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第五届全国非数学类预赛试题及答案


第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷
(非数学类,2013)
一、解答下列各题(每小题 6 分共 24 分,要求写出重要步骤) 1.求极限 lim 1 ? sin ? 1 ? 4n2
n ??

?

?.
n



因为 sin ? 1 ? 4n ? sin ?

1 ? 4n ? 2n? ? sin
2 2

?

?

?
1 ? 4n 2 ? 2n

(2 分) ;

原式

? ? ? ? ? ? ? lim ?1 ? sin ? ? exp ?lim n ln ?1 ? sin n ?? ? 1 ? 4n2 ? 2n? ? ? 1 ? 4n2 ? 2n? ? n?? ? ? ?
n
1 ? ? ? ? ? n? ? exp ? lim n sin ? ? exp ? lim ? ? e4 2 2 n ?? n ?? ? 1 ? 4n ? 2n? ? ? 1 ? 4n ? 2n? ? ? ?

?? ?? ?? ?

(2 分);

(2 分)

??

2.证明广义积分
? n ?1??

?
0

sin x dx 不是绝对收敛的 x
dx ,只要证明 ? an 发散即可。 分) (2
n ?0 ?

解 记 an ?

n?

?

sin x x

1 因为 an ? ? n ? 1? ?
?

? n ?1??
n?

?

1 2 sin x dx ? (2 ? sin xdx ? ? n ? 1? ? 。 分) ? n ? 1? ? 0

?



? 2 发散,故由比较判别法 ? an 发散。 分) (2 ? ? n ? 1? ? n ?0 n ?0

另解:
??

sin x sin 2 x 1 cos 2 x ? ? ? , x ?1, 而 x x 2x 2x
??

??

?
1

cs2 x o dx 收敛 (狄利克雷判别法) , 2x

?
1

1 dx 发散,故 2x

?
1

sin x dx 发散,从而 x

??

?
0

sin x dx 发散。 x

3.设函数 y ? y ? x ? 由 x3 ? 3x 2 y ? 2 y 3 ? 2 确定,求 y ? x ? 的极值。 解 方程两边对 x 求导,得 3x 2 ? 6 xy ? 3x 2 y? ? 6 y 2 y? ? 0 (1 分)
x? x ? 2y? 2 y 2 ? x2

故 y? ?

,令 y? ? 0 ,得 x ? x ? 2 y ? ? 0 ? x ? 0 或 x ? ?2 y (2 分)

将 x ? ?2 y 代入所给方程得 x ? ?2, y ? 1,

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将 x ? 0 代入所给方程得 x ? 0, y ? ?1 , 分) (2

又 y?? ?

? 2 x ? 2 xy? ? 2 y ? ? 2 y 2 ? x 2 ? ? x ? x ? 2 y ?? 4 yy? ? 2 x ?

?2y

2

? x2 ?

2

y??

x ? 0, y ?1, y ?? 0

?

? 0 ? 0 ? 2 ?? 2 ? 0 ? ? 0 ? ?1 ? 0, y?? x ??2, y ?1, y ?? 0 ? 1 ? 0 , 2 ? 2 ? 0?

故 y ? 0 ? ? ?1 为极大值, y ? ?2 ? ? 1 为极小值。 分) (3
x ? x ? 0 ? 上的点 A 作切线, 使该切线与曲线及 x 轴所围成的平面图形的

4.过曲线 y ? 面积为

3

3 ,求点 A 的坐标。 4



设切点 A 的坐标为 t , 3 t ,曲线过 A 点的切线方程为 y ? 3 t ?

?

?

1 33 t2

? x ? t ? (2

分) ;令 y ? 0 ,由切线方程得切线与 x 轴交点的横坐标为 x0 ? ?2t 。
从而作图可知,所求平面图形的面积

1 3 3 S ? 3 t ?t ? ? ?2t ? ? ? ? 3 xdx ? t 3 t ? ? t ? 1 , ? ? 2 4 4 0
故 A 点的坐标为 ?1,1? 。 分) (4
?

t

二、 (满分 12)计算定积分 I ?
0

??

?
?

x sin x ? arctan e x dx 1 ? cos 2 x


?

I?

??

?

x sin x ? arctan e x x sin x ? arctan e x dx ? ? dx 1 ? cos 2 x 1 ? cos 2 x 0
?

x sin x ? arctan e ? x x sin x ? arctan e x ?? dx ? ? dx (4 分) 1 ? cos 2 x 1 ? cos 2 x 0 0 ??
?

x sin x ? x sin x ? ? arctan e ? x ? arctan e x ? dx ? ? dx (2 分) 2 1 ? cos x 2 0 1 ? cos 2 x 0
2 ?

?

?? ? ?? ? ?2?

? 1 ? cos
0

sin x
2

x

dx (4 分)
3

? ? ?? ? ? ? ? ? arctan cos x 0 ? 8 ?2?
2

(2 分)

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三、 (满分 12 分) f ? x ? 在 x ? 0 处存在二阶导数 f ?? ? 0 ? , m 设 且 il
? ?1? 级数 ? f ? ? 收敛。 ?n? n ?1

f ? x? x

x ?0

证明 : 0 。 ?

解 由于 f ? x ? 在 x ? 0 处可导必连续,由 lim
x ?0

f ? x? x

?0得

? f ? x? ? f ? 0 ? ? lim f ? x ? ? lim ? x ? ??0 x ?0 x ?0 x ? ?

(2 分)

f ? ? 0 ? ? lim
x ?0

f ? x ? ? f ? 0? x?0 f ?? x?

? lim
x ?0

f ? x? x

?0

(2 分)

由洛必塔法则及定义
lim
x ?0

f ? x? x
2

? lim

x? 0

f ? ? x ? ? f ? ? 0? 1 1 ? lim ? f ?? ? 0 ? 2x 2 x? 0 x?0 2

(3 分)

?1? f? ? ? n ? 1 ?? ? f ? 0? 所以 lim 2 n ?? 2 ?1? ? ? ?n?

(2 分)

由于级数 ?

? 1 ?1? 收敛,从而由比较判别法的极限形式 ? f ? ? 收敛。 分) (3 2 ?n? n ?1 n ?1 n

?

四、 (满分 12 分)设 f ? x ? ? ? , f ? ? x ? ? ? ? 0 ? a ? x ? b ? ,证明 ? sin f ? x ? dx ?
a

b

2 m

解 因为 f ? ? x ? ? ? ? 0 ? a ? x ? b ? ,所以 f ? x ? 在 ? a, b ? 上严格单调增,从而有反函 数(2 分) 。 设 A ? f ? a ? , B ? f ? b ? , ? 是 f 的反函数,则 0 ? ? ? ? y ? ?
b

1 1 ? f ?? x? m

(3 分)

又 f ? x ? ? ? ,则 ?? ? A ? B ? ? ,所以 ? sin f ? x ? dx ?
a

x ?? ? y ? B

? ? ? ? y ? sin ydy (3 分)
A

? ? ? ? ? y ? sin ydy ? ?
0 0

?

?

1 1 2 sin ydy ? ? cos y ? m m m 0

?

(2 分)

五、 (满分 14 分)设 ? 是一个光滑封闭曲面,方向朝外。给定第二型的曲面积分

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I ? ?? ? x3 ? x ? dydz ? ? 2 y 3 ? y ? dzdx ? ? 3z 3 ? z ? dxdy 。试确定曲面 ? ,使积分 I 的值
?

最小,并求该最小值。 解 记 ? 围成的立体为 V,由高斯公式
V V

I ? ??? ? 3x 2 ? 6 y 2 ? 9 z 2 ? 3? dv ? 3??? ? x 2 ? 2 y 2 ? 3z 2 ? 1? dxdydz (3 分)

为了使得 I 的值最小,就要求 V 是使得的最大空间区域 x 2 ? 2 y 2 ? 3z 2 ? 1 ? 0 ,即 取V ?

?? x, y, z ? x

2

? 2 y 2 ? 3z 2 ? 1

?

,曲面 ? : x 2 ? 2 y 2 ? 3z 2 ? 1

(3 分)

? ?x ? u 1 ? ? ? x, y , z ? ? ?0 为求最小值,作变换 ? y ? v ,则 2 ? ? u , v, w ? ? ?z ? w 0 ? 3 ?

0 1 2 0

0 0 1 3 ? 1 , 6

从而 I ?

3 2 2 2 ??? ? u ? v ? w ? 1? dudvdw (4 分) 6 V
3 2 2 ? d? ? d? ? ? r ? 1? r sin ?dr 60 0 0
?
2? 1

使用球坐标计算,得 I ?

?

? 3 3 6 ?2 4 6 ?1 1? ? 2? ? ? ? ? ? cos ? ? 0 ? ? 4? ? ?? ? 6 15 15 6 ?5 3?

(4 分)

六、 (满分 14 分) I a ? r ? ? 设 取正向。求极限 lim I a ? r ?
r ???

? ?
C

ydx ? xdy

?x

2

?y

2 a

?

, 其中 a 为常数, 曲线 C 为椭圆 x ? xy ? y ? r ,
2 2 2

? ?x ? ? 解 作变换 ? ?y ? ? ?

2 ?u ? v ? 2 (观察发现或用线性代数里正交变换化二次型的方法) ,曲线 C 2 ?u ? v ? 2

变为 uov 平面上的椭圆 ? :

3 2 1 2 ,也是取正向 (2 分) u ? v ? r 2 (实现了简化积分曲线) 2 2

而且 x 2 ? y 2 ? u 2 ? v 2 , ydx ? xdy ? vdu ? udv (被积表达式没变,同样简单!, )
Ia ? r ? ? ? ?
?

vdu ? udv

?u 2 ? v2 ?

a

(2 分)

曲线参数化 u ?

2 2 2 r cos ? , v ? 2r sin ? , ? : 0 ? 2? ,则有 vdu ? udv ? ? r d? , 3 3

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Ia ? r ? ?

2?

?
0

2 2?1? a ? d? ?? r a a ? ?2 2 3 ?2 2 ? ? 0 r cos 2 ? ? 2r 2 sin 2 ? ? cos ? ? 2sin 2 ? ? ? ? ?3 ? ?3 ?
d?
a

?

2 2 r d? 3

2?

(3 分)

2?

令 Ja ?

? ?2
0

? 2 2 ? cos ? ? 2sin ? ? ?3 ?

,则由于

2 2 ? cos 2 ? ? 2sin 2 ? ? 2 ,从而 3 3

0 ? J a ? ?? 。因此当 a ? 1 时 lim I a ? r ? ? 0 或 a ? 1 时 lim I a ? r ? ? ?? (2 分)
r ??? r ???

2?

而 a ? 1, J1 ?

?2
0

d? cos 2 ? ? 2sin 2 ?
??

?4 ?
0

? /2

3
?2 ?
0

d? 2 cos 2 ? ? 2sin 2 ? 3
??

? /2

d tan ? 1 ? tan 2 ? 3

?2?
0

1 t ? 2? arctan 1 2 1/ 3 1/ 3 ?t 3

dt

0

?? ? ? 2 3 ? ? 0 ? ? 3? (3 分) ?2 ?

?0, a ? 1 2 ? I1 ? r ? ? ? ? 3? ? ?2? 。故所求极限为 I a ? r ? ? ???, a ? 1 3 ??2? , a ? 1 ?
?

(2 分)

1 1 ?? ? 2 n 的敛散性,若收敛,求其和。 七(满分 14 分)判断级数 ? n ? 1?? n ? 2 ? n ?1 ? 1?
解 (1)记 an ? 1 ?

an 1 1 ? ? ? , un ? , n ? 1, 2,3,? 2 n ? n ? 1?? n ? 2 ?
n

因为 lim

1 1 ? ln n ? 0, n 充分大时 0 ? an ? 1 ? ? dx ? 1 ? ln n ? n n ?? x n 1
?

(3 分)

1 1 ?? ? 1 n 1 2 n 收敛(2 分) 所以 0 ? un ? ? 3 ,而 ? 3 收敛,故 ? ? n ? 1?? n ? 2? n 2 n ?1 n ?1 ? n ? 1?? n ? 2 ? n2
?

1?

(2)记 ak ? 1 ?

1 1 ? ? ? , ? k ? 1, 2,3,?? ,则 2 k

1 1 1? ?? ? n n ak a ? ? ak 2 k ? Sn ? ? ? ? k ? 1?? k ? 2 ? ? ? ? k ? 1 ? k ?k 2 ? ? k ?1 ? k ? 1?? k ? 2 ? k ?1 k ?1 ?
n

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=?

a ? ? a a ? ?a ? a1 a1 ? ? a2 a2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n ?1 ? n ?1 ? ? ? n ? n ? n ?1 ? ? n ?1 n ? 2 ? ?2 3? ? 3 4? ? n

(2 分)

a a1 1 1 1 ? ? a2 ? a1 ? ? ? a3 ? a2 ? ? ? ? ? an ? an?1 ? ? n (2 分) 2 3 4 n ?1 n?2 a a 1 1 1 1 1 1 1 1 = ? ? ? ? ??? (2 分) ? ? n ? 1? ? n 2 3 2 4 3 n ?1 n n ? 2 n n?2
= 因为 0 ? an ? 1 ? 故 lim

? x dx ? 1 ? ln n ,所以 0 ? n ? 2 ?
1

n

1

an

1 ? ln n 1 ? ln n ,从而 lim ? 0, n ?? n ? 2 n?2

an ?0。 n ?? n ? 2
n ??

因此 S ? lim S n ? 1 ? 0 ? 0 ? 1 。 (也可由此用定义推知级数的收敛性) 分) (3

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