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2013年北京市海淀区高三一模数学(理)试题及答案


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海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学 (理科)
2013.4
本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5

分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项.
2 1.集合 A ? {x ? N|x ? 6}, B ? {x ? R|x ? 3x ? 0} ,则 A ? B ?

A. {3,4,5}

B. {4,5,6}

C. {x | 3 ? x ? 6} D. {x | 3 ? x ? 6}
开始

2.在极坐标系中, 曲线 ? ? 4cos ? 围成的图形面积为 A. π B. 4 C. 4π D. 16

输入 x

3.某程序的框图如图所示,执行该程序, 若输入的 x 值为 5,则输出的 y 值为 A. ?2 B. ?1 C.

x ? x?2

1 D. 2 2

x?0




y ? 2x

? x ? 1, ? 4.不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0, 表示面积为 1 的直角三角形区域,则 k 的值为 ?kx ? y ? 0 ?
A. ?2 B. ?1 C. 0 D. 1

输出 y

结束

5. 若向量 a, b 满足 | a |?| b |?| a ? b |? 1 ,则 a ? b 的值为 A. ?

1 2

B.

1 2

C. ?1

D. 1

6. 一个盒子里有 3 个分别标有号码为 1,2,3 的小球,每次取出一个,记下它的标号后再放回盒子中,共取 3 次,则取得小球标号最大值是 3 的取法有 A.12 种 B. 15 种 C. 17 种 D.19 种

2 7. 抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,点 P( x, y ) 为该抛物线上的动点,又点 A( ?1,0) ,则

| PF | 的最 | PA |

小值是 A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D.

2 2 3

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8. 设 l1 , l2 , l3 为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为 4,5,6 的直线.给出下列三个结论: ① ?Ai ? li (i ? 1,2,3) ,使得 ?A1 A2 A3 是直角三角形; ② ?Ai ? li (i ? 1,2,3) ,使得 ?A1 A2 A3 是等边三角形; ③三条直线上存在四点 A i (i ? 1,2,3,4) , 使得四面体 A1 A2 A3 A4 为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体. 其中,所有正确结论的序号是 A. ① B.①② C. ①③ D. ②③

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9.在复平面上,若复数 a+b i ( a, b ? R )对应的点恰好在实轴上,则 b =_______. 10.等差数列 {an } 中, a3 ? a4 ? 9, a2a5 ? 18 , 则 a1a6 ? _____. 11.如图, AP 与 ? O 切于点 A ,交弦 DB 的延长线于点 P ,
A C P

BC ? 3, CP ? 4 , 过点 B 作圆 O 的切线交 AP 于点 C . 若 ?ACB ? 90? ,
则弦 DB 的长为_______.
D

O

B

1 12.在 ?ABC 中,若 a ? 4, b ? 2, cos A ? ? ,则 c ? _____,sin C ? ____. 4
x ? ?2 ? a, f ( x ) ? 13.已知函数 ? 2 ? ? x ? 3ax ? a ,

x ? 0, x?0

有三个不同的零点,则实数 a 的取值范围是_____.

14.已知函数 f ( x ) ? sin

π x ,任取 t ? R ,定义集合: 2

At ? { y | y ? f ( x ) ,点 P(t, f (t )) , Q( x, f ( x)) 满足 | PQ |? 2} .
设 M t , mt 分别表示集合 At 中元素的最大值和最小值,记 h(t ) ? M t ? mt . 则 (1)函数 h(t ) 的最大值是_____; (2)函数 h(t ) 的单调递增区间为________.

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 ? ( 3 sin x ? cos x ) 2 .

π (Ⅰ)求 f ( ) 的值和 f ( x ) 的最小正周期; 4
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(Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [ ?

? ?

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, ] 上的最大值和最小值. 6 3

16.(本小题满分 13 分) 在某大学自主招生考试中,所有选报 II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个 科目的考试,成绩分为 A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示,其中“数学 与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人. (I)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数; (II)若等级 A,B,C,D,E 分别对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分. (i)求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分; (ii)若该考场共有 10 人得分大于 7 分,其中有 2 人 10 分,2 人 9 分,6 人 8 分. 从这 10 人中随机抽取两人,求两人成绩之和的分布列和数学期望.

频率

科目:数学与逻辑

频率

科目:阅读与表达

0.375
0.250 0.200 0.075
等级

0.375

0.150 0.025
等级

17.(本小题满分 14 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , ?ABC 是正三角形,

P

?CDA ? 120? , 又 PA ? AB ? 4 , AC 与 BD 的交点 M 恰好是 AC 中点,

N



N 在线段 PB 上,且 PN ? 2 .
(Ⅰ)求证: BD ? PC ; (Ⅱ)求证: MN / / 平面 PDC ;
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B A D M C

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(Ⅲ)求二面角 A ? PC ? B 的余弦值.

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18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? ln x ? ax 2 ? bx (其中 a, b 为常数且 a ? 0 )在 x ? 1 处取得极值. (I) 当 a ? 1 时,求 f ( x ) 的单调区间; (II) 若 f ( x ) 在 ? 0,e ? 上的最大值为 1 ,求 a 的值.

19.(本小题满分 14 分) 已知圆 M : ( x ? 2)2 ? y 2 ? r 2 ( r ? 0 ).若椭圆 C : 离心率为

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的右顶点为圆 M 的圆心, a 2 b2

2 . 2 (I)求椭圆 C 的方程; (II)若存在直线 l : y ? kx ,使得直线 l 与椭圆 C 分别交于 A , B 两点,与圆 M 分别交于 G , H 两点,点 G
在线段 AB 上,且 AG ? BH ,求圆 M 半径 r 的取值范围.

20.(本小题满分 13 分) 设 A( x A , y A ), B( xB , yB ) 为平面直角坐标系上的两点,其中 x A , y A , xB , yB ? Z .令 ?x ? xB ? x A , ?y ? yB ? y A , 若 ?x + ?y =3 ,且 | ?x | ? | ?y |? 0 ,则称点 B 为点 A 的“相关点” ,记作:B ? ? ( A) . 已知 P0 ( x0 , y0 ) ( x0 , y0 ? Z) 为平面上一个定点,平面上点列 {Pi } 满足: Pi ? ? ( Pi ?1 ) ,且点 Pi 的坐标为 ( xi , yi ) ,其中 i ? 1,2,3,..., n . (Ⅰ)请问:点 P0 的“相关点”有几个?判断这些“相关点”是否在同一个圆上,若在同一个圆上,写出圆的 方程;若不在同一个圆上,说明理由;
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(Ⅱ)求证:若 P0 与 Pn 重合, n 一定为偶数; (Ⅲ)若 P0 (1,0) ,且 yn ? 100 ,记 T ? ? xi ,求 T 的最大值.
i ?0 n

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参考答案及评分标准 2013.4
说明: 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数. 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 B 2 C 3 C 4 D 5 A 6 D 7 B 8 B

9.0

10.14

11.

24 5

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12. 3,

3 15 16

13.

4 ? a ?1 9

14. 2, (2k ? 1,2k ), k ? Z

二、填空题(本大 题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小

题,第一空 3 分,第二空 2 分, 共 30 分) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解: (I)因为 f ( x ) ? 2 ? ( 3 sin x ? cos x ) 2

= 2 ? (3sin 2 x ? cos2 x ? 2 3 sin x cos x) ? 2 ? (1 ? 2sin 2 x ? 3 sin 2 x ) ??????2 分
= 1 ? 2sin 2 x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ??????4 分

π = 2sin(2 x ? ) ??????6 分所以 6 π π π 2π f ( ) ? 2sin(2 ? ? ) ? 2sin ? 3 ??????7 分 4 4 6 3
所以 f ( x ) 的周期为 T ?

2π 2π ? = π ??????9 分 |? | 2

(II)当 x ? [?

π π π 2π π π 5π , ] 时, 2 x ? [? , ] , (2 x ? ) ? [? , ] 6 3 3 3 6 6 6

所以当 x ? ?

π π 时,函数取得最小值 f ( ? ) ? ?1 ??????11 分 6 6

当x?

π π 时,函数取得最大值 f ( ) ? 2 ??????13 分 6 6

16.解: (I)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有 10 人, 所以该考场有 10 ? 0.25 ? 40 人??????1 分 所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为 A 的人数为

40 ? (1 ? 0.375 ? 0.375 ? 0.15 ? 0.025) ? 40 ? 0.075 ? 3 ??????3 分
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(II) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为

1 ? (40 ? 0.2) ? 2 ? (40 ? 0.1) ? 3 ? (40 ? 0.375) ? 4 ? (40 ? 0.25) ? 5 ? (40 ? 0.075) ? 2.9 40
??????7 分 (Ⅲ)设两人成绩之和为 ? ,则 ? 的值可以为 16,17,18,19,20??????8 分

P(? ? 16) ?

2 C6 15 ? , 2 C10 45 1 1 2 C6 C2 C2 13 ? ? , 2 2 C10 C10 45

P (? ? 17) ?

1 1 C6 C2 12 ? 2 C10 45 1 1 C2 C2 4 ? 2 C10 45

P (? ? 18) ?

P (? ? 19) ?

2 C2 1 P(? ? 20) ? 2 ? C10 45

所以 ? 的分布列为

X P
??????11 分 所以 Eξ ? 16 ?

16

17

18

19

20

15 45

12 45

13 45

4 45

1 45

15 12 13 4 1 86 ? 17 ? ? 18 ? ? 19 ? ? 20 ? ? 45 45 45 45 45 5
86 ??????13 分 5

所以 ? 的数学期望为

17.证明:(I) 因为 ?ABC 是正三角形, M 是 AC 中点, 所以 BM ? AC ,即 BD ? AC ??????1 分 又因为 PA ? 平面ABCD , BD ? 平面 ABCD , PA ? BD ??????2 分 又 PA ? AC ? A ,所以 BD ? 平面 PAC ??????3 分 又 PC ? 平面 PAC ,所以 BD ? PC ??????4 分(Ⅱ)在正三角形 ABC 中, BM ? 2 3 ??????5 分 在 ?ACD 中,因为 M 为 AC 中点, DM ? AC ,所以 AD ? CD

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?CDA ? 120? ,所以 DM ?

2 3 ,所以 BM : MD ? 3:1 ??????6 分 3

在等腰直角三角形 PAB 中, PA ? AB ? 4 , PB ? 4 2 , 所以 BN : NP ? 3:1 , BN : NP ? BM : MD ,所以 MN / / PD ??????8 分 又 MN ? 平面 PDC , PD ? 平面 PDC ,所以 MN / / 平面 PDC ??????9 分 (Ⅲ)因为 ?BAD ? ?BAC ? ?CAD ? 90? , 所以 AB ? AD ,分别以 AB, AD, AP 为 x 轴, 空间直角坐标系,
z

y 轴, z 轴建

P

立如图的
N

4 3 所以 B(4,0,0), C (2, 2 3,0), D(0, ,0), P(0,0, 4) 3
由(Ⅱ)可知,
x

A M

D C

y

B

??? ? 4 3 DB ? (4, ? ,0) 为平面 PAC 的法向量??????10 分 3

??? ? ??? ? PC ? (2, 2 3, ?4) , PB ? (4,0, ?4)
设平面 PBC 的一个法向量为 n ? ( x, y , z ) ,

?

? ? ??? ? ? ?2 x ? 2 3 y ? 4 z ? 0 ?n ? PC ? 0 则 ? ? ??? ,即 ? , ? ? ?4 x ? 4 z ? 0 ? ?n ? PB ? 0 ? 令 z ? 3, 则平面 PBC 的一个法向量为 n ? (3, 3,3) ??????12 分 ? ? ??? n ? DB 7 ? ? 设二面角 A ? PC ? B 的大小为 ? , 则 cos ? ? ? ??? 7 n ? DB
所以二面角 A ? PC ? B 余弦值为

7 ??????14 分 7

2 18. 解: (I)因为 f ( x ) ? ln x ? ax ? bx, 所以 f ?( x ) ?

1 ? 2ax ? b ??????2 分 x

因为函数 f ( x ) ? ln x ? ax ? bx 在 x ? 1 处取得极值
2

f ?(1) ? 1 ? 2a ? b ? 0 ??????3 分
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当 a ? 1 时, b ? ?3 , f ?( x ) ?

2 x 2 ? 3x ? 1 , x

f '( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表:
x

1 (0, ) 2
?

1 2
0 极大值

1 ( ,1) 2
?

1

( 1, +?)

f '( x)

0 极小值

?

f ( x)

?

?

?

??????5 分 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ) , ( 1, +?)

1 2

单调递减区间为 ( ,1) ??????6 分

1 2

(II)因为 f ?( x ) ?

2ax 2 ? 2( a ? 1) x ? 1 (2 ax ?1)( x ?1) ? x x

令 f ?( x) ? 0 , x1 ? 1, x2 ?

1 ??????7 分 2a
1 ? x1 ? 1 2a

因为 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,所以 x2 ? 当

1 ? 0 时, f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1,e] 上单调递减 2a

所以 f ( x ) 在区间 ? 0, e ? 上的最大值为 f (1) ,令 f (1) ? 1 ,解得 a ? ?2 ??????9 分 当 a ? 0 , x2 ?

1 ?0 2a



1 1 1 ? 1 时, f ( x ) 在 (0, ) 上单调递增, ( ,1) 上单调递减, (1,e) 上单调递增 2a 2a 2a 1 或 x ? e 处取得 2a

所以最大值 1 可能在 x ?

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而 f(

1 1 1 1 1 1 ) ? ln ? a( )2 ? (2a ? 1) ? ln ? ?1 ? 0 2a 2a 2a 2a 2a 4a 1 ??????11 分 e?2

所以 f (e) ? ln e+ae 2 ? (2a ? 1)e ? 1 ,解得 a ?

当1 ?

1 1 1 ? e 时, f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递增, (1, ) 上单调递减, ( ,e) 上单调递增 2a 2a 2a

所以最大值 1 可能在 x ? 1 或 x ? e 处取得 而 f (1) ? ln1 ? a ? (2a ? 1) ? 0 所以 f (e) ? ln e+ae 2 ? (2a ? 1)e ? 1 , 解得 a ?

1 1 ? e 矛盾??????12 分 ,与 1 ? x2 ? e?2 2a

当 x2 ?

1 ? e 时, f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递增,在 (1,e) 单调递减, 2a

所以最大值 1 可能在 x ? 1 处取得,而 f (1) ? ln1 ? a ? (2a ? 1) ? 0 ,矛盾 综上所述, a ?

1 或 a ? ?2 . e?2

??????13 分

19.(本小题满分 14 分) 解: (I)设椭圆的焦距为 2c , 因为 a ?

2,

c 2 ,所以 c ? 1 ,所以 b ? 1 . ? a 2

所以椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 ??????4 分 2

(II)设 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 由直线 l 与椭圆 C 交于两点 A , B ,则 ?

? y ? kx
2 2 ?x ? 2 y ? 2 ? 0

2 2 所以 (1 ? 2k ) x ? 2 ? 0 ,则 x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? ?

2 ??????6 分 1 ? 2k 2
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所以 AB ?

8 8(1 ? k 2 ) ??????7 分 (1 ? k ) ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2

点 M ( 2 ,0)到直线 l 的距离 d ?

2k 1? k2

则 GH ? 2 r 2 ?

2k 2 ??????9 分 1? k2

显然,若点 H 也在线段 AB 上,则由对称性可知,直线 y ? kx 就是 y 轴,矛盾, 所以要使 AG ? BH ,只要 AB ? GH
H B G A

8(1 ? k 2 ) 2k 2 2 所以 ? 4( r ? ) 1 ? 2k 2 1? k2 r2 ?

2k 2 2(1 ? k 2 ) 2(3k 4 ? 3k 2 ? 1) k4 ? ? ? 2(1 ? ) ??????11 分 1 ? k 2 1 ? 2k 2 2k 4 ? 3k 2 ? 1 2k 4 ? 3k 2 ? 1
2 ??????12 分

当 k ? 0 时, r ?

1 1 ) ? 2(1 ? ) ? 3 1 3 当 k ? 0 时, 2 ? 2 ?2 4 k k 1 r 2 ? 2(1 ? )?2 1 3 , 又显然 所以 2 ? r ? 3 ? 2 ?2 4 k k r 2 ? 2(1 ?
综上, 2 ? r ?

3 ??????14 分

20.解: (Ⅰ)因为 ?x + ?y =3( ?x, ?y 为非零整数) 故 ?x ? 1, ?y ? 2 或 ?x ? 2, ?x ? 1 ,所以点 P0 的相关点有 8 个??????2 分
2 2 又因为 ( ?x ) ? ( ?y ) ? 5 ,即 ( x1 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 ) ? 5

2

2

所以这些可能值对应的点在以 P0 为圆心, 5 为半径的圆上??????4 分 (Ⅱ)依题意 Pn (xn ,yn ) 与 P0 (x0 ,y0 ) 重合 则 xn ? ( xn ? xn ?1 ) ? ( xn-1 ? xn ?2 ) ? ... ? ( x2 ? x1 ) ? ( x1 ? x0 ) ? x0 ? x0 ,

yn ? ( yn ? yn ?1 ) ? ( yn-1 ? yn ?2 ) ? ... ? ( y2 ? y1 ) ? ( y1 ? y0 ) ? y0 ? y0
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即 (xn ? xn ?1 )+(xn -1 ? xn ?2 )+...+(x2 ? x1 )+(x1 ? x0 )=0 ,

(yn ? yn ?1 )+(yn -1 ? yn ?2 )+...+(y2 ? y1 )+(y1 ? y0 )=0
两式相加得

[(xn ? xn ?1 )+(yn ? yn ?1 )]+[(xn ?1 ? xn ?2 )+(yn -1 ? yn ?2 )]+...+[(x1 ? x0 )+(y1 ? y0 )]=0 (*)
xi ? xi ?1 ? yi ? yi ?1 ? 3(i ? 1, 2,3,..., n ) 因为 xi , yi ? Z,
故 (xi ? xi ?1 )+(yi ? yi ?1 )(i =1,2,3,...,n ) 为奇数, 于是(*)的左边就是 n 个奇数的和,因为奇数个奇数的和还是奇数, 所以 n 一定为偶数??????8 分 (Ⅲ)令 ?xi ? xi ? xi ?1 , ?yi ? yi ? yi ?1 , (i ? 1,2,3,..., n) , 依题意 ( yn ? yn ?1 ) ? ( yn ?1 ? yn ?2 ) ? ... ? ( y1 ? y0 ) ? 100 , 因为 T ?

?x
i ?0

n

i

? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn

? 1 ? (1 ? ?x1 ) ? (1 ? ?x1 ? ?x2 ) ? ? ? (1 ? ?x1 ? ?x2 ? ? ? ?xn ) ? n ? 1 ? n?x1 ? (n ? 1)?x2 ? ? ? ?xn ??????10 分
?yi 为非零整数, 因为有 ?xi + ?yi ? 3 ,且 ?xi ,
所以当 ?xi ? 2 的个数越多,则 T 的值越大, 而且在 ?x1 , ?x2 , ?x3 ,.., ?xn 这个序列中,数字 2 的位置越靠前,则相应的 T 的值越大 而当 ?yi 取值为 1 或 ?1 的次数最多时, ?xi 取 2 的次数才能最多, T 的值才能最大. 当 n ? 100 时,令所有的 ?yi 都为 1, ?xi 都取 2, 则 T ? 101 ? 2(1 ? 2 ? ? ? 100) ? 10201. 当 n ? 100 时, 若 n ? 2k (k ? 50, k ? N ) ,
*

此时, ?yi 可取 k ? 50 个 1, k ? 50 个 ?1 ,此时 ?xi 可都取 2, S ( n) 达到最大
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此时 T = n ? 1 ? 2(n ? (n ? 1) ? ? ? 1) ? n ? 2n ? 1 .
2

若 n ? 2k ? 1(k ? 50, k ? N ) ,令 ?yn ? 2 ,其余的 ?yi 中有 k ? 49 个 ?1 , k ? 49 个 1.
*

相应的,对于 ?xi ,有 ?xn ? 1 ,其余的都为 2, 则 T ? n ? 1 ? 2(n ? (n ? 1) ? ? ? 1) ? 1 ? n ? 2n
2

当 50 ? n ? 100 时,令 ?yi ? 1, i ? 2n ? 100, ?yi ? 2, 2n ? 100 ? i ? n, 则相应的取 ?xi ? 2, i ? 2n ? 100, ?yi ? 1, 2n ? 100 ? i ? n, 则 T = n ? 1+ 2 (n ? (n ? 1) ? ?(101 ? n)) ?((100 ? n) ? (99 ? n) ? ?1)

?

n 2 ? 205n ? 10098 2

? n 2 ? 205n ? 10098 , 50 ? n ? 100, ? 2 ? ? 综上, T ? ?(n ? 1) 2 , ??????13 分 n ? 100且为偶数, ?n 2 +2n, n ? 100且为奇数. ? ? ?

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