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山东省聊城市2009年高考模拟试题数学试题(理)


山东省聊城市 2009 年高考模拟试题数学试题(理)
注意事项: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分。考试时间 120 分钟 2.答第Ⅰ卷前,考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答 题卡和试题纸上。 3.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试题卷上。 4.第 II 卷写在答题纸对应区域内,严禁在试题卷或草纸上答题。 5.考试结束后,将答题卡和答题纸一并交回。 参考公式: ①如果事件 A 在一次试验中发生概率是 P, 那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概
k

率 Pn(k)=C n Pk(1-P)n-k。 ②棱柱的体积公式:V=sh(s 底面积,h 为高) 。

n(ad ? bc) 2 ③K 统计量的表达式 K = 。 (a ? b)(c ? d )(a ? c)()b ? d )
2 2

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分;共 60 分。在每小题给出的四个选项中,选出 一个符合题目要求的选项。 ) 1.给定下列结论:其中正确的个数是 ( ) 2 ①用 20 ㎝长的铁丝折成的矩形最大面积是 25 ㎝ ; ②命题“所有的正方形都是矩形”的否定是“所有的正方形都不是矩形” ; ③函数 y=2-x 与函数 y=log 1 x 的图像关于直线 y=x 对称。
2

A.0

B.1

C.2

D.3

2.已知 M ? y | y ? i , n ? N
2n

?

?

x , ?(其中 i 为虚数单位) N ? ?x | y ? lg 1 ? x ?, ? ? 1? ? ?
( )

P ? x | x 2 ? 1, x ? R , 则以下关系中正确的是
A. M ? N ? P C. P ? N ? M 3.若 a>2,则函数 f ( x ) ? B. C R M ? P ? N D. C R ( P ? N ) ? ?

?

?

1 3 x ? ax 2 ? 1 在区间(0,2)上恰好有 3





A.0 个零点 B.1 个零点 C.2 个零点 4.如果执行如图所示的程序框图,那么输出的 S= A.1 B.

D.3 个零点 ( D. )

101 100

C.

99 100

98 99

2 0 0 5.在 ?ABC中已知向量AB ? (cos18?, cos72?), BC ? (2 cos63?,2 cos27?),则?ABC 的 , 9 面积等于 ( ) 0 4 2 2 3 A. B. C. D. 2 0 2 4 2 2 6.2008 年北京奥运会期间,计划将 5 名志愿者分配到 3 个不同的奥运场馆参加接待工作, 每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为 ( ) A.540 B.300 C.150 D.180 7.某个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 ( ) A. 2 3 B. 3 C.

3 3 4

D.

3 3 2
x2 y2 ? ? 1 的离心 a b
( )

8.两个正数 a、b 的等差中项是 5,等比例中项是 4,若 a>b,则双曲线 率 e 等于 A.

3 2

B.

5 2

C.

17 50

D. 3

9.给出下列四个命题,其中正确的一个是 ( ) 2 A.在线性回归模型中,相关指数 R =0.80,说明预报变量对解释变量的贡献率是 80% B.在独立性检验时,两个变量的 2×2 列表中对角线上数据的乘积相差越大,说明这 两个变量没有关系成立的可能性就越大 C.相关指数 R2 用来刻画回归效果,R2 越小,则残差平方和越大,模型的拟合效果越 好 D.随机误差 e 是衡量预报精确度的一个量,它满足 E(e)=0 10.已知函数 f ( x) ? 4 ? x , g ( x)是定义在 ??,0) ? (0,??) 上的奇函数,当 x>0 时, (
2

g ( x) ? log2 x, 则函数y ? f ( x) ? g ( x) 的大致图象为





11.已知在平面直角坐标系 xOy中, O(0,0), A(1,?2), B(1,1), C (2,?1),动点M ( x, y) 满足条件

?? 2 ? OM ? OA ? 2, ? ? ?1 ? OM ? OB ? 2, ?

则 OM ? OC 的最大值为





A.-1 B.0 C.3 D.4 12.一支足球队每场比赛获胜(得 3 分)的概率为 a,与对手踢平(得 1 分)的概率为 b, 负于对手(得 0 分)的概率为 c(a,b,c∈(0,1),已知该足球队进行一场比赛得 ) 分的期望是 1,则 A.

16 3

1 1 ? 的最小值为 a 3b 14 B. 3

( C.



17 3

D.

10 3

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分。 ) 13.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ①“mn=nm”类比得到“a·b=b·a” ; ②“ (m+n)t=mt+nt”类比得到“ (a+b) ·c=a·c+b·c” ; ③“t≠0,mt=nt ? m ? n ”类比得到“ c ? 0, a ? c ? b ? c ? a ? c ” ; ④“ | m ? n |?| m | ? | n | ”类比得到“ | a ? b |?| a | ? | b | ” 。 以上类比得到的正确结论的序号是 (写出所有正确结论的序号) 。

14.在 ?ABC 中, 角A, B, C所对的边分别为 a, b, c, 若其面积 S ?

1 2 (b ? c 2 ? a 2 ), 4

则?A =
2



15.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0),过点M (2 p,0)的直线与抛物线相交于 , B, 则 A

OA ? OB ?



16.电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关。某品牌的电视机的显像管开关了 10000 次还能继续使用的概率是 0.96, 开关了 15000 次后还能继续使用的概率是 0.80, 则已经

开关了 10000 次的电视机显像管还能继续使用到 15000 次的概率是 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答出应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 2 17. (本小题满分 12 分) 0 设函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos2 0 ? a 。 x 9 0 (1)写出函数 f (x) 的最小正周期及单调递减区间; 4 0 3 ? ? ?? (2)当 x ? ?? , ? 时,函数 f (x) 2 的最大值与最小值的和为 ,求 f (x) 的图象、y 2 6 3

?

?

轴的正半轴及 x 轴的正半轴三者围成图形的面积。

18. (本小题满分 12 分) 某校有一贫困学生因病需手术治疗,但现在还差手术费 1.1 万元。团委计划在全校 开展爱心募捐活动,为了增加活动的趣味性吸引更多学生参与,特举办“摇奖 100%中 奖”活动。凡捐款 10 元便可享受一次摇奖机会,如图是摇奖机的示意图,摇奖机的旋 转盘是均匀的,扇形区域 A,B,C,D,E 所对应的圆心角的比值分别为 1:2:3:4: 5。相应区域分别设立一、二、三、四、五等奖,奖品分别为价值 5 元、4 元、3 元、2 元、1 元的学习用品。摇奖时,转动圆盘片刻,待停止后,固定指针指向哪个区域(边 线忽略不计)即可获得相应价值的学习用品(如图指针指向区域,可获得价值 3 元的学 习用品) 。 (1)预计全校捐款 10 元者将会达到 1500 人次,那么除去购买学习用品的款项后,剩余 款项是否能帮助该生完成手术治疗? (2)如果学生甲捐款 20 元,获得了两次摇奖机会,求他获得价值 6 元时的学习用品的 概率。

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱台 ABCD—A1B1C1D1 中,下底 ABCD 是边长为 2 的正方形,上底 A1B1C1D1 是边长为 1 的正方形,侧棱 DD1⊥平面 ABCD,DD1=2。 (1)求证:B1B//平面 D1AC; (2)求二面角 B1—AD1—C 的余弦值。

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ?
3

3 2 ax ? b(a, b为实数 , 且a ? 1) 在区间[-1,1]上最大值为 2

1,最小值为-2。 (1)求 f (x) 的解析式; (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? m x在区间[-2,2]上为减函数,求实数 m 的取值范围。

21. (本小题满分 12 分) 过点 P(1,0)作曲线 C : y ? x ( x ? (0,??), k ? N , k ? 1) 的切线,切点为 M1,
k ?

设 M1 在 x 轴上的投影是点 P1。又过点 P1 作曲线 C 的切线,切点为 M2,设 M2 在 x 轴 上的投影是点 P2,?。依此下去,得到一系列点 M1,M2?,Mn,?,设它们的横坐 标 a1,a2,?,an,?,构成数列为 ?an ? 。 (1)求证数列 ?an ? 是等比数列,并求其通项公式; (2)求证: a n ? 1 ?

n ; k ?1

(3)当 k ? 2时, 令bn ?

n , 求数列?bn ?的前 n 项和 Sn。 an

22. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C1 :

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,直线 l:y=x+2 与以原点 2 3 a b

为圆心、椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆 O 相切。 (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设椭圆 C1 的左焦点为 F1,右焦点为 F2,直线 l1 过点 F1,且垂直于椭圆的长轴,动 直线 l2 垂直于 l1,垂足为点 P,线段 PF2 的垂直平分线交 l2 于点 M,求点 M 的轨 迹 C2 的方程; (3)设 C2 与 x 轴交于点 Q,不同的两点 R、S 在 C2 上,且 满足 QR ? RS ? 0 , 求 | QS | 的取值范围。

参考答案

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1—5 CBBCA 6—10 CBBDB 11—12 DA 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分。 13.①② 14.

? 4
5 4

15.0 (文) 16.

5 ; (文)1000。 6

三、解答题。 17.解(1) f ( x) ? 分)

3 1 ? cos 2 x ? 1 sin 2 x ? ? a ? sin(2 x ? ) ? a ? , 2 2 6 2

(2

?T ? ? .
分)

(4



?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

3? ? 2? ? 2k? , 得 ? kx ? x ? ? k? . 2 6 3

故函数 f (x) 的单调递减区间是 ? 分) (2) (理)? ? 当 x ? ??

2? ?? ? ? k? , ? k? ? (k ? Z) 。 3 ?6 ?

(6

?
6

?x?

?
3

,? ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

5? 1 ? . ? ? ? sin( 2 x ? ) ? 1. 6 2 6

1 1 1 ? ? ?? , ? 时,原函数的最大值与最小值的和 (1 ? a ? ) ? (? ? a ? ) 2 2 2 ? 6 3?
(8

?
分)

3 ? 1 ,? a ? 0,? f ( x) ? sin( 2 x ? ) ? . 2 6 2

f (x) 的图象与 x 轴正半轴的第一个交点为 ( ,0) 2
所以 f (x) 的图象、y 轴的正半轴及 x 轴的正半轴三者围成图形的面积

?

(10 分)

S??

?
2 0

? 1? ? x? 2 2 3 ?? ? ? 1 . ?sin(2 x ? 6 ) ? 2 ? dx ? ?? 2 cos(2 x ? 6 ) ? 2 ? |0 ? 4 ? ? ? ?

?

(12

分) 18.解: (1)设摇奖一次,获得一、二、三、四、五等奖的事件分别记为 A、B、C、D、E

则其概率分别为 P( A) ?

1 1 2 3 1 ? , P( B) ? , P(C ) ? ? , 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 15 15 15 5 4 5 1 P( D) ? , P( E ) ? ? . 15 15 3

(3 分)

设摇奖一次支出的学习用品相应的款项为 ? ,则 ? 的分布列为:

?
P

1

2

3

45

5

1 3

4 15

1 5

2 15

1 15
(6

1 4 1 2 1 7 E? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? . 3 15 5 15 15 3
分) 若捐款 10 元者达到 1500 人次,那么购买学习用品的款项为 1500E ? =3500(元) , 除去购买学习用品的款项后,剩余款项为 1500×10-3500=11500(元) , 故剩余款项可以帮助该生完成手术治疗。 分) (2)记事件“学生甲捐款 20 元获得价值 6 元的学习用品”为 F,则
1 P( F ) ? C 2 ?

(8

1 5 3 3 2 4 7 1 ? ? ? ? C2 ? ? ? . 15 15 15 15 15 15 45 7 。 45
(12

即学生甲捐款 20 元获得价值 6 元的学习用品的概率为

分) 19.以 D 为原点,以 DA、DC、DD1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、z 建立空间直角坐标系 D—xyz 如图,则有 A(2,0,0) , B(2,2,0) ,C(0,2,0) 1(1,0,2) 1(1,1,2) ,A ,B , C1(0,1,2) 1(0,0,2) ,D 。 (3 分) (1)证明:设 AC ? BD ? E, 连结 D1、E,则有 E(1,1,0) ,

D1 E ? B1 B ? (1,1,?2) 。所以 B1B//D1E。
? B1 B ? 平面D1 AC, D1 E ? 平面D1 AC,? B1 B // 平面D1 AC ;
分) (2)解: D1 B1 ? (1,1,0), D1 A ? (2,0,?2), 设 n ? ( x, y, z)为平面AB1 D1的法向量, (6

n ? B1 D1 ? x ? y ? 0, n ? D1 A ? 2x ? 2z ? 0.于是令x ? 1, 则y ? ?1, z ? 1.n ? (1,?1,1)
同理可以求得平面 D1AC 的一个法向量 m=(1,1,1) 。 (8 分) (10 分)

cos ? m, n ??

m?n 1 1 ? . ? 二面角B1 ? AD1 ? C的余弦值为 . | m || n | 3 3

(12 分)

20.解: (1) f ' ( x) ? 3x 2 ? 3ax,

令f ' ( x) ? 0, 得x1 ? 0, x 2 ? a, ? a ? 1, ? f ( x)在?? 1,0?上为增函数, 在?0,1?上为减函数 ? ???? (2分) . ? f (0) ? b ? 1, ????? (4分) 3 3 ? f (?1) ? ? a, f (1) ? 2 ? a,? f (?1) ? f (1), 2 2 3 4 ? f (?1) ? ? a ? ?2, a ? . 2 3 3 2 ? f ( x) ? x ? 2 x ? 1.?????? (6分)
(2) g ( x) ? x 3 ? 2x 2 ? mx ? 1,

g ' ( x) ? 3x 2 ? 4 x ? m.
由 g ( x)在?? 2,2?上为减函数, 知 g ' ( x) ? 0在x ? ?? 2,2?上恒成立 . (8 分)

? g ' (?2) ? 0 ?20 ? m ? 0 , 即? ?? ? g ' (2) ? 0 ?4 ? m ? 0
? 实数m的取值范围是 ? 20. m
分)

? m ? 20.
(12

k 21.解: (1)对 y ? x 求导数,得 y ? kxk ?1 , 切点是M n (an , an ) 的切线方程是
k

k k y ? an ? kan ?1 ( x ? an )

(2

分) 当 n=1 时,切线过点 P(1,0) ,即 0

? a1k ? ka 1k ?1 (1 ? a), 得a1 ?

k ; k ?1

当 n>1 时,切线过点 pn?1 (an?1 ,0) ,即 0 所以数列 ?a n ?是首项 a1 ?

k k ? an ? kan ?1 (an?1 ? an ), 得

an k ? . an?1 k ? 1

k k , 公比为 的等比数列 , k ?1 k ?1

的通项公式为 a n ? ( 所以数列 ?a n ?
(2)应用二项公式定理,得

k n ) ,n? N? k ?1

(4 分)

k n 1 n 1 1 2 1 n 0 1 2 n ) ? (1 ? ) ? Cn ? Cn ? Cn ( ) ? ? ? Cn ( ) k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 n ? 1? .????? (8分) k ?1 an ? (
(3)当

n 1 2 3 n .数列?bn ? 的前项 n项和 S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? n , n 2 2 2 2 2 1 1 1 2 3 n 同乘以 , 得 S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 . (10 分) 2 2 2 2 2 2 k ? 2时, a n ? 2 n , bn ?
两式相减,得

1 1 (1 ? n ) 1 1 1 2 1 n 2 ? n ? 1? 1 ? n S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n?1 ? 2 1 2 2 2 2 2 2 2 n?1 2 n 2 n?1 1? 2 n?2 所以 S n ? 2 ? 2n
3 b2 2 22.解: (1)由 e ? ,得 2 ? 1? e ? ; 3 3 a
由直线 l : x ? y ? 2 ? 0与圆x ? y ? b 相切, 得
2 2 2

(12 分)

(2 分)

2 2

?| b | .所以, b ? 2 , a ? 3

所以椭圆的方程是 分)

x2 y2 ? ? 1. 3 2

(4

(2)由条件,知|MF2|=|MP|。即动点 M 到定点 F2 的距离等于它到直线 l1 : x ? ?1 的距 离, 由抛物线的定义得点 M 的轨迹 C2 的方程是 y ? 4 x 。
2

(8

分)
2 y12 y2 y12 , y1 ), S ( , y 2 ), 所以QR ? ( , y1 ) (3)由(2) ,知 Q(0,0) 。设 R( 4 4 4

2 y 2 ? y12 RS ? ( , y 2 ? y1 ). 4 y 2 ( y 2 ? y12 ) 由QR ? RS ? 0, 得 1 2 ? y1 ( y 2 ? y1 ) ? 0. 16 16 因为y1 ? y 2 , 化简得y 2 ? ? y1 ? ?????? (10分) y1 2 ? y 2 ? y12 ?

256 256 ? 32 ? 2 256 ? 32 ? 64(当且仅当y12 ? 2 , 即 2 y1 y1

y1 ? ?4时等号成立).????? (12分)
2 y2 2 1 2 2 2 ? QS |? ( ) ? y 2 ? | ( y 2 ? 8) 2 ? 64,? y 2 ? 64. 4 4

2 所以当 y2 ? 64,即y2 ? ?8时, | QS |min ? 8 5.

故 | QS | 的取值范围是 8 5. ? ? 。

?

?


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