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浙江省嘉兴市2013届高三第二次模拟考试理科数学试卷


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2013 年嘉兴市高三教学测试(二) 高三数学试题卷(理科)
注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答.答题前,请在答题卷的规定 处填写学校、姓名、考号、科目等指定内容,并正确涂黑相关标记; 2.本试题卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 6 页,全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.

参考公式:

如果事件 A,B 互斥,那么
P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) .

如果事件 A,B 相互独立,那么
P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) .

如果事件 A 在一次试验中发生的概 率是 p ,那么 n 次独立重复试验中 事件 A 恰好发生 k 次的概率
k Pn (k ) ? C n p k (1 ? p) n? k (k ? 0,1,2, ?, n) .

球的表面积公式
S ? 4?R 2 ,

其中 R 表示球的半径. 球的体积公式

4 V ? ?R 3 , 3
其中 R 表示球的半径.

棱柱的体积公式
V ? Sh ,

其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高. 棱锥的体积公式

V?

1 Sh , 3

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其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高. 棱台的体积公式

V?

1 h( S1 ? S1 S 2 ? S 2 ) , 3

其中 S1 , S 2 分别表示棱台的上、下底面积, h 表示棱台的高.

第 I 卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A ? {1,2,3} , B ? {1,3,9} , x ? A ,且 x ? B ,则 x ? A.1 2.在复平面内,复数 A.第一象限 C.第三象限 3.若 0 ? a ? 1 , loga (1 ? x ) ? loga x ,则 A. 0 ? x ? 1 B. x ? B.2 C.3 D.9

1 ? 3i 对应的点位于 1? i

B.第二象限 D.第四象限

1 2

C. 0 ? x ?

1 2

D.

1 ? x?1 2

4.函数 y ? cos 2 x ? sin2 x , x ? R 的值域是 A. [0,1]

1 B. [ ,1] 2

C. [? 1,2]

D. [0,2]

5.在 (1 ? 2 x )(1 ? x )5 的展开式中, x 3 的系数是 A.20 B. ? 20 C.10 D. ? 10

6.某几何体的三视图如图所示,其中 三角形的三边长与圆的直径均为 2, 则该几何体的体积为 A. C.
4? 3 π 3 32 ? 3 π 3

B. D.

32 ? 8 3 π 3 4? 3 3 π 3

正视图

侧视图

俯视图

(第 6 题)

7.在平面直角坐标系中,不等式 | y ? 2 |? x ? 2 表示的平面区域的面积是 A. 4 2 B.4 C. 2 2 D.2

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8.若 a, b 表示直线, ? 表示平面,且 b ? ? ,则“ a // b ”是“ a // ? ”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

9. m 是平面 ? 内的一条定直线,P 是平面 ? 外的一个定点, 设 动直线 n 经过点 P 且与 m 成
30? 角,则直线 n 与平面 ? 的交点 Q 的轨迹是

A.圆

B.椭圆

C.双曲线

D.抛物线

10.设 {a n } 是有穷数列,且项数 n ? 2 .定义一个变换 ? : 将数列 a1 , a2 , ?, an 变成 a3 , a4 , ?, an ? 1 ,其中 an ? 1 ? a1 ? a2 . 从数列 1, 2, 3, ?, 22013 开始,反复实施变换 ? ,直到只剩下一项而不能变换为止.则变 . 换所产生的所有项的乘积为 ........... A. (22013 ! )2013 B. (22013 ! )2012 C. (2013! )2012 D. (22013 ! )!

非选择题部分(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.设数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ? 1 ? 3an ,则 a5 ? 12.若某程序框图如图所示,则运行结果为 ▲ ▲ . .
开始

i ?1
s?0
s? s? 1 i


13.将函数 y ? sinx 的图象先向左平移 1 个单位, 再横坐标伸长为原来的 2 倍,则所得图象对应 的函数解析式为 ▲ .
i ? i?1

B

s?

14.从点 A 到点 B 的路径如图所示,则 不同的最短路径共有 ▲ 条.

9 ? 4 否

A
(第 14 题)

输出 i
结束
(第 12 题)

15.设△ ABC 的三边长分别为 a, b, c ,重心为 G , 则 | GA |2 ? | GB |2 ? | GC |2 ? ▲ .

16.设 a , b, c ? R ,有下列命题: ①若 a ? 0 ,则 f ( x ) ? ax ? b 在 R 上是单调函数;

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②若 f ( x ) ? ax ? b 在 R 上是单调函数,则 a ? 0 ; ③若 b2 ? 4ac ? 0 ,则 a 3 ? ab ? c ? 0 ; ④若 a 3 ? ab ? c ? 0 ,则 b2 ? 4ac ? 0 . 其中,真命题的序号是 ▲ .

17.已知点 A(?3,0) 和圆 O : x 2 ? y 2 ? 9 , AB 是圆 O 的直径, M 和 N 是 AB 的三等分点, 是圆 O 上的动点,PD ? AB于 D ,PE ? ? ED (? ? 0) , 直线 PA 与 BE P (异于 A, B ) 交于 C ,则当 ? ? ▲ 时, | CM | ? | CN | 为定值.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本题满分 14 分) 在△ ABC 中,角 A, B , C 所对的边分别为 a , b , c ,满足 (Ⅰ)求角 C ; (Ⅱ)求

a ? c sin A ? sin B . ? b sin A ? sinC

a?b 的取值范围. c

19.(本题满分 14 分) 一个袋中装有大小相同的黑球和白球共 9 个,从中任取 3 个球,记随机变量 X 为取出 3 球中白球的个数,已知 P ( X ? 3) ? (Ⅰ)求袋中白球的个数; (Ⅱ)求随机变量 X 的分布列及其数学期望.

5 . 21

20.(本题满分 15 分) 如图,在△ ABC 中,? C ? 90? , AC ? BC ? a ,点 P 在 AB 上,PE // BC 交 AC 于 E ,
PF // AC 交 BC 于 F . PE 将△ APE 翻折成△ A' PE , 沿 使平面 A' PE ? 平面 ABC ; PF 沿

将△ BPF 翻折成△ B' PF ,使平面 B' PF ? 平面 ABC . (Ⅰ)求证: B'C // 平面 A' PE .

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(Ⅱ)设

AP ? ? ,当 ? 为何值时,二面角 C ? A' B'? P 的大小为 60? ? PB A' E C A

B' F B P F B
(第 20 题)

E
C

A

P

21.(本题满分 15 分) 如图, 已知抛物线 C1 : x 2 ? 2 py 的焦点在抛物线 C 2 : y ? 上的动点. (Ⅰ)求抛物线 C1 的方程及其准线方程; (Ⅱ)过点 P 作抛物线 C 2 的两条切线, M 、 N 分别为两个切点,设点 P 到直线 MN 的距离为 d ,求 d 的最小值.
C1 C2

1 2 点 x ? 1 上, P 是抛物线 C1 2

y
M

N
O

P

x

(第 21 题)

22.(本题满分 14 分) 已知 a ? R ,函数 f ( x ) ? ln x ? a( x ? 1) . (Ⅰ)若 a ?

1 ,求函数 y ?| f ( x ) | 的极值点; e ?1
ax 2 e
2

(Ⅱ)若不等式 f ( x ) ? ? ( e 为自然对数的底数)

?

(1 ? 2a ? ea ) x 恒成立,求 a 的取值范围. e

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2013 年高三教学测试(一)
理科数学 参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分) 1.B; 6.A; 2.B; 7.B; 3.C; 8.D; 4.A; 9.C; 5.D; 10.A.

第 9 题提示:动直线 n 的轨迹是以点 P 为顶点、以平行于 m 的直线为轴的两个圆锥面, 而点 Q 的轨迹就是这两个圆锥面与平面 ? 的交线. 第 10 题提示:数列 1, 2, 3, ?, 22013 共有 2 2013 项,它们的乘积为 2 2013 ! .经过 2 2012 次变 换,产生了有 2 2012 项的一个新数列,它们的乘积也为 2 2013 ! .对新数列进行同样的变换,直 至最后只剩下一个数, 它也是 2 2013 ! , 变换终止. 在变换过程中产生的所有的项, 可分为 2013

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组,每组的项数依次为 22012 ,22011 ,?,21 ,20 ,乘积均为 2 2013 ! ,故答案为 (22013 ! )2013 . 二、填空题(本大题共 7 小题,每题 4 分,共 28 分) 11.81; 12.5; 13. y ? sin ( x ? 1) ;

1 2

14.22;

15.

a 2 ? b2 ? c2 ; 3

16.①③;

17.

1 . 8

第 17 题提示:设 P ( x 0 , y 0 ) ,则 E ( x 0 ,
1 y0 1? ? BE : y ? ( x ? 3) ?② x0 ? 3
2 2 将 y0 ? 9 ? x0 代入,得

y0 1 ( x ? 3) ?① y0 ) , PA : y ? x0 ? 3 1? ?
2 y0

由①②得 y 2 ?

(?

2 ? 1)( x 0

? 9)

( x 2 ? 9) ,

x2 ? 9

y2 9 1 ? 1 .由 9 ? ? 1 ,得到 ? ? . 9 1? ? 8 1? ?

三、解答题(本大题共 5 小题,第 18、19、22 题各 14 分,20、21 题各 15 分,共 72 分) 18.(本题满分 14 分) 在△ ABC 中,角 A, B , C 所对的边分别为 a , b , c ,满足 (Ⅰ)求角 C ;

a ? c sin A ? sin B . ? b sin A ? sinC

a?b 的取值范围. c a ? c sin A ? sin B a ? b 2 2 2 解:(Ⅰ) ,化简得 a ? b ? ab ? c , ? ? b sin A ? sinC a ? c
(Ⅱ)求
a 2 ? b2 ? c 2 1 ? ? ,C ? . 2ab 2 3 2 2? a ? b sin A ? sin B ? ? [sin A ? sin( ? A)] ? 2 sin( A ? ) . (Ⅱ) ? 3 6 c sinC 3

?4 分 ?7 分 ?11 分

所以 cos C ?

因为 A ? (0,

? 1 ? ? 5? 2? ) , A ? ? ( , ) ,所以 sin( A ? ) ? ( ,1] . 3 6 6 6 6 2
?14 分

故,

a?b 的取值范围是 (1,2] . c

19.(本题满分 14 分) 一个袋中装有大小相同的黑球和白球共 9 个, 从中任取 3 个球, 记随机变量 X 为取出 3 球中白球的个数,已知 P ( X ? 3) ? (Ⅰ)求袋中白球的个数; (Ⅱ)求随机变量 X 的分布列及其数学期望.

5 . 21

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解:(Ⅰ)设袋中有白球 n 个,则 P ( X ? 3) ?

3 Cn 5 , ? 3 C 9 21

?4 分



n(n ? 1)(n ? 2) 5 ,解得 n ? 6 . ? 9? 8? 7 21

?7 分 ?11 分

(Ⅱ)随机变量 X 的分布列如下:

X P

0

1

2

3

1 84
E( X ) ? 0 ?

3 14

15 28

5 21
?14 分

1 3 15 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ?2. 84 14 28 21

20.(本题满分 15 分) 如图,在△ ABC 中,? C ? 90? , AC ? BC ? a ,点 P 在 AB 上, PE // BC 交 AC 于 E ,
PF // AC 交 BC 于 F . PE 将△ APE 翻折成△ A' PE , 沿 使平面 A' PE ? 平面 ABC ; PF 沿

将△ BPF 翻折成△ B' PF ,使平面 B' PF ? 平面 ABC . (Ⅰ)求证: B'C // 平面 A' PE . (Ⅱ)设

AP ? ? ,当 ? 为何值时,二面角 C ? A' B'? P 的大小为 60? ? PB
C

E

A

A'

B' F B P F B
(第 20 题)

E
C

A

P

解:(Ⅰ)因为 FC // PE , FC ? 平面 A' PE ,所以 FC // 平面 A' PE . 因为平面 A' PE ? 平面 ABC ,且 A' E ? PE ,所以 A' E ? 平面 ABC . 同理, B' F ? 平面 ABC ,所以 B' F // A' E ,从而 B' F // 平面 A' PE . 所以平面 B'CF // 平面 A' PE ,从而 B'C // 平面 A' PE .

?2 分

?4 分 ?6 分

CB CA (Ⅱ) C 为原点, 所在直线为 x 轴, 所在直线为 y 轴, C 且垂直于平面 ABC 以 过

的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系,如图. 则 C (0,0,0) , A' (0,

?7 分

a ?a , ), ? ?1 ? ?1

z

A'

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B'
C

E

A y

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?a a ?a a ,0, ) , P( , ,0) . ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 a ?a CA' ? (0, , ) ? ?1 ? ?1 , ?a a (1 ? ? )a A' B' ? ( ,? , ) ? ?1 ? ?1 ? ?1 ,
B' (

B' P ? (0,

a a ,? ) ? ?1 ? ?1 .

1 平面 CA' B' 的一个法向量 m ? ( , ? ,?1) ,

?

?9 分 ?11 分

平面 PA'B' 的一个法向量 n ? (1,1,1) .
|m?n| | m ||n | | 1 1



?

?

? ? ?1|
2

? cos 60? ?

?2
化简得

?? ?1? 3

1 , 2
7?3 5 . 2

?13 分

1

?

2

? ?2 ?

8

?

? 8? ? 9 ? 0 ,解得 ? ?

?15 分

21.(本题满分 15 分) 如图,已知抛物线 C1 : x 2 ? 2 py 的焦点在抛物线 C 2 : y ? 上的动点. (Ⅰ)求抛物线 C1 的方程及其准线方程; (Ⅱ)过点 P 作抛物线 C 2 的两条切线, M 、 N 分别为两个切点,设点 P 到直线 MN 的距离为 d ,求 d 的最小值.
C1 C2

1 2 x ? 1 上,点 P 是抛物线 C1 2

y
M

N
O

P

x

p 解:(Ⅰ) C 1 的焦点为 F (0, ) , 2
所以

(第 21 题)

?2 分 ?4 分 ?6 分

p ? 0?1, p ? 2 . 2

2 故 C 1 的方程为 x ? 4 y ,其准线方程为 y ? ?1 .

1 2 1 2 (Ⅱ)设 P(2t , t 2 ) , M ( x1 , x1 ? 1) , N ( x2 , x2 ? 1) , 2 2

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1 2 则 PM 的方程: y ? ( x1 ? 1) ? x1 ( x ? x1 ) , 2
所以 t 2 ? 2tx1 ?

1 2 2 x1 ? 1 ,即 x1 ? 4tx1 ? 2t 2 ? 2 ? 0 . 2

同理, PN : y ? x2 x ?

1 2 2 x2 ? 1 , x2 ? 4tx2 ? 2t 2 ? 2 ? 0 . 2

?8 分

1 2 1 2 x1 ? 1 ? ( x2 ? 1) 1 2 2 ( x ? x1 ) , MN 的方程: y ? ( x1 ? 1) ? 2 2 x1 ? x2

1 2 1 即 y ? ( x1 ? 1) ? ( x1 ? x2 )( x ? x1 ) . 2 2

? x 2 ? 4tx1 ? 2t 2 ? 2 ? 0 1 2 ? 由? 1 ,得 x1 ? x2 ? 4t , x1 ? 2tx1 ? 1 ? t 2 . 2 2 2 ? x2 ? 4tx2 ? 2t ? 2 ? 0 ?
所以直线 MN 的方程为 y ? 2tx ? 2 ? t 2 . 于是 d ?

?10 分

?12 分

| 4t 2 ? t 2 ? 2 ? t 2 | 1 ? 4t 2

?2

(1 ? t 2 )2 . 1 ? 4t 2

令 s ? 1 ? 4t 2 ( s ? 1) ,则 d ?

1 9 1 s? ?6 ? 6 ? 6 ? 3 (当 s ? 3 时取等号). 2 s 2

所以, d 的最小值为 3 . 22.(本题满分 14 分) 已知 a ? R ,函数 f ( x ) ? ln x ? a( x ? 1) . (Ⅰ)若 a ?

?15 分

1 ,求函数 y ?| f ( x ) | 的极值点; e ?1
ax 2 e
2

(Ⅱ)若不等式 f ( x ) ? ? ( e 为自然对数的底数) 解:(Ⅰ)若 a ?

?

(1 ? 2a ? ea ) x 恒成立,求 a 的取值范围. e

x ?1 1 1 1 ,则 f ( x ) ? ln x ? , f '( x) ? ? . e ?1 e ?1 x e ?1

当 x ? (0, e ? 1) 时, f ' ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递增; 当 x ? (e ? 1,??) 时, f ' ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递减. 又因为 f (1) ? 0 , f (e ) ? 0 ,所以 当 x ? (0,1) 时, f ( x ) ? 0 ;当 x ? (1, e ? 1) 时, f ( x ) ? 0 ; 当 x ? (e ? 1, e ) 时, f ( x ) ? 0 ;当 x ? (e ,??) 时, f ( x ) ? 0 . 故 y ?| f ( x ) | 的极小值点为 1 和 e ,极大值点为 e ? 1 . ?4 分 ?6 分 ?2 分

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(Ⅱ)不等式 f ( x ) ? ?
2

ax 2
2

e (1 ? 2a ) x ax ? a ? 0 .…(*) 整理为 ln x ? 2 ? e e ax 2 (1 ? 2a ) x ?a, 设 g( x ) ? ln x ? 2 ? e e

?

(1 ? 2a ? ea ) x , e

则 g' ( x) ?

1 2ax 1 ? 2a ( x ? 0) ? ? x e2 e
? ( x ? e )( 2ax ? e ) e2 x

?

2ax 2 ? (1 ? 2a )ex ? e 2 e x
2



?8 分

①当 a ? 0 时,
2ax ? e ? 0 ,又 x ? 0 ,所以,

当 x ? (0, e ) 时, g' ( x ) ? 0 , g( x ) 递增; 当 x ? (e,??) 时, g' ( x ) ? 0 , g( x ) 递减. 从而 g( x ) max ? g(e ) ? 0 . 故, g( x ) ? 0 恒成立. ②当 a ? 0 时, ?11 分

2a 1 ? ( x ? e )( 2 ? ) . ex e2 x e 2a 1 a 2a 1 a e 令 2 ? ? 2 ,解得 x1 ? ,则当 x ? x1 时, 2 ? ? 2 ; a ex e ex e e e 2 e a a ? e ,则当 x ? x 2 时, ( x ? e ) 再令 ( x ? e ) 2 ? 1 ,解得 x 2 ? ? 1. a e e2
g' ( x ) ?

( x ? e )( 2ax ? e )

取 x 0 ? max( x1 , x 2 ) ,则当 x ? x 0 时, g' ( x ) ? 1 . 所以,当 x ? ( x 0 ,??) 时, g( x ) ? g( x 0 ) ? x ? x 0 ,即 g( x ) ? x ? x 0 ? g( x 0 ) . 这与“ g( x ) ? 0 恒成立”矛盾. 综上所述, a ? 0 . ?14 分

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