x∈R,使 x3+sinx+2<0 的否定为:?x∈R,均有 x3+sinx+2<0.

B.命题:“若 x2=1,则 x=1 或 x=-1”的逆否命题为:若 x≠1 或 x≠-1,则 x2≠1 C.己知 n∈N,则幂函数 y=x3n 件为 n=1 x+m D.函数 y=log2 的图象关于点(1,0)中心对称的充分必要条件为 m=± 1 3-x [答案] C [解析] A:命题:?x∈R,使 x3+sinx+2<0 的否定为:?x∈R,均有 x3+sinx+2≥0, 故 A 错误; B:命题:若 x2=1,则 x=1 或 x=-1 的逆否命题为:若 x≠1 且 x≠-1,则 x2≠1,故 B 错误; C:因为幂函数 y=x3n
-7 -7

为偶函数,且在 x∈(0,+∞)上单调递减的充分必要条

在 x∈(0,+∞)上单调递减,

7 所以 3n-7<0,解得 n< ,又 n∈N, 3 所以,n=0,1 或 2;又 y=x3n
-7 -7

为偶函数, 为偶函数,且在 x∈(0,+∞)上单调递减的充分必要条件

所以,n=1,即幂函数 y=x3n 为 n=1,C 正确;

x+m D:令 y=f(x)=log2 ,由其图象关于点(1,0)中心对称,得 f(x)+f(2-x)=0, 3-x x+m ?2-x?+m ?x+m??2+m-x? ?x+m??2+m-x? 即 log2 +log2 =log2 =0, =1, 3-x 3-?2-x? ?3-x??1+x? ?3-x??1+x? 整理得:m2+2m-3=0,解得 m=1 或 m=-3, x+m x+m 当 m=-3 时, =-1<0,y=log2 无意义, 3-x 3-x 故 m=1. x+m 所以,函数 y=log2 图象关于点(1,0)中心对称的充分必要条件为 m=1,D 错误. 3-x 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上.) 13. (2014· 高州四中质量检测)已知函数 f(x)=x2+mx+1, 若命题“?x0>0, f(x0)<0”为真, 则 m 的取值范围是________. [答案] (-∞,-2) m ? ?- 2 >0, [解析] 由条件知? ∴m<-2. ?m2-4>0, ? 14.(2015· 庐江二中、巢湖四中联考)已知集合 A={0,2,4},则 A 的子集中含有元素 2 的子 集共有________个.

[答案] 4 [解析] 含有元素 2 的子集有{2},{2,0},{2,4},{2,0,4},共 4 个. 15.(文)(2014· 银川九中一模)给出下列命题: a+1 a ①已知 a,b 都是正数,且 > ,则 a<b; b+1 b ②已知 f ′(x)是 f(x)的导函数,若?x∈R,f ′(x)≥0,则 f(1)<f(2)一定成立; ③命题“?x∈R,使得 x2-2x+1<0”的否定是真命题; ④“x≤1 且 y≤1”是“x+y≤2”的充要条件. 其中正确命题的序号是________.(把你认为正确命题的序号都填上) [答案] ①②③ a+1 a [解析] ①∵a,b 是正数,∴a+1>0,b+1>0,∵ > ,∴b(a+1)>a(b+1),∴b>a, b+1 b 即 a<b,∴①正确; ②∵对任意 x∈R,f ′(x)≥0,∴f(x)在 R 上为增函数, ∴f(1)<f(2),∴②正确; ③“?x∈R,使得 x2-2x+1<0”的否定为“?x∈R,x2-2x+1≥0”,∵x∈R 时,x2 -2x+1=(x-1)2≥0 成立, ∴③正确; ④当 x≤1 且 y≤1 时, x+y≤2 成立; 当 x=3, y=-2 时, 满足 x+y≤2, ∴由“x+y≤2” 推不出“x≤1 且 y≤1”, ∴④错误. (理)(2014· 安徽程集中学期中)以下四个命题:①在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别 π 为 a,b,c,且 bsinA=acosB,则 B= ;②设 a,b 是两个非零向量且|a· b|=|a||b|,则存在实数 4 λ,使得 b=λa;③方程 sinx-x=0 在实数范围内的解有且仅有一个;④a,b∈R 且 a3-3b>b3 -3a,则 a>b;其中正确的是________. [答案] ①②③④ [解析] ∵bsinA=acosB, ∴sinBsinA=sinAcosB, ∵sinA≠0, ∴sinB=cosB,∵B∈(0,π), π ∴B= ,故①正确; 4 ∵|a· b|=||a|· |b|· cos〈a,b〉|=|a|· |b|,∴|cos〈a,b〉|=1,∴a 与 b 同向或反向,∴存在实 数 λ,使 b=λa,故②正确;由于函数 y=sinx 的图象与直线 y=x 有且仅有一个交点,故③正 确;∵(a3-3b)-(b3-3a)=(a3-b3)+3(a-b)=(a-b)(a2+ab+b2+3)>0,∵a2+ab+b2+3>0, ∴a-b>0,∴a>b,故④正确. 16.(文)(2013· 福建文,16)设 S,T 是 R 的两个非空子集,如果存在一个从 S 到 T 的函数

y=f(x)满足: (1)T={f(x)|x∈S};(2)对任意 x1,x2∈S,当 x1<x2 时,恒有 f(x1)<f(x2), 那么称这两个集合“保序同构”.现给出以下 3 对集合: ①A=N,B=N*; ②A={x|-1≤x≤3},B={x|-8≤x≤10}; ③A={x|0<x<1},B=R. 其中,“保序同构”的集合对的序号是________.(写出所有“保序同构”的集合对的序 号) [答案] ①②③ [解析] 由(1)知 T 是定义域为 S 的函数 y=f(x)的值域;由(2)知 f(x)为增函数,因此对于集 合 A、B,只要能够找到一个增函数 y=f(x),其定义域为 A,值域为 B 即可. 对于①,A=N,B=N*,可取 f(x)=x+1,(x∈A); 9 7 对于②,A={x|-1≤x≤3},B={x|-8≤x≤10},可取 f(x)= x- (x∈A); 2 2 1 对于③,A={x|0<x<1},B=R,可取 f(x)=tan(x- )π(x∈A). 2 (理)(2015· 安徽省示范高中联考)已知集合 M={(x,y)|y=f(x)},若对任意 P1(x1,y1)∈M, 均不存在 P2(x2,y2)∈M,使得 x1x2+y1y2=0 成立,则称集合 M 为“好集合”,给出下列五个 集合: 1 ①M={(x,y)|y= }; x ②M={(x,y)|y=lnx}; 1 ③M={(x,y)|y= x2+1}; 4 ④M={(x,y)|(x-2)2+y2=1}; ⑤M={(x,y)|x2-2y2=1}. 其中所有“好集合”的序号是________.(写出所有正确答案的序号) [答案] ①④⑤ → → → → [解析] x1x2+y1y2=0?OP1· OP2=0?OP1⊥OP2(O 为坐标原点),即 OP1⊥OP2. 若集合 M 里存在两个元素 P1,P2,使得 OP1⊥OP2,则集合 M 不是“好集合”,否则是. 1 ①曲线 y= 上任意两点与原点连线夹角小于 90° (同一支上)或大于 90° (两支上),集合 M x 里不存在两个元素 P1,P2,使得 OP1⊥OP2,则集合 M 是“好集合”; ②如图,函数 y=lnx 的图象上存在两点 A,B,使得 OA⊥OB.所以 M 不是“好集合”;

1 ③过原点的切线方程为 y=± x,两条切线的夹角大于 90° ,集合 M 里存在两个元素 P1, 2 P2,使得 OP1⊥OP2,则集合 M 不是“好集合”; 3 ④切线方程为 y=± x,夹角为 60° ,集合 M 里不存在两个元素 P1,P2,使得 OP1⊥OP2, 3 则集合 M 是“好集合”; 2 ⑤双曲线 x2-2y2=1 的渐近线方程为 y=± x, 两条渐近线的夹角小于 90° , 集合 M 里不 2 存在两个元素 P1,P2,使得 OP1⊥OP2,则集合 M 是“好集合”. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分)(2015· 重庆南开中学月考)已知集合 A={x|x2-5x+4≤0},集合 B ={x|2x2-9x+k≤0}. (1)求集合 A. (2)若 B?A,求实数 k 的取值范围. [解析] (1)∵x2-5x+4≤0,∴1≤x≤4,∴A=[1,4]. 81 (2)当 B=?时,Δ=81-8k<0,求得 k> . 8 ∴当 B≠?时,2x2-9x+k=0 的两根均在[1,4]内, 81-8k≥0, ? ? 设 f(x)=2x -9x+k,则?f?1?≥0, ? ?f?4?≥0,
2

81 解得 7≤k≤ . 8

综上,k 的取值范围为[7,+∞). 18.(本小题满分 12 分)(文)(2015· 重庆南开中学月考)已知命题 p:关于 x 的方程 x2-mx- 1 2=0 在 x∈[0,1]有解;命题 q:f(x)=log2(x2-2mx+ )在 x∈[1,+∞)单调递增;若? p 为真命 2 题,p∨q 是真命题,求实数 m 的取值范围. [解析] 设 f(x)=x2-mx-2, ∵关于 x 的方程 x2-mx-2=0 在 x∈[0,1]有解,f(0)=-2<0,

∴f(1)≥0,解得 m≤-1, 1 1 由命题 q 得 x2-2mx+ >0,在区间[1,+∞)上恒成立,且函数 y=x2-2mx+ ,在区间 2 2 1 3 [1,+∞)上单调递增,根据 x2-2mx+ >0,在区间[1,+∞)上恒成立,得 m< , 2 4 1 由函数 y=x2-2mx+ >0,在区间[1,+∞)上单调递增,得 m≤1,∴由命题 q 得:m< 2 3 , 4 ∵? p 为真命题,p∨q 是真命题,得到 p 假 q 真, 3 ∴m∈(-1, ). 4 3 ∴实数 m 的取值范围是(-1, ). 4 3 (理)(2015· 山东滕州一中检测)设命题 p:函数 f(x)=(a- )x 是 R 上的减函数,命题 q:函 2 数 g(x)=x2-4x+3,x∈[0,a]的值域为[-1,3],若“p 且 q”为假命题,“p 或 q”为真命题, 求实数 a 的取值范围. 3 3 5 [解析] 命题 p 真?0<a- <1? <a< ,命题 q 真?2≤a≤4, 2 2 2 “p 且 q”为假,“p 或 q”为真,则 p,q 一真一假, 3 5 若 p 真 q 假,得 <a<2,若 p 假 q 真,得 ≤a≤4. 2 2 3 5 综上所述,a 的取值范围为{a| <a<2 或 ≤a≤4}. 2 2 19.(本小题满分 12 分)(2015· 沈阳市东北育才中学一模)已知幂函数 f(x)=(m-1)2xm2-4m +2 在(0,+∞)上单调递增,函数 g(x)=2x-k. (1)求 m 的值; (2)当 x∈[1,2]时,记 f(x),g(x)的值域分别为集合 A,B,若 A∪B=A,求实数 k 的取值范 围. [解析] (1)依题意得:(m-1)2=1,∴m=0 或 m=2, 当 m=2 时,f(x)=x
2
-2

在(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去,∴m=0.

(2)由(1)知 f(x)=x ,当 x∈[1,2]时,f(x),g(x)单调递增,∴A=[1,4],B=[2-k,4-k],
? ?2-k≥1, ∵A∪B=A,∴B?A,∴? ∴0≤k≤1. ? ?4-k≤4,

20.(本小题满分 12 分)(文)(2015· 东北育才中学一模)已知函数 f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x +1],设命题 p:“f(x)的定义域为 R”;命题 q:“f(x)的值域为 R”. (1)分别求命题 p、q 为真时实数 a 的取值范围;

(2)? p 是 q 的什么条件?请说明理由. [解析] (1)命题 p 为真,即 f(x)的定义域是 R,等价于(a2-1)x2+(a+1)x+1>0 恒成立,
?a2-1>0, ? 等价于 a=-1 或? 2 2 ? ?Δ=?a+1? -4?a -1?<0.

5 5 解得 a≤-1 或 a> ,∴实数 a 的取值范围为(-∞,-1]∪( ,+∞). 3 3 命题 q 为真,即 f(x)的值域是 R,等价于 u=(a2-1)x2+(a+1)x+1 的值域?(0,+∞),
2 ? ?a -1>0, 等价于 a=1 或? 2 2 ?Δ=?a+1? -4?a -1?≥0. ?

5 5 解得 1≤a≤ .∴实数 a 的取值范围为[1, ]. 3 3 5 5 (2)由(1)知,? p:a∈(-1, ];q:a∈[1, ]. 3 3 5 5 而(-1, ] [1, ], 3 3 ∴? p 是 q 的必要而不充分条件. 2 (理)(2014· 马鞍山二中期中)设命题 p:f(x)= 在区间(1,+∞)上是减函数;命题 q:x1, x-m x2 是方程 x2-ax-2=0 的两个实根,且不等式 m2+5m-3≥|x1-x2|对任意的实数 a∈[-1,1] 恒成立,若(? p)∧q 为真,试求实数 m 的取值范围. [解析] 对命题 p:x-m≠0,又 x∈(1,+∞),故 m≤1, 对命题 q:|x1-x2|= ?x1+x2?2-4x1x2= a2+8对 a∈[-1,1]有 a2+8≤3, ∴m2+5m-3≥3?m≥1 或 m≤-6. 若(? p)∧q 为真,则 p 假 q 真,
? ?m>1, ∴? ∴m>1. ?m≥1或m≤-6, ?

21.(本小题满分 12 分)(2014· 河北冀州中学期中)设集合 A 为函数 y=ln(-x2-2x+8)的定 义域,集合 B 为函数 y=x+ 1 1 的值域,集合 C 为不等式(ax- )(x+4)≤0 的解集. a x+1

(1)求 A∩B;(2)若 C??RA,求 a 的取值范围. 1 1 [解析] (1)由于-x2-2x+8>0,解得 A=(-4,2),又 y=x+ =(x+1)+ -1, x+1 x+1 当 x+1>0 时,y≥2 1 ?x+1?· -1=1;当 x+1<0 时,y≤-2 x+1 1 ?x+1?· -1=-3. x+1

∴B=(-∞,-3]∪[1,+∞), ∴A∩B=(-4,-3]∪[1,2). (2)∵?RA=(-∞,-4]∪[2,+∞),

1 由(ax- )(x+4)≤0,知 a≠0, a 1 1 当 a>0 时,由(ax- )(x+4)≤0,得 C=[-4, 2],不满足 C??RA; a a 1 1 1 当 a<0 时,由(ax- )(x+4)≤0,得 C=(-∞,-4]∪[ 2,+∞),欲使 C??RA,则 2≥2, a a a 解得:- 2 2 ≤a<0 或 0<a≤ , 2 2 2 ≤a<0, 2 2 ,0). 2

又 a<0,所以-

综上所述,所求 a 的取值范围是[-

22.(本小题满分 14 分)(文)(2015· 湖北教学合作联考)已知集合 U=R,集合 A={x|(x-2)(x x-?a2+2? -3)<0},函数 y=lg 的定义域为集合 B. a-x 1 (1)若 a= ,求集合 A∩(?UB); 2 (2)命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,若 q 是 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围. 1 [解析] (1)集合 A={x|2<x<3},因为 a= . 2 9 9 x- x- 4 4 x-?a +2? 所以函数 y=lg =lg ,由 >0, 1 1 a-x -x -x 2 2
2

1 9 可得集合 B={x| <x< }. 2 4 1 9 ?UB={x|x≤ 或 x≥ }, 2 4 9 故 A∩(?UB)={x| ≤x<3}. 4 (2)因为 q 是 p 的必要条件等价于 p 是 q 的充分条件,即 A?B, x-?a2+2? 由 A={x|2<x<3},而集合 B 应满足 >0, a-x 1 7 因为 a2+2-a=(a- )2+ >0, 2 4 故 B={x|a<x<a2+2},
? ?a≤2 依题意就有:? 2 , ?a +2≥3 ?

即 a≤-1 或 1≤a≤2, 所以实数 a 的取值范围是(-∞,-1]∪[1,2].

mx+n (理)(2015· 湖北省百所重点中学联考)已知函数 f(x)= 2 (m≠0)是定义在 R 上的奇函数. x +2 (1)若 m>0,求 f(x)在(-m,m)上递增的充要条件; 1 (2)若 f(x)≤sinθcosθ+cos2θ+ 2- 对任意的实数 θ 和正实数 x 恒成立,求实数 m 的取值 2 范围. mx+n n [解析] (1)∵函数 f(x)= 2 (m≠0)是定义在 R 上的奇函数.∴f(0)=0,即 =0, 2 x +2 mx ∴n=0,∴f(x)= 2 . x +2 m?x2+2?-mx· 2x -m?x2-2? ∴f ′(x)= = 2 , ?x2+2?2 ?x +2?2 ∵m>0,∴-m<0, 由 f ′(x)>0 可得 x2-2<0,解得- 2<x< 2,即 f(x)的递增区间是(- 2, 2),由题 意只需(-m,m)?(- 2, 2),∴0<m≤ 2, ∴f(x)在(-m,m)上递增的充要条件是 0<m≤ 2. 1 1 (2)设 g(x)=sinθcosθ+cos2θ+ 2- ,∵f(x)≤sinθcosθ+cos2θ+ 2- 对任意的实数 θ 和 2 2 正实数 x 恒成立, ∴f(x)≤g(x)min 恒成立, 1+cos2θ 1 1 1 1 1 2 ∵g(x)=sinθcosθ+cos2θ+ 2- = sin2θ+ + 2- = sin2θ+ cos2θ+ 2= 2 2 2 2 2 2 2 π 2 2 2 mx 2 sin(2θ+ )+ 2,∴g(x)min=- + 2= ,∴只需 f(x)≤ ,即 2 ≤ , 4 2 2 2 x +2 2 m 2 2 2 2 2 2 ∵x>0,∴只需 ≤ ,即 m≤ (x+ )恒成立,而 (x+ )≥ ×2 2=2,当且仅 2 2 2 x 2 x 2 x+ x 当 x= 2时取得最小值 2,∴m≤2,又 m≠0,∴实数 m 的取值范围是(-∞,0)∪(0,2].


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