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第一讲 小题解题方法与技巧(答案)


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第一讲 小题解题方法与技巧
第 1 节 例题精讲
x 2 例 1:如图 F1.F2 是椭圆 C1: +y =1 与双曲线 C2 的公共焦点,A.B 分别是 C1.C2 在第二,四 4 象限的公共点,若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是( )
2

/>
A. 2

B. 3

3 C. 2

D.

6 2

0 2 2 例 2:已知 F 1 、 F2 为双曲线 C: x ? y ? 1的左、右焦点,点 P 在 C 上,∠ F 1 P F2 = 60 ,

则 |PF ? PF2 | =( 1|| (A)2 (B)4

) (C) 6 (D) 8

例 3:已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F , C与过原点的直线相交于 A, B a 2 b2
4 ,则 C 的离心率为( 5 6 D. 7


两点,连接 AF , BF ,若 AB ? 10, B F ? 8, cos ? ABF ? A.

3 5

B.

5 7

C.

4 5

例 4: 如图,F1,F2 分别是双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)的左右焦点,B 是虚轴 a 2 b2

的端点,直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直 平分线与 x 轴交于点 M.若|MF2|=|F1F2|,则 C 的离心率是( A.
2 3 3







B.

6 2

C. 2

D. 3

例 5:椭圆Γ :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c.若 a 2 b2
1

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直线 y ? 3( x ? c) 与椭圆Γ 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆 的离心率等于__________.
例 6:在平面直角坐标系 xoy 中, A1 , A2 , B1 , B2 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的四个顶点, a 2 b2

F 为其右焦点,直线 A1B2 与直线 B1F 相交于点 T,线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线
段 OT 的中点,则该椭圆的离心率为 .

x2 y 2 例 7:已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F 1 (?c,0), F 2 (c,0) ,若椭圆上 a b
存在一点 P 使

a c ,则该椭圆的离心率的取值范围为 ? sin PF1F2 sin PF2 F1



例 8: 设 O 为坐标原点, F1 , F2 是双曲线

x 2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的焦点,若在双曲线 a 2 b2
)

上存在点 P,满足∠ F1 P F2 =60°,∣OP∣= 7a ,则该双曲线的渐近线方程为( (A)x± 3 y=0 (B) 3 x±y=0 (C)x± 2y =0

(D) 2x ±y=0

例 9:设 F 1 、 F2 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0, b>0) 的左、右焦点.若在双曲线右支上存 a 2 b2

在点 P ,满足 PF2 ? F 1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的 1F 2 ,且 F2 到直线 PF 渐近线方程为( )

(A) 3x ? 4 y ? 0 (B) 3x ? 5 y ? 0 (C) 4 x ? 3 y ? 0 (D) 5x ? 4 y ? 0

例 10:椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 的左、右顶点分别为 A1, A2 ,点 P 在 C 上且直线 PA2 斜 4 3

率的取值范围是 [?2, ?1] ,那么直线 PA1 斜率的取值范围是(
1 3 A. [ , ] 2 4 3 3 B. [ , ] 8 4 1 C. [ ,1] 2 3 D. [ ,1] 4

)

例 11:若曲线 C1 : x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 与曲线 C2 : y( y ? mx ? m) ? 0 有四个不同的交点,则 实数 m 的取值范围是( A. (? ) B. (?

3 3 , ) 3 3

3 3 ,0)∪(0, ) 3 3
2

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C.[ ?

3 3 , ] 3 3
2

D. ( ?? , ?
2

3 3 )∪( ,+ ? ) 3 3

例 12: 直线 y ? kx ? 3 与圆 ? x ? 3? ? ? y ? 2 ? ? 4 相交于 M,N 两点,若 MN ? 2 3 , 则 k 的取值范围是(
0 A. ? ? , ? 4 ? ? ? 3 ? ? ?

)
3? ? ? ?? ?0,
C. ? ?

? ? B. ? ??, 4

? ?

3 3? , ? 3 3 ?

0 D. ? ? , ? 3 ? ?

? 2 ?

例 13:已知 F1、F2 分别为双曲线 C:

x2 y2 =1 的左、右焦点,点 A∈C,点 M 的坐标为 27 9

(2,0) ,AM 为∠F1AF2 的平分线.则|AF2| = ___________. 例 14 : 已知 F 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点, A(1, 4),P 是双曲线右支上的动点,则 4 12

PF ? PA 的最小值为
例 15:已知以 F 为焦点的抛物线 y 2 ? 4 x 上的两点 A、B 满足 AF ? 3FB ,则弦 AB 的中点到 准线的距离为___________.

第 2 节 强化训练
强化训练一
x2 y 2 3a 1 . 设 F1F2 是 椭 圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 左 、 右 焦 点 , P 为 直 线 x ? 上一 2 a b
E 的离心率为 点, ? F2 PF 1 是底角为 30 的等腰三角形,则
A. ( D. )

1 2

B.

2 3

C.

? ?

? ?

2. 设 圆 锥 曲 线 r 的 两 个 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , 若 曲 线 r 上 存 在 点 P 满 足

PF1 : F1F 2: PF 2 =4:3:2,则曲线 r 的离心率等于(
A. 或



1 2

3 2

B.

2 或2 3

C. 或 2

1 2

D. 或

2 3

3 2

3.设双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切,则该双曲线的离心 2 a b
3

杰中杰教育教研部 率等于( (A) 3 4.过双曲线 ) (B)2 (C) 5 (D) 6

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x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1 的直线,该直线与双曲线的 a 2 b2
1 BC ,则双曲线的离心率是( 2
C. 5 D. 10 )纪

两条渐近线的交点分别为 B, C .若 AB ? A. 2 5. 已知椭圆 B. 3

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F , 右顶点为 A , 点 B 在椭圆上, 且 BF ? x a 2 b2
)2

轴, 直线 AB 交 y 轴于点 P .若 AP ? 2 PB ,则椭圆的离心率是( 1A.

3 2

B.

2 2

C.

1 3

D.

1 2

x2 y 2 6.设 F1,F2 是双曲线 C: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点,P 是 C 上一点,若 a b

且 ?PF1F2 的最小内角为 30°, 则 C 的离心率为________. 3 PF 1 ? PF 2 ? 6a ,
7.设 P 为直线 y ?

x2 y 2 b x 与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 左支的交点, F1 是左焦点, PF1 3a a b

垂直于 x 轴,则双曲线的离心率 e ? _______

3 2 _ 4

8.已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (3,0),过点 F 的直线交 E a 2 b2

于 A, B 两点,若 AB 的中点坐标为 (1, ?1) ,则 E 的方程为( A.
x2 y 2 ? ?1 45 36

)

B.

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 [ C. ? ?1 36 27 27 18

D.

x2 y 2 ? ?1 18 9

9 .已知双曲线 C1 :

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2.若抛物线 C2 : x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦 2 a b
) D. x2 ? 16 y [来源:www

点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为( A. x 2 ?
8 3 y 3

B. x 2 ?

16 3 y 3

C. x 2 ? 8 y

10. 如图,直角坐标系 xOy 所在的平面为 ? ,直角坐标系 x 'Oy ' (其中 y ' 轴与 y 轴重合)
4

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所 在 的 平 面 为 ? , ?xOx' ? 45? , 已 知 平 面 ? 内 的 曲 线 C ' 的 方 程 是

( x' ? 2)2 ? 2 y'2 ? 2 ? 0 ,则曲线 C ' 在平面 ? 内的射影 C 的方程是 x ? 1 2 ? y 2 ? 1 _。 ? ?
11. 若椭圆

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 的焦点在 x 轴上,过点(1, )作圆 x2 +y 2 =1 的切线,切点分别 2 2 a b

为 A,B,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是 x 2

5

?

y2 ?1 4

12.过点( 2,0)引直线 l 与曲线 y ? 1 ? x2 相交于 A, B 两点, O 为坐标原点, 当 ?AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率等于( A.
3 3

)

B. ?

3 3

C. ?

3 3

D.- 3

13. 设 m, n ? R , 若直线 l : mx ? ny ? 1 ? 0 与 x 轴相交于点 A , 与 y 轴相交于 B , 且 l 与圆

x2 ? y 2 ? 4 相交所得弦的长为 2, O 为坐标原点,则 ?AOB 面积的最小值为__3___.
14. 设圆 C 位于抛物线 y 2 ? 2 x 与直线 x=3 所围成的封闭区域(包含边界)内,则圆 C 的半 径能取到的最大值为 6 ? 1 ____ 15. 在平面直角坐标系内,到点 A(1, 2) , B(1,5) , C (3, 6) , D(7, ?1) 的距离之和最小的点的 坐标是__(2,4)__ 16.将两个顶点在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数 记为 n,则( A.n=0 ) B.n=1 C. n=2 D.n

?3

17.设 F1 , F2 分别为椭圆

x2 ? y 2 ? 1的左、右焦点,点 A, B 在椭圆上,若 F1 A ? 5F2 B ;则 3

点 A 的坐标是_______________. 18. 如图,双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a, b ? 0) 的两顶点为 A1 , A2 ,虚轴两端 a 2 b2

y

点为 B1 , B 2 , 两焦点为 F1 , F2 . 若以 A1 A2 为直径的圆内切于 菱形 F1 B1 F2 B2 ,切点分别为 A, B, C , D . 则
A1 F1 5 C B1 O D B B2 A A2 F2

x

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(Ⅰ)双曲线的离心率 e ?

5 ?1 _; 2
S1 ?_ S2

(Ⅱ)菱形 F1B1F2 B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的面积 S 2 的比值

5?2 __. 2

强化训练二
x2 y2 2 1. 设双曲线 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线与抛物线 y=x +1 只有一个公共点,则双曲线的离 a b
心率为( A. ). B. 5 C.

5 4

5 2

D. 5

2. 设双曲线 C 的中心为点 O ,若有且只有一对相交于点 O 、所成的角为 60 0 的直线 A1B1 和

A2 B2 ,使 A1B1 ? A2 B2 ,其中 A1 、 B1 和 A2 、 B2 分别是这对直线与双曲线 C 的交点,
则该双曲线的离心率的取值范围是( A. ( ) C. (

2 3 , 2] 3

B. [

2 3 , 2) 3

2 3 , ??) 3

D. [

2 3 , ??) 3

4. 椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a 为定值 , 且 a ? 5) 的的左焦点为 F , 直线 x ? m 与椭圆相交于点 a2 5
2 __. 3

A 、 B , ?FAB 的周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率是_

x2 y 2 5. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F 1 (?c,0), F 2 (c,0) ,若双曲线 a b
上存在一点 P 使

sin PF1 F2 a ? ,则该双曲线的离心率的取值范围是 sin PF2 F1 c

?1,

2 ?1

?



6. 抛物线 C1 : y ?

2 1 2 x ( p ? 0) 的焦点与双曲线 C2 : x ? y 2 ? 1的右焦点的连线 2p 3

交 C1 于第一象限的点 M .若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p = ( )

6

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A.

3 16

B.

3 8

C.

2 3 3

D.

4 3 3

C ? t ? 4, 4? , D ?t,4??t ? R ? .记 N ? t ? 为平行四边形 ABCD 内部 7. 设 A? 0,0? , B ? 4,0? , (不
含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则函数 N ? t ? 的值域为 ( ) A. ?9,10,11 ? C. ?9,11,12? B. ?9,10,12? D. ?10,11,12?

8. 在抛物线 y ? x2 ? ax ? 5(a ? 0) 上取横坐标为 x1 ? ?4 , 过这两点引一条割线, x2 ? 2 的两点, 有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x2 ? 5 y 2 ? 36 相切,则抛物线顶点的坐标 为 (A) (?2, ?9) (B) (0, ?5) (C) (2, ?9) (D) (1, ?6) )

9. 若直线 y ? x ? b 与曲线 y ? 3 ? 4 x ? x 2 有公共点,则 b 的取值范围是( A.[ 1 ? 2 2 , 1 ? 2 2 ] C.[-1, 1 ? 2 2 ] B.[ 1 ? 2 ,3] D.[ 1 ? 2 2 ,3]

10. 如图.已知 l1⊥l2,圆心在 l1 上、半径为 1m 的圆 O 在 t=0 时与 l2 相切于点 A,圆 O 沿 l1 以 1m/s 的速度匀速向上移动,圆被直线 l2 所截上方圆弧长记为 x,令 y=cosx,则 y 与时 间 t(0≤x≤1,单位:s)的函数 y=f(t)的图像大致为( B)

7

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11. 在抛物线 y ? x2 ? ax ? 5(a ? 0) 上取横坐标为 x1 ? ?4 , x2 ? 2 的两点,过这两点引一 条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x2 ? 5 y 2 ? 36 相切,则抛物线顶点 的坐标为( ) B. (0, ?5) C. (2, ?9) D. (1, ?6)

A. (?2, ?9)

12. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P 是函数 f ( x) ? e x ( x ? 0) 的图象上的动点,该图 象在 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M,过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N,设线段 MN 的中点的 纵坐标为 t,则 t 的最大值是_

1 ? e ? e?1 ? ____ 2

13. 在平面直角坐标系中,如果 x 与 y 都是整数,就称点 ( x, y ) 为整点, 下列命题中正确的是_____________(写出所有正确命题的编号). ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果 k 与 b 都是无理数,则直线 y ? kx ? b 不经过任何整点 ③直线 l 经过无穷多个整点,当且仅当 l 经过两个不同的整点 ④直线 y ? kx ? b 经过无穷多个整点的充分必要条件是: k 与 b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线 14. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在 (0,1) ,此时圆上一点 P 的位置在 (0, 0) , 圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于 (2,1) 时, OP 的坐标为

8

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______________.( 2-sin2 , 1-cos2 ) 15 .记椭圆

x2 ny 2 ? ? 1 围成的区域 ( 含边界 ) 为 ?n ? n ? 1,2, 4 4n ? 1
上时, x ? y 的最大值分别是 M1 , M 2 , B.
n ??

? , 当点 ? x, y ? 分别在


?1 , ?2 ,
A.0

,则 lim M n ? ( D. 2 2

1 4

C.2

16. 过圆 C : ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 1 的圆心,作直线分别交 x、y 正半轴于点 A、B, ?AOB 被 圆分成四部分(如图) ,若这四部分图形面积满足 SI +SIV =SII ? SIII 则直线 AB 有( (A) 0 条 (B) 1 条 (C) 2 条 (D) 3 条 )

17. 在等腰直角 ?ABC 中, AB ? AC ? 4 ,点 P 是边 AB 上异于 A , B 的一点,光 线从点 P 出发,经 BC, CA 反射后又回到点 P ( 如下图所示 ) ,若光线 QR 经过
?ABC 的重心,则 AP 等于(

)

A.2

B.1

C.

8 3

D.

4 3

18. 已知点 A (?1, 0) , B (1, 0) ,C (0,1) ,直线 y ? ax ? b(a ? 0) 将 ?ABC 分割为面 积相等的两部分,则 b 的取值范围是( )

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A. (0,1)

B. (1 ?

2 1 , ) 2 2

C. (1 ?

2 1 , ] 2 3

1 1 D. [ , ) 3 2

强化训练三
y2 x2 y 2 2 与双曲线 C : x ? ? 1 有公共的焦点,C2 的一条 ? ? 1( a > b > 0) 2 4 a 2 b2

2. 已知椭圆 C1 :

渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A, B 两点,若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则 ( )

2 A. a ?

13 2

B. a2 ? 13

2 C. b ?

1 2

D. b 2 ? 2

3. 已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两切点,那么 PA ? PB 的最小 值为( ) (B) ?3 ? 2 (C) ?4 ? 2 2 (D) ?3 ? 2 2

(A) ?4 ? 2

4. 点 P 在直线 l : y ? x ? 1 上,若存在过 P 的直线交抛物线 y ? x2 于 A, B 两点,且

| PA ?| AB |,则称点 P 为“
A.直线 l 上的所有点都是“

点” ,那么下列结论中正确的是( 点” 点” 点” 点”



B.直线 l 上仅有有限个点是“ C.直线 l 上的所有点都不是“

D.直线 l 上有无穷多个点(点不是所有的点)是“

5. 已知直线 y ? k ? x ? 2?? k ? 0? 与抛物线 C : y 2 ? 8x 相交于 A、B 两点, F 为 C 的焦点, 若 | FA |? 2 | FB | ,则 k ? ( )

A.

1 3

B.

2 3

C.

2 3

D.

2 2 3

6. 若点 O 和点 F (?2, 0) 分别是双曲线

x2 ? y 2 ? 1(a>0) 的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支 2 a
)

上的任意一点,则 OP ? FP 的取值范围为 (
10

杰中杰教育教研部 A. [3-2 3, ??) B. [3 ? 2 3, ??)

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C. [-

7 , ?? ) 4

D. [ , ??)

7 4

7. 若点 O 和点 F 分别为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则 4 3

OP FP 的最大值为(
A.2

) B.3 C.6 D.8

8. 已知直线 y ? a 交抛物线 y ? x2 于 A, B 两点.若该抛物线上存在点 C ,使得
?ACB 为直角,则 a 的取值范围为________.
9. 已知圆 O : x2 ? y 2 ? 5 , 直线 l : x cos? ? y sin ? ? 1 ( 0 ? ? ? 等于 1 的点的个数为 k ,则 k ? ________. 11. 曲线 C 是平面内与两个定点 F1(-1,0)和 F2(1,0)的距离的积等于常数 a (a ? 1) 的
2

π ). 设圆 O 上到直线 l 的距离 2

点的轨迹.给出下列三个结论: ① 曲线 C 过坐标原点; ② 曲线 C 关于坐标原点对称; ③ 若点 P 在曲线 C 上,则△F 1 PF 2 的面积不大于 其中,所有正确结论的序号是____________。 12. 已 知 椭 圆 c :

1 2 a 。 2

x2 x2 2 ?1 ,则 ? y 2 ? 1 的 两 焦 点 为 F1 , F2 , 点 P( x0 , y0 ) 满 足 0 ? 0 ? y0 2 2
x0 x ? y0 y ? 1 与椭圆 C 的公共点个数为________。 2

| PF1 |+ PF2 |的取值范围为_______, 直线

13. 已知圆 C1: ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 ,圆 C2: ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 9 , M , N 分别是 圆 C1,C2 上的动点, P 为 x 轴上的动点,则 PM ? PN 的最小值为( A.5 2-4 B. 17-1 C.6-2 2 D. 17
25 , AF ? BF , 则 12

)

2 14.过抛物线 y ? 2 x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A, B 两点,若 AB ?

AF =_________.
15.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆相交 于点 A 、 B ,当 ?FAB 的周长 4 3
11

最大时, ?FAB 的面积是_______.

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16. 设抛物线 y 2 =2x 的焦点为 F,过点 M( 3 ,0)的直线与抛物线相交于 A,B 两点,与 抛物线的准线相交于 C, BF =2,则 ? BCF 与 ? ACF 的面积之比

S?BCF =( S?ACF



(A)

4 5

(B)

2 3

(C)

4 7

(D)

1 2

12


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