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几何定值与极值问题


几何定值和极值 1. 几何定值问题 (1)定量问题:解决定量问题的关键在探求定值,一旦定值被找出,就转化为熟悉的几何证明题了。探 求定值的方法一般有运动法、特殊值法及计算法。 (2)定形问题:定形问题是指定直线、定角、定向等问题。在直角坐标平面上,定点可对应于有序数对, 定向直线可以看作斜率一定的直线,实质上这些问题是轨迹问题。 2. 几何极值问题:最常见的几何极值问题大体包括:有关线段的最大最小问题;三角形面积的最大最小 问题;角的最大最小问题等。 【例题分析】 例 1. 已知 ?ABC 的两边的中点分别为 M、N,P 为 MN 上的任一点,BP、CP 的延长线分别交 AC、AB

A E M P D N

于 D、E,求证:

AD AE ? DC EB

B
为定值。

C

分析:用运动法探求定值,先考虑特殊情况,令 P 在 MN 上向 M 运动,此时 D 点向 A 运动,P 点运 动到 M 时,D 点将与 A 点重合,而 AM=MB,于是 入一般证明。 证明:连结 AP

AD AE 0 AM ? ? ? ? 0 ? 1 ? 1 ,于是转 DC EB AC MB

AE AD S ?APC S ?APB S ?ABC ? S ?BPC ? ? ? ? ? EB DC S ?BPC S ?BPC S ?BPC 1 1 1 ? S ?ABC ? BC ? h,S ?BPC ? BC ? h 2 2 2 ? S ?ABC ? 2 S ?BPC
? 即 A E E B A E E B ? ? S ? A E C S ? B E C S ? A P C S ? B P C ? S S
? A E P ? B E P

?

同理:

S ? A E C S ? B E C A D D C

? ?

?

S ? A E P S ? B E P S ? A P B S ? B P C

?

AE AD S ?BPC ? ? ?1 EB DC S ?BPC
AA' 与 BB' 交一圆于 A、B,交另一圆于 A' 、 B' ,

例 2. 两圆相交于 P、Q 两点,过点 P 任作两直线 AB 与

A' B' 交于点 C,求证: ?C 为定值。

1

Q
Q O A (B ) P

A'

O'
A' (B ')

B P A

B'

C
分析:设两圆为⊙O、⊙ O' ,现从运动极端分析,因为直线

C

AA' 与 BB' 都是以 P 为固定点运动的。 当 AA' 与 BB ' 重合时,便成了左图的情况,而 AC 和 A' C 分别成了两圆的切线。且 PQ?AA' ( BB ' ) , QA、 QA' 分别为直径。
容易求得 ?C

? 180???AQA' ? ?QAP ? ?QA' P 1 ? ( ?QOP ? ?QO' P) 这就是所求的定值。 2 证明:如右图,连结 PQ、BQ、 A' Q 则有
?C ? ?PB' A'??PBA ? 180???PQA'??PBA ? ?QA' P ? ?QPA'??PBA

? ?QA' P ? ?QBA ? ?PBA ? ?QA' P ? ?QBP 1 ? ( ?QOP ? ?QO' P) 为定值 2
例 3. 在定角 XOY 的角平分线上,任取一点 P,以 P 为圆心,任作一圆与 OX 相交,靠近 O 点的交点为 A,与 OY 相交,远离 O 点的交点为 B,则 ?APB 为定角。
X M A O P N B Y
Y (A) O P X

(1)

(2)

分析:先探求定值,根据特殊化求定值,一般证明的原则,先看图(2),如果以角平分线上任意一点 P 为圆心,以 OP 为半径作圆,此时,A 点与 O 点重合, ?APB

? ?OPB

1 ? ?POB ? ?PBO ? ?XOY 2 ? ?APB ? 180???XOY为定值 证明:如图(1),作 PM?OX于M,PN?OY于N ? ?OPM ? ?OPN ( AAS ) ? PM ? PN

又PA ? PB, ? Rt?PMA ? Rt?PNB ? ?PAM ? ?PBN ? O、B、P、A四点共圆 ? ?APB ? 180???XOY为定值
2

例 4. 已知 E、F 分别是四边形 ABCD 的 AB、CD 边上的中点 求证: EF

?

1 ( AD ? BC ) 2
A D F C B E G A D F C

E B

分析:本题即证 EF 的最大值为 再证一般情况。

1 ( AD ? BC ) ,因此可先考虑特殊情况,以找出等号成立的条件, 2

证明:(1)当四边形中 AD//BC 时,如左图

? EF 是梯形 ABCD 的中位线 1 ? EF ? ( AD ? BC ) 2
(2)当 AD 不平行 BC 时,如右图 连结 AC,取 AC 的中点 G,再连结 EG、FG

? 在 ?ACD 中, GF ?
在 ?ABC 中, EG

1 AD 2

?

1 BC 2

1 ( AD ? BC ) 2 又? 在?EFG 中, EF ? FG ? GE 1 ? EF ? ( AD ? BC ) 2 1 综合(1) (2),得 EF ? ( AD ? BC ) 2 ? EG ? GF ?
【考点解析】 例 1. 如图,AD 是⊙O 的直径,B 是 AD 延长线上一点,BE 切⊙O 于点 E, 点 C,若 ED


AC?BE 交 BE 延长线于

? DG ,弦 EG 交 AD 于点 F。求证: CE ? FG 。



证明:连结 AE、ED

3

B D

? AD是⊙O直径 ? ?AED ? 90? ? AC?BC ? ?3 ? ?4 ? 90? ? BC切⊙O于点E ? ?2 ? ?3 ? ?1 ? ?4 ? ED ? DG,AD是⊙O直径 ? EF?AD,EF ? FG ? EF?AD,EC?AC,?1 ? ?4 ? EC ? EF ? CE ? FG

G
2

E3 C

O 4
1

A

点评:本题用到了垂径定理的推论,圆周角、弦切角、直径所对的圆周角、直角三角形两锐角互余, 角平分线的性质等知识。

? 90? ,O 是 AB 上一点,以 O 为圆心,OB 为半径的半圆与 AC 切于点 D,与 AB 交于点 E,若 AD=2,AE=1,求 tg?ADE 的值和四边形 BCDE 的面积。
C

例 2. 如图,在 ?ABC 中, ?ABC

D
1

F
3

2

A

E

O

B

分析:求 tg?ADE 的值,需要用转化的思想,因为 ?ADE 不是直角三角形,所以要转化到直角三 角形中解决问题。因为 ?ADE

? ?DBA ,所以可以把问题转化到 Rt?DBE 中解决问题。求四边形可 以用割补的方法,把四边形分割成 Rt?DBE 和等腰 ?DCB 两个三角形分别求解。 解:连结 BD,过 D 点作 DF?BC 于点 F ? 半径OB?BC于点B

? BC切⊙O于点B ? AC切⊙O于点D ? CD ? CB ? AC切⊙O于点D,BE是直径 ? ?1 ? ?2 ,?BDE ? 90?

4

DE BD ? ?1 ? ?2 ,?A ? ?A,AD ? 2 ,AE ? 1 ? tg?2 ? ? ?ADE ~ ?ABD ? DE AE 1 ? ? BD AD 2

? tg?ADE ? tg?2 ?

ED 1 ? BD 2 设CD ? CB ? x ( x ? 0) 又得AD 2 ? AE ? AB

AD 2 ? AB ? ?4 AE ? ?ABC ? 90? ? AB 2 ? BC 2 ? AC 2 即 4 2 ? x 2 ? (2 ? x ) 2 ? BC ? x ? 3
? DF?BC,AB?BC ? DF / / AB ? CF: FB ? CD: AD ? 3:2 ?3 ? ?2 2 6 BE 1 ? BF ? BC ? ,tg?3 ? ? 5 5 DF 2 12 ? DF ? 2 BF ? 5 1 1 12 ? S ?BCD ? BC ? DF ? ? 3 ? ? 3.6 2 2 5 6 1 3 又BD ? 5BF ? 5 ED ? BD ? 5 5 2 5 1 1 6 3 ? S ?BDE ? BD ? ED ? ? 5? 5 ? 18 . 2 2 5 5 ? S 四边形BCDE ? 5.4( 平方单位 )
点评:本题主要运用了转化的思想,把求 tg?ADE 转化到了 Rt?DBE 中来解决。考查了相似三角 形、弦切角、圆周角、勾股定理等知识。

【模拟试题】 一. 几何定值问题 1. 求证:正三角形内一点到三边距离之和为定值。

5

A

D F P

B

E

C

2. 在正方形 ABCD 的外接圆的 AD 上任取一点 P,则(PC+PA):PB 为定值。
D P E A C

B

3. 在正方形 ABCD 内,以 A 点为顶点作 ?EAF

? 45? , 且 ?EAC ? ?FAC ,设这个角的两边分

别交正方形的边 BC、CD 于E、F,自 E、F 分别作正方形对角线 AC 的垂线,垂足为 P、Q。求证:过 B、 P、Q 所作圆的圆心在 BC 上。
A D

F P B E Q C

4. 已知 CD 是半径为 R 的⊙O 的直径, AB 是动弦, AB 与 CD 相交于 E, 且成 45? 角, 求证:AE 为定值。
A

2

? BE 2

C

O

E

D B

二. 几何极值问题 5. 在 ?ABC 中,D 是 AB 的中点,E、F 分别是 AC 、BC 上的点,试证明 ?DEF 的面积不超过

?ADE与?BDF 的面积之和。
的 周 长 6. 如 图 ,

?ABC

中 , D 、 E 分 别 是 BC 、 AB 上 的 点 , 且 依 次 是 m 、

?ABC、?EBD、?ADC

m1 、m2

, 证

?1 ? ?2 ? ?3 , 如 果 m1 ? m2 5 ? 明 : 。 m 4

6

A E 2 B 3 D C 1

7. 已知 P 为平行四边形 ABCD 的 AB 边上的一个动点,DP 的延长线与 CB 的延长线相交于 Q,问 P 点 在什么位置时,使得

AP ? BQ 的值最小?
D C

A P Q

B

8. 设 AB 是⊙O 的动切线,与通过圆心 O 而互相垂直的两直线相交于 A 、B,⊙O 的半径为 r,求 OA +OB 的最小值。
y B

P r O A x

【疑难解答】 A.教师自己设计问题: 1 . 本周的模拟试题为什么没有选择题和填空题? 2 . 解答题的 8 个题各属于几何定值和极值的哪种类型?它们的解题思路是什么?

B. 对问题的解答: 1. 本周的几何定值和极值问题综合性较强,而且一般都在解答题中出现,选择题和填空题出现极少,因 此本周的模拟试题都是解答题。 2. 答:解答题的第 1 题、第 2 题和第 4 题是几何定值中的定量问题;第 3 题是几何定值中的定形问题; 第 5 到第 8 题是几何极值问题。下面就这 8 个题的解题思路分别作以下的说明。 第 1 题:已知 P 为正 ?ABC 内任意一点,它到 BC、CA、AB 的距离分别为 PE、PF、PD,求证:PD +PE+PF 为定值。 分析:点 P 可以在三角形内任意运动,当 P 点运动到正三角形的一个顶点时,显然就是正三角形的高, 因此,PD+PE+PF 必取定值,这个定值,就是 ?ABC 的高 h。 证明:连结 PA、PB、PC 显然有: 7

S ?ABC ? S ?PAB ? S ?PBC ? S ?PAC 1 1 1 1 ? BC ? h ? AB ? PD ? BC ? PE ? AC ? PF 2 2 2 2 ? AB ? BC ? CA ? PD ? PE ? PF ? h
A

D F P

B

E

C

第 2 题:分析:用运动法令 P 与 D 重合,则(PC+PA): PB 变为(DA+ DC):DB,显然其定值为 由于图中直角比较多,所以可做垂线构造相似形证明。 证明:由 A 引

2。

AE?PB, ? ?APC ? ?AEB ? 90?

且? A B E ? ?

?

? AC P

? A B E ∽? AC P P A P C A C ? ? A E B E A B

( 1 )

D P E A O C

? ?APB ? ?ACB ? 45? ?AEP ? 90? ? AE ? PE,代入 (1) 式得: PA ? PC PA ? PC AC ? ? ? PE ? BE PB AB ? ( PA ? PC ) :PB为定值 2 AB ? 2 AB

B

第 3 题:本题属于定形问题,要证 B、P、Q 三点所确定的圆的圆心在 BC 上,若命题正确,则 B 点就 是半径的端点,且 可。 证明:如图,? ?BAE

AB?BC ,AB 就是圆的切线,

APQ 是割线,那么必有

AB 2 ? AP ? AQ ,证明即

? ?CAF ? 45???EAC 又 ? ?B ? ?AQF ? Rt?

? ?ABE∽?AQF AB AE ? ? (1) 同理?AEP∽?AFD AQ AF AP AE AB AP 得 ? (2) 由 (1)(2) ? AD AF AQ AD ? AB 2 ? AP ? AQ
8

又 ? AD ? AB

? AB 是过 B、P、Q 三点所作圆的切线,BC 过切点 B 垂直于 AB,它必通过圆心,也就
是过 B、P、Q 所作圆的圆心在 BC 边上。
A D

F P B E Q C

第 4 题:这是定值问题,既然 AB 是⊙O 的动弦,而且与⊙O 的定直径 CD 保持夹角为 45? ,则可把这 些动弦视为一组平行移动的弦,显然,做一条过圆心且平行于 AB 的弦
2 2 2 2 2

A1 B1 ,则 E 点与 O 点重合,这时 A1 E ? B1 E ? R ? R ? 2 R ,于是探求到定值为 2 R ,这里的 A1 B1 是特殊位置,一般情况就
2

比较好证了。

第 5 题:

C F E B A D

E'
(1)
C

C

F

E
B

A (E)

D (2)

A

D (3)

B(F)

分析:因为 DA=DB,所以 ?ADE与?BDF 就可以拼合成一个四边形,然后再去与 ?DEF 比较 面积的大小。 证明:(1)如图(1),以 D 为对称中心,把 ?DAE 旋转 180? 到?DBE ' ,易知四边形 BFDE ' 是凸四 边形,连结 FE ' ,而且 DE

? DE ' ? S ?DEF ? S ?DE ' F ,S ?DE ' F ? S 四边形DE ' BF

? S ?DEF ? S 四边形DE ' BF ? S ?BDE ' ? S ?BDF ? S ?DEF ? S ?ADE ? S ?BDF
(2)当 E 运动到与 A 重合时, S ?ADE (3)当 F 运动到与 B 重合时, S ?BDF

? 0,则S ?DEF ? S ?ADF ? S ?BDF 如图(2) ? 0,则S ?DEF ? S ?BDE ? S ?ADE 如图(3)
9

综合(1)、(2)、(3)

S ?DEF ? S ?ADE ? S ?BDF 总能成立。

第 6 题:分析:初看本题不好下手,但仔细想来有两条路可走,一是把 m1 、m2 、m 分别用同一个三 角形的边长的代数式表示, 将

m1 ? m2 m

转化为二次函数求极值; 另一是将

m1 ? m2 m m 视为 1 与 2 m m m



和,分别求其代数式再求极值。 证明:设 BC=a,AC=b,AB=c,则 m=a+b+c

? ?1 ? ?2 ? ?3,则ED / / AC,从而得?ABC∽?EBD∽?DAC DC AD AC b 由?ADC∽?BAC得 ? ? ? b c a a b a 2 ? b2 ? m2 ? DC ? AD ? AC ? (a ? b ? c) 同时BD ? a ? DC ? a a 2 2 ED BE AD a ? b 由?EBD∽?ABC得: ? ? ? a c a a 2 2 a ?b ? m1 ? ED ? BE ? BD ? ( a ? b ? c) a2 m1 ? m2 a 2 ? b 2 b b b b 1 5 5 ? ? ? ? 1 ? ( ) 2 ? ? ?( ? ) 2 ? ? 2 m a a a a 2 4 4 a
第 7 题:分析:P 是 AB 边上的一个动点,Q 点随 P 的运动而动,题中涉及两个未知量的和。BQ 随 AP 的变化而变化,所以可用 AP 的代数式来表示。这样,我们设所求两线段之和为线段 AP 的函数,即可用代 数法求解。 解:设 AP=x,AB=m,AD=n,AP+BQ=y,易证 ?BQP∽?ADP

BQ BP BQ m ? x n( m ? x ) ? ,即 ? ? BQ ? AD AP n x x n( m ? x ) ?y ? x? (0 ? x ? m) (1) 把(1)式变形为 x x 2 ? ( y ? n) x ? mn ? 0 (0 ? x ? m) (2) ?

? x为实数, ? ? ? ( y ? n) 2 ? 4mn ? 0 ? ( y ? n) 2 ? 4mn 又? y ? n ? 0 ? y ? 2 mn ? n
即 y 的最小值是 2 解得 x

? y ? n ? 2 m?n

mn ? n ,用 y ? 2 mn ? n 代入(2)式

? mn ,? 当 AP 的长为平行四边形 ABCD 的比例中项式,AP+BQ 的值最小。
? y ? 2 2r 也最小,? OA ? OB 的最

第 8 题:分析:设 OA=x,OB=y 观察图形可看出 Rt?AOB 中,斜边 AB 上的高 OP=r 为定值,则 AB 越小,其面积越小,当 OA=OB 时,面积最小,此时, x 小值为 2

2r 。
动态几何中的定值问题

开场白:同学们,动态几何类问题是近几年中考命题的热点,题目灵活、多变,能够全面考查同学们的综 合分析和解决问题的能力。这类问题中就有一类是定值问题,下面我们来看几道题: 10

【问题 1】已知一等腰直角三角形的两直角 边 AB=AC=1,P 是斜边 BC 上的一动点,过 P 作 PE⊥AB 于 E,PF⊥AC 于 F,则 PE+PF= 。 方法 1:特殊值法:把 P 点放在特殊的 B 点或 C 点或 BC 中 点。此种方法只适合小题。 方法 2:等量转化法:这是绝大部分同学能够想到的方法, PF=AE,PE=BE,所以 PE+PF=BE+AE。 方法 3:等面积法:连接 AP, S?ABC

A F E B P C

? S?ABP ? S?APC ? AB ? AC ? AB ? PE ? AC ? PF

? AB ? PE ? PF
总结语: 这虽然是一道动态几何问题, 难吗?不难, 在解决过程中 (方法 2 抓住了边长 AB 的不变性和 PE,PF 与 BE,AE 的不变关系;方法 3 抓住了面积的不变性),使得问题迎刃而解。 设计:大部分学生都能想到方法 2,若其他两种方法学生没有想到,也不要深究,更不要自己讲掉。此题 可叫差生或中等偏下的学生回答(赛比艳,艾科) (设计意图:由简到难,让程度最差的同学也有在课堂上展示自我的机会。) 过渡:这道题太简单了,因为等腰直角三角形太特殊了,我若把等腰直角三角形换成一般的等腰三角形, 问题有没有变化,又该如何解决?请看: 【变式 1】若把问题 1 中的等腰直角三角形改为 等腰三角形,且两腰 AB=AC=5,底边 BC=6, 过 P 作 PE⊥AB 于 E,PF⊥AC 于 F,则 PE+PF 还是定值吗?若是,是多少? 若不是,为什么? 方法 1:三角形相似进行量的转化

A E B P F C

?ABM ?PBE ?PCF AM PE PF AM ? PB AM ? PC ? ? ? ? PE ? , PF ? AB PB PC AB AB AM ( PB ? PC ) AM ? BC 4 ? 6 24 ? PE ? PF ? ? ? ? AB AB 5 5
量这个特点,建立 PE,PF 与 AM 之间的联系,化动为静) 方法 2:等面积法:

(板书)

(M 为 BC 中点)(解题要点:等腰三角形中,底边上的中线是常作的辅助线,抓住这条线的长度是不变

S?ABC ? S?ABP ? S?APC ? BC ? AM ? AB ? PE ? AC ? PF BC ? AM 6 ? 4 24 ? PE ? PF ? ? ? (M 为 BC 中点) (板书) AB 5 5
(解题要点:抓住三角形面积是个不变量,用等面积法求解,这是在三角形中求解与垂线段有关的量的常 用方法。) (若学生想不到,可提示:在此题中,不变的东西是什么?不变的这个量和变量 PE,PF 之间有什么联系,能 不能用一个等式来表示? 学生会三角形的边长,角度,周长,面积等都是不变量。 (设计意图:由特殊到一般,引出求垂线段长度的常用方法:等面积法) (教师行为:出示题之后,让学生做,教师下去看。叫用方法 1 的同学先站起来回答,然后再叫用方法 2 的同学。以达到过渡到下一题的目的。) 11

问:我把题中的 5 改为 a,6 改为 b,PE+PF 还是定值吗?你能求出这个定值吗? 答:是定值,求解方法不变。 问:由这题,你能得出等腰三角形的一个一般性结论吗? 结论:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为定值 PE+PF= 的高)(等面积法可以求解,注意当顶角为钝角的情况) 问题:通过前面几题,你能说说在解答动态几何问题时解题的关键是什么?应该注意什么问题? 答:不要被"动"、"变"迷惑,通过观察,分析,动中窥静,变化之中求不变,从而明确图形之间的内在联系, 找到不变量或不变关系,找到解题的途径。在解题过程中要注意点或线在运动的过程中,是否需要讨论。 过渡:上面两题中的动点都是在一定线段或直线上运动,有些同学可能还是觉得不够刺激,下面再来一道 刺激一点的,让点在一个区域内运动,请看: 【变式 2】已知 P 为边长为 a 的等边三角形 ABC 内任意一动点, P 到三边的 距离分别为 h1,h2,h3,则 P 到三边的距离之和是否为定值?为什么? (由上题的启示,学生可能很容易想到等面积法)

b ? h (a 为腰长,b 为底边长,h 为的边上 a

A E P B
E A P

S?ABC ? S?ABP ? S?ACP ? S?BCP ? BC ? AM ? AB ? PE ? AC ? PF ? BC ? PD
? PE ? PF ? PD ? AM
为定值 (M 为 BC 中点) (板书) 可以用几何画板度量长度,进行演示 过渡:研究完了 P 在三角形内部运动的情况,我们不防降低对 P 点的约束,让 这个好动的点 P 动到三角形外部去,情况又会有何变化? 【变式 3】已知 P 为边长为 a 的等边三角形 ABC 外任意一点,P 到三边的距离

F

D

C

A F P D B E C
B E

A

D P

F C

F C D

B

分别为 h1,h2,h3,则 P 到三边的距离之间有何关系?为什么? 图1 呢? 等面积法还可以用吗?△PAB, △PBC, △PAC 的面积有何关系?这三个三角形的面积和不变的三角形 ABC 的面积有何关系? (直需讲解一种情况,其它让学生自己去补充) 图 1: S?ABC 图2 图3

在几何画板中操作,发现当点 P 移出三角形时,h1+h2+h3 发生改变,那么 h1,h2,h3 有没有什么一定的关系

? S?ABP ? S?ACP ? S?BCP ? BC ? AM ? AB ? PE ? AC ? PF ? BC ? PD

? PE ? PF ? PD ? AM 为定值 (板书) 图 2: S?ABC ? S?ACP ? S?BCP ? S?ABP ? BC ? AM ? AC ? PF ? BC ? PD ? AB ? PE ? PF ? PD ? PE ? AM 为定值
(只把结论板书) 12

图 3: S?ABC

? S?ABP ? S?BCP ? S?ACP ? BC ? AM ? AB ? PE ? BC ? PD ? AC ? PF
(只把结论板书)

? PE ? PD ? PF ? AM 为定值

A F D B P E C B

A

F

P A E

E C D P

F

B

D

C

图1 图 1: S?ABC

图2

图3

? S?ACP ? S?ABP ? S?BCP ? BC ? AM ? AC ? PE ? AB ? PF ? BC ? PD

? PF ? PE ? PD ? AM 为定值 (板书) 图 2: S?ABC ? S?ABP ? S?BCP ? S?ACP ? BC ? AM ? AB ? PE ? BC ? PD ? AC ? PF ? PE ? PD ? PF ? AM 为定值 (只把结论板书) 图 3: S?ABC ? S?BCP ? S?ABP ? S?ACP ? BC ? AM ? BC ? PD ? AB ? PE ? AC ? PF ? PD ? PE ? PF ? AM
为定值 (只把结论板书)

(分类讨论)(几个三角形之间的面积关系。) 过渡:前面我们研究的都是以三角形为背景的动态几何定值问题,下面再看一道以圆为背景的定值问题。 【问题 2】 已知:已知弧 AB 为 120 度,在以 AB 为弦的弓形劣弧上取一点 M(不包括 A、B 两点),以 M 为圆心作圆 M 和 AB 相切,分别过 A,B 作⊙M 的切线,两条切线相交于点 C. 求证:∠ACB 有定值,并求出这个定值. 分析: 问:这个图形中不变的是什么?不变的角是那一个? 答: 此题中的不变量是弧 AB,因此∠AMB 也是不变量; 不变关系是相切。 问:已知直线和圆已经相切,我们会想到什么? 答:连接圆心与切线 方法 1:问:要证∠ACB 有定值,可以转化为求什么为定值? 答:要证∠ACB 有定值,只需证∠CAB+∠CBA 是定值,只需证 ∠MAB+∠MBA 是定值,只要∠AMB 是定值即可。 证明:在△ABC 中,∠MAB+∠MBA=180 -∠AMB, ∵M 是△ABC 的内心, ∴∠CAB+∠CBA=2(180 -∠AMB). ∴∠ACB=180 -(∠CAB+∠CBA)=180 -2(180 -∠AMB)= 2∠AMB-180 =60 . ∴∠ACB 有定值 60 . 方法 2:问:要证∠ACB 有定值,可以转化为求什么为定值? 答: 要证∠ACB 有定值, 只需证∠EMF 是定值, 只需证∠EMD+∠FMD 是定值, 只要∠AMD+∠BMD 即∠AMB 是定值即可。 13
? ? ? ? ? ? ? ?

C E M A D B F

证明:在四边形 CEMF 中,∠C+∠EMF=180 , ∵M 是△ABC 的内心, ∴∠DMA=∠EMA, ∠FMB=∠DMB ∴∠EMD+∠FMD=2∠AMB =240 ∴∠EMF=120
? ? ? ?

?

∴∠C =180 -∠EMF=60

总结:若要证的不变量比较困难,你可以先找找题中比较容易看出的不变量,然后建立两者之间的联系。 (多角度,多方位地研究动态几何中的定值问题,本题以圆为背景,研究角的定值问题。) 过渡:上题是道有关定值的证明题,也就是已经明确方向肯定是定值了,若不是证明题呢?

【问题 3】 已知:O 是如图同心圆的圆心,AB 是大圆的直径?点 P 是小圆上的一动点,大小圆半径分别为 R 与 r?问:PA2+PB2 是否有定值,若有,求出定值;若没有,说明理由. 分析:这道题是探索定值的问题,可以先用特位定值法,探索以下是否可能是定值。 ①
2

点 P 放在直径 AB 上. 点 P 放在与直径 AB 垂直的另一条直径上

得 PA +PB2=(R+r)2+(. R-r)2=2(R2+r2). ② 也可得 PA2+PB2= R2+r2+R2+r2=2(R2+r2). 说明 PA2+PB2 非常有可能是定值,而且这个值为 2(R2+r2)
B B B

P
O P P A A A O O P

A

O H

B

证明:
2

(直角三角形计算法)

PA +PB2=HA2+PH2+PH2+HB2=2PH2+(OH+R)2+(R-OH)2 =2PH2+2OH2+2R2=2(PH2+OH2) +2R2=2r2+2R2
解答动态几何定值探索问题的方法,一般有两种: 第一种是分两步完成 : ① ② 先探求定值. 它要用题中固有的几何量表示. 再证明它能成立.

探求的方法,常用特殊位置定值法,即把动点放在特殊的位置,找出定值的表达式,然后写出证明. 第二种是采用综合法,直接写出证明. 结束语:数学因运动不再枯燥,数学因运动而充满活力。希望同学们能够把握动态几何的解题规律。 【小结】 问:这节课我们学习了一类怎么样的问题?用什么方法解决? 答:动态几何中的定值问题 特点:图形中的某个元素,按某种规律在运动 类型: (1)点动 14

(2)线动 (3)旋转、平移 (4)形变 解题思路:不要被"动"、"变"迷惑,通过观察,分析,动中窥静,变化之中求不变,从而明确图形之间的内 在联系,找到解题的途径。

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