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北师大版必修五1.3.2等比数列的前n项和课件


3.2 【课标要求】 等比数列的前n项和 理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导过程. 1. 能应用前n项和公式解决等比数列有关问题. 2. 【核心扫描】 等比数列前n项和公式及运用.(重点) 1. 错位相减法求数列的和.(重点、难点) 2. 课前探究学习 课堂讲练互动 自学导引 1.等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、末项与公比 选用 公式

课前探究学习 课堂讲练互动 2. 等比数列前n项和的性质 (1)项的个数的“奇偶”性质:等比数列{an}中,公比为q. 若共有2n项,则S偶∶S奇=q; (2)数列{an}为等比数列,Sn为其前n项和,则:Sn,S2n- Sn,S3n-S2n,…仍构成等比数列,其公比为qn(q≠-1). (3)若{an}是公比为q的等比数列,则Sn+m=Sn+qn· Sm. 想一想:若一个数列是等比数列,它的前n项和写成Sn= Aqn+B(q≠1),则A与B有何关系? 提示 a1?1-qn? a1 a1 n A+B=0,∵Sn= = - · q ,则常数项 1-q 1-q 1-q 与 qn 的系数互为相反数. 课前探究学习 课堂讲练互动 名师点睛 1.错位相减法的使用范围和步骤 (1)错位相减法是求数列的前 n 项和的一个重要的方法,在数列求 a1? 1-qn? 和问题中占有重要的地位. 公式 Sn= (q≠1)的得出就是借 1-q 助错位相减法来实现的. (2)错位相减法适合求数列{an· bn}(其中{an}为等差数列,{bn}为等 比数列)的前n项和. (3)利用错位相减法求和的步骤 ①作和:Sn=a1b1+a2b2+…+anbn ②乘公比:qSn=a1b2+a2b3+…+an-1bn+anbn+1 ③相减:(1-q)Sn=a1b1+(a2-a1)b2+…+(an-an-1)bn-anbn+1 ④化简:把相减后所得结果进行化简 课前探究学习 课堂讲练互动 2.函数观点下的等比数列前n项和公式 (1)若数列{an}是非常数列的等比数列,则其前n项和公式 为:Sn=-Aqn+A(A≠0,q≠0,q≠1,n∈N+). a1 (2)注意到指数式的系数和常数项互为相反数, 且 A= . 1-q (3)当q≠1时,数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图像是函数y =-Aqx+A图像上一群孤立的点; 当q=1时,数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图像是正比例 函数y=a1x图像上一群孤立的点. 课前探究学习 课堂讲练互动 题型一 等比数列前n项和公式的应用 7 63 【例1】在等比数列{an}中,S3=2,S6= 2 ,求 an. [思路探索] 先判定公比q是否能等于1,然后直接用a1和q 表示S3,S6,列方程组求解. 7 63 解 ∵S6≠2S3,∴q≠1,又 S3= ,S6= , 2 2 课前探究学习 课堂讲练互动 1 ②÷ ①得 1+q =9,∴q=2.将 q=2 代入①中得 a1= , 2 3 ∴an=a1q n-1 1 n-1 = · 2 =2n-2,即 an=2n-2. 2 规律方法 在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn中, a1与q是最基本的元素,当条件与结论间的联系不明显时, 均可以用a1与q表示an与Sn,从而列方程组求解,在解方程 组时经常用到两式相除达到整体消元的目的.这是方程思 想与整体思想在数列中的具体应用. 课前探究学习 课堂讲练互动 【训练1】 在等比数列{an}中,a1+an=66,a

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