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潍坊一中2017届高三12月阶段性检测试题数学文


高三 12 月份阶段性检测文科数学试题
一、选择题 1. 已知集合 A ? {x | 2 x 2 ? 5 x ? 3 ≤ 0} , B ? {x ? Z | x ≤ 2} ,则 A ? B 中的子集个数为( A.3
1

)

B.6

C.8

D.9

5

6 2. 设 a ? 2 , b ? ( 7 ) , c ? ln ? , 则(

6

1

3

) C. a ? b ? c D. b ? a ? c

A. c ? a ? b

B. c ? b ? a

3.已知圆 M: x2 + y 2 - 2ay = 0(a > 0) 截直线 x + y = 0 所得线段的长度是 2 2 ,则圆 M 与圆 N:
2 (x-1) + ( y - 1)2 = 1 的位置关系是

(A)内切(B)相交(C)外切(D)相离 4. 函数 y ?

x
3

x ?1
2

的图象大致是

A.

B.

C.

D.

5. 《九章算术》是我国古代的数学巨著,其卷第五“商功”有如下的问题:“今有刍甍,下广 三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈。问积几何?”意思为: “今有底面为矩形的屋脊形状 的多面体(如下左图)” , 下 底 面 宽 AD=3 丈 , 长 AB=4 丈 , 上 棱 EF=2 丈 ,

EF ? 平面ABCD . EF 与平面 ABCD 的距离为 1 丈,问它的体积是
(A)4 立方丈 (B)5 立方丈 (C)6 立方丈

( (D)8 立方丈

)

?x ? y ? 3 ? 2 2 6. 若实数 x, y 满足 ? x ? y ? 3 ,则 ( x ? 1) ? y 的最小值为 ?x ? 2 y ? 6 ?
A. 2 2 B.

10

C. 8

D. 10

7. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 A. 3? ? 4 B. 4? ? 2 C.

9? ?4 2

D.

11? ?4 2

8. 要得到函数 y ? cos(2 x ? 个单位

?
3

) 的图象, 只需将函数 y ? sin(

?
2

? 2 x) 的图象向 (

) 平移 (



? ? D.右, 6 6 1 ? 3 ? ( ) x ( x ? 0) ? ? 4 9. 已知直线 y ? kx(k ? R) 与函数 f ( x ) ? ? 的图象恰有三个不同的公共点,则 1 ? x 2 ? 2 ( x ? 0) ? ?2
A.左, B.右, C.左, 实数 k 的取值范围是 A. ( , ?? )

? 3

? 3

3 2

B. (??, ?2) ? (2, ??)

C. (??, ?2)

D. (2, ??)

10. 已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? ln x ( a ? 0, b ? R )的一个极值点,则 ln a 与 b ? 1 的大 小关系是 A. ln a ? b ? 1 B. ln a ? b ? 1 C. ln a ? b ? 1 D. 以上都不对 二、填空题 11. 已知向量 a , b 的夹角为

?

?

? ? ? ? ? ? ,且 a ? (a ? b ) ? 1 , | a |? 2 ,则 | b |? 3
.

.

12.抛物线 4 y 2 ? x 的准线方程为

3 13.已知等比数列{an}的前 6 项和 S6=21,且 4a1、2a2、a2 成等差数列, 则 an =______ x2 y2 14. 已知 F1,F2 分别是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点 P 在双曲线上且不与顶 点重合,过 F2 作∠F1PF2 的角平分线的垂线,垂足为 A.若|OA|=b,则 该双曲线的离心率为 .

? 3 ? 15. 定义在 R 上的函数 f (x ) 的图象关于点 ?- ,0? 成中心对称,且对任意的实数 x 都有 ? 4 ?

f(x ) ? ?f(x ? ),f(-1)=1,f(0)=-2,则 f(1)+f(2)+?+f(2 017)=

3 2



三、解答题山东中学联盟提供 16.已知函数 f ? x ? ? 3 sin x cos x ? sin x ?
2

1 ? x ? R? . 2

(1)当 x ? ? ?

? ? ?? 时,求函数 f ? x ? 的最值; , ? 4 6? ?

(2)设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 c ? 3, f ? C 与向量 n ? ? 2, b ? 共线,求 a , b 的值.

? ?2

, 若向量 m ? ?1, a ?

17.设 p :实数满足 x2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 ,其中 a ? 0 ; q :实数满足 (1)若 a ? 1 ,且 p ? q 为真,求实数的取值范围; (2)若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数的取值范围.

x?3 ? 0. x?2

18.如图, P 是菱形 ABCD 所在平面外一点,?BAD ? 60? , ?PCD 是等边三角形, AB ? 2 , ,平面 APG 与 BD 交于点 PA ? 2 2 , M 是 PC 的中点,点 G 为线段 DM 上一点(端点除外)

H .
(Ⅰ)求证: PA / / GH ; (Ⅱ)求证:平面 PAC ? 平面 BDM ;
D A

P

M G H O B C

19. 已知两数列 {an } , {bn } 满足 bn ? 1 ? 3n an ( n ? N ), 3b1 ? 10a1 ,其中 {an } 是公差大于
*

零的等差数列,且 a2 , a7 , b2 ? 1 成等比数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .

20.已知椭圆 E 的中心在原点,对称轴为坐标轴,且过点

?

? 6? 2, 1 ,? 1 , ? 2 ? ?。 ? ?

?

(1) (2)

求椭圆 E 的方程 动直线 l 过点 P(0,1) ,且与椭圆 E 交与 A,B 两点,B 关于 y 轴的对称点为
'

B'

①求证:直线 B A 过定点;②对①中的定点 Q,记 ?QAB 的面积为 S ,求 S 的最大值。

21. 已知函数 h ? x ? ? ax3 ?1? a ? R? , g ? x ? ? ln x, f ? x ? ? h ? x ? ? 3xg ? x ? ( e 为自然对数的底 数). (I)若 f ? x ? 图象过点 ?1, ?1?,求f ? x ? 的单调区间; (II)若 f ? x ? 在区间 ? , e ? 上有且只有一个极值点,求实数 a 的取值范围;

?1 ?e

? ?

12 月阶段性检测数学答案
CBBAB 11. CCDDB 12. x ? ?

3

1 16

13. 理 6 ,文

2 n ?1 3

14.

2

15. 1

三、解答题山东中学联盟提供

3 ,最小值 0. (2) a ? 1, b ? 2 2 17.解: (1)当 a ? 1 时,1< x ? 3 ,即 p 为真时实数的取值范围是 1 ? x ? 3 . x?3 q 为真时 ? 0 等价于 ( x ? 2)( x ? 3) ? 0 ,得 2 ? x ? 3 , x?2 若 p ? q 为真,则实数的取值范围是 1 ? x ? 3 .
16.解: (1)最大值
2 2 (2)由 x ? 4ax ? 3a ? 0 ,得 ( x ? 3a)( x ? a) ? 0 ,

p 是 q 的必要不充分条件,等价于 q ? p 且 p ? ? q ,B?A a ? 0 , A ? {x | a ? x ? 3a} , B ? {x | 2 ? x ? 3} ,

?0 ? a ? 2, ? 则 ?3a ? 3, 解得1 ? a ? 2 ? a ? 2与3a ? 3不同时取等号 ?
a ? 0 , A ? {x | 3a ? x ? a} ,空集. 综上,范围为1 ? a ? 2
18.文 (Ⅰ)证明:连接 MO,在菱形 ABCD 中,O 为 AC 中点,且点 M 为 PC 中点, 所以 MO / / PA ,且 MO ?

1 PA ? 2 . 2

又 MO ? 平面BDM , PA ? 平面BDM ,所以 PA / / 平面BDM 由已知,平面 APG 与 BD 交于点 H ,所以 H ? 平面APG, 从而 HG ? 平面APGH , 又 HG ? 平面BDM , 所以 平面BDM ? 平面APGH ? GH , 所以 PA / / GH (Ⅱ)证明:在等边三角形 PCD 中,
P

M G D A H O B C

DC ? AB ? 2 , M 是 PC 的中点,所以 DM ? 3 .
在菱形 ABCD 中, ?BAD ? 60? , AB ? 2 ,所以 DO ? 又 MO ?

1 BD ? 1. 2

2 ,所以 DO2 ? MO2 ? DM 2 ,所以 BD ? MO.

在菱形 ABCD 中, BD ? AC , 又 AC ? MO ? O ,所以 BD ? 平面PAC . 又 BD ? 平面BDM , 所以 平面PAC ? 平面BDM . 理

19.(Ⅰ)设 {an } 的公差为 d ( d ? 0 ),?3b1 ? 10a1 ,?3(1 ? 3a1 ) ? 10a1 ,? a1 ? 3 . 又 a2 ? a1 ? d ? 3 ? d , a7 ? a1 ? 6d ? 3(1 ? 2d ) , b2 ?1 ? 9a2 ? 9(3 ? d ) ,

?d ? 0 , ?1 ? 2d ? 3 ? d ,d ? 2 , 由 a2 ,a7 ,b2 ? 1 成等比数列, 得 9(1 ? 2d )2 ? 9(3 ? d )2 ,

?an ? 3 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ? 1 .

………………...6 分

(Ⅱ)因为 an ? 2n ? 1,所以 bn ? 1 ? (2n ? 1)3n , 于是, Sn ? (1 ? 3? 3) ? (1 ? 5 ? 32 ) ???? ? (1 ? (2n ? 1) ? 3n ) , 令 T ? 3? 3 ? 5 ? 3 ????? ? 2n ? 1? ? 3
1 2 n



则 3T ? 3? 3 ? 5 ? 3 ????? ? 2n ?1? ? 3
2 3

n?1



① ? ②,得

n ?2T ? 3 ? 1 3? ? 2 23 ? ?2 3 ????? 3 ? 2 ? ?3 n ? 2 1 ? ? n?

1

3

? 9 ? 2?

32 ? 3n ?1 ? ? 2n ? 1? 3n ?1 ? ?2n ? 3n ?1 ,? T ? n ? 3n?1 , 1? 3
………………...12 分

故 Sn ? n ? n ? 3n?1 ? n(1 ? 3n?1 ) .

20.解: (1)设椭圆 E 的方程为 Ax2 ? By2 ? 1? A ? 0, B ? 0?,则有 ?

B ?1 ? ? 2A ? 3 A? B ?1 ? 2 ?

1 ? ?A ? 4 x2 y2 ? ?1 所以椭圆 E: ?? 1 4 2 ?B ? 2 ?

?????3 分山东中学联盟提供

(2)①(分析:当 l 的斜率的不存在时,l 为 y 轴,可猜出定点在 y 轴上) 法一:设 l : y ? kx ? 1 , A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ?

? x2 y2 ? ? ? 1 ,消 y 得: 联立 ? 4 2 ? ? y ? kx ? 1
?????4 分

?1? 2k ?x
2

2

? 4kx ? 2 ? 0 ? x1 ? x2 ?

? 4k 2 ?2 , x1 x2 ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

? B' ?? x2 , y2 ? ? 直线 B ' A 的斜率为 k ' ?

y1 ? y2 k ?x1 ? x2 ? ?x1 ? x2 ? 0? ? x1 ? x2 x1 ? x2
?????5 分

? 直线 B ' A 的方程为 y ? y1 ?

k ?x1 ? x2 ? ?x ? x1 ? x1 ? x2

将 y1 ? kx1 ? 1 代入,整理得: y ?

k ?x1 ? x2 ? k ?x1 ? x2 ? ? 2kx1 x2 ? ,即 y ? x?2 x?? ? 1? ? ? x1 ? x2 x1 ? x2 ? x1 ? x2 ?
?????8 分
'

, 当 k 不存在时也适合。 ? 直线 B ' A 过定点(0,2)

法二:令 AB 的斜率为 1,求出 Q(0,2) ,再证明 A,B , Q 三点共线。 (可以用向量法证明) ② S △QAB ?

1 1 1 32k 2 ? 8 8k 2 ? 2 PQ x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? ?S ? 2 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

???10 分



8k 2 ? 2 ? t t ? 2 ,? k 2 ?
t 1? t ?2 4
2

?

?

t2 ? 2 代入上式得: 8

S?

?

4t 4 ? ,? t ? 2 时, smax ? 2 ?????13 分 t ?2 t? 2 t
2

21 解: (Ⅰ)当 a ? 0 时, f ( x) ? 3x ln x ? 1 的定义域为 (0, ??) ,

f ?( x) ? 3ln x ? 3 ? 3(ln x ? 1) ,
故 f ( x) ? 3x ln x ? 1 在 (0, ) 上是减函数,在 ( , ??) 上是增函数.……………4 分 (Ⅱ)函数 f ( x) ? ax3 ? 3x ln x ? 1 的定义域为 (0, ??) ,

1 e

1 e

f ?( x) ? 3(ax2 ? ln x ? 1) ,令 r( x) ? ax2 ? ln x ? 1 ,则 r ?( x ) ? 2ax ?

1 2ax 2 ? 1 ? , x x

当 a ? 0 时, r?( x ) ? 0 在 (0, ??) 恒成立, f ?( x) ? 3(ax 2 ? ln x ? 1) 在 (0, ??) 上是增函数,

1 1 1 1 ? ln ? 1) ? 3a 2 ? 0 ,故当 x ? ( ,e) 时, f ?( x) ? 0 恒成立, 2 e e e e 1 1 故 f ( x ) 在区间( ,e)上单调递增,故 f ( x ) 在区间 ( ,e) 上没有极值点; e e 1 当 a ? 0 时,由(Ⅰ)知, f ( x ) 在区间 ( ,e) 上没有极值点; e
而 f ?( ) ? 3( a 当 a ? 0 时,令

1 e

2ax 2 ? 1 1 ? 0 解得, x ? ? ; x 2a

故 r( x) ? ax 2 ? ln x ? 1 在 (0, ? ①当 r (e) r ( ) ? 0 ,即 ? 号, ②令 r ( ) ? 0 得

1 1 ) 上是增函数,在 ( ? , ??) 上是减函数, 2a 2a

1 e

2 1 ? a ? 0 时, r ( x ) 在 ( ,e) 上有且只有一个零点,且在该零点两侧异 2 e e

1 e

a ? 0 ,不成立; e2 2 1 e 1 e 1 1 ,所以 ? ? ( ,e) ,而 r ( ? ) ? r ( ) ? ? ln ? 0 , 2 e e 2 2 2 2a 2a 1 e

③令 r (e) ? 0 得 a ? ?

又 r ( ) ? 0 ,所以 r ( x ) 在 ( ,e) 上有且只有一个零点,且在该零点两侧异号, 综上所述,实数 a 的取值范围是 ?

1 e

? 2 ? ,0 ? . 2 ? ? e ?

……………………14 分


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