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高中数学竞赛第六讲


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第六讲 不等式的应用、参数取值范围问题
知识、方法、技能
I.排序不等式(又称排序原理) 设有两个有序数组 a1 ≤ a 2 ≤ L ≤ a n 及 b1 ≤ b2 ≤ L ≤ bn . 则 a1b1 + a 2 b2 + L + a n bn (同序和)

≥ a1b j1 + a 2

b j 2 + L + a n b jn (乱序和) ≥ a1bn + a 2 bn ?1 + L + a n b1 (逆序和)
其 中 j1 , j 2 , L , j n 是 1 , 2 , … , n 的 任 一 排 列 . 当 且 仅 当 a1 = a 2 = L = a n 或

b1 = b2 = L = bn 时等号(对任一排列 j1 , j 2 , L , j n )成立.
证明:不妨设在乱序和 S 中 j n ≠ n 时(若 j n = n ,则考虑 j n ?1 ) ,且在和 S 中含有项

a k bn (k ≠ n), 则 a k bn + a n b jn ≤ a n b jn + a n bn .
事实上,左-右= ( a n ? a k )(bn ? b jn ) ≥ 0,



由此可知,当 j n ≠ n 时,调换 S = a1b j1 + L + a k b jk + L + a n b jn ( j n ≠ n )中 bn 与 j n 位置(其余不动) ,所得新和 S1 ≥ S . 调整好 a n 及 bn 后,接着再仿上调整 a n ?1 与 bn ?1 ,又得

S 2 ≥ S1 . 如此至多经 n ? 1 次调整得顺序和
a1b1 + a 2 b2 + L + a n bn ≥ a1b j1 + a 2 b j 2 + L + a n b jn


这就证得“顺序和不小于乱序和”.显然,当 a1 = a 2 = L = a n 或 b1 = b2 = L = bn 时② 中等号成立.反之,若它们不全相等,则必存在 j n 及 k,使 bn > b jn , a n > a k . 这时①中不等号 成立.因而对这个排列②中不等号成立. 类似地可证“乱序和不小于逆序和”. II.应用排序不等式可证明“平均不等式” :
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设有 n 个正数 a1 , a 2 , L , a n 的算术平均数和几何平均数分别是

An =

a1 + a 2 + L + a n 和G n = n a1 a 2 L a n n

此外,还有调和平均数(在光学及电路分析中要用到

Hn =

n 1 1 1 + +L+ a1 a 2 an



和平方平均(在统计学及误差分析中用到)

Qn =

2 2 a12 + a 2 + L + a n n

* 这四个平均值有以下关系 H n ≤ Gn ≤ An ≤ Qn . ○

其中等号成立的充分必要条件都是 a1 = a 2 = L = a n . 下面首先证明算术平均数一几何平均数不等式: An ≥ G n . 记 x1 =

a a La a1 aa , x2 = 1 2 ,L, xn = 1 2 n n = 1 ; G G G

y1 =

1 1 1 , y 2 = ,L , y n = . x1 x2 xn

由于数组 x1 , x 2 , L , x n 和数组 y1 , y 2 , L , y n 中对应的数互为倒数,由排序不等式得

x1 y1 + x 2 y1 + L + x n y n (逆序和) ≤ x1 y n + x 2 y1 ,+ L + x n y n?1 ,
即 n≤

a a1 a 2 + +L+ n . Gn Gn Gn

从而 An ≥ G n . 等号当且仅当 x1 = x 2 = L = x n 或 y1 = y 2 = L = y n 时成立,而这两者都 可得到 a1 = a 2 = L = a n .

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下面证明 G n ≥ H n . 对 n 个正数

1 1 1 , , L , 应用 G n ≤ An , 得 a1 a 2 an

1 1 1 + +L+ a1 a 2 an 1 1 1 ≥n ? ?L ? . n a1 a 2 an
即 G n ≥ H n . (符号成立的条件是显然的).最后证明 An ≤ Qn , 它等价于
2 2 n(a12 + a 2 + L + a n ) ? (a1 + a 2 + L + a n ) 2 ≥ 0.

而上式左边= ( a1 ? a 2 ) 2 + ( a1 ? a 2 ) 2 + L + ( a1 ? a n ) 2 + ( a 2 ? a 3 ) 2 + L + ( a 2 ? a n ) 2 + L

+ (a n ?1 ? a n ) 2 ≥ 0 ,于是不等式及等号成立的条件都是显然的了.从上述证明可见, An ≤ Qn
对一切 a1 , a 2 , L , a n ∈ R 成立. III.应用算术平均数——几何平均数不等式,可用来证明下述重要不等式. 柯西(Cavchy)不等式:设 a1 、 a 2 、 a3 ,…, a n 是任意实数,则
2 2 2 2 (a1b1 + a 2 b2 + L + a n bn ) 2 ≤ (a12 + a 2 + L + a n )(b12 + b2 + L + bn ).

等号当且仅当 bi = kai ( k 为常数, i = 1,2, L , n) 时成立. 证明:不妨设 a i (i = 1,2, L , n) 不全为 0,bi 也不全为 0(因为 a i 或 bi 全为 0 时,不等式 显然成立). 记 A= a1 + a2 + L + an ,B= b1 + b2 + L + bn .
2 2 2 2 2 2

且令 xi =
2

ai b , y i = i (i = 1,2, L , n), A B
2 2 2 2 2

则 x1 + x 2 + L + x n = 1, y1 + y 2 + L + y n = 1. 于是原不等式成为

x1 y1 + x 2 y 2 + L + x n y n ≤ 1.
即 2( x1 y1 + x 2 y 2 + L + x n y n ) ≤ x1 + x 2 + L + x n + y1 + y 2 + L + y n .它等价于
2 2 2 2 2 2

( x1 ? y1 ) 2 + ( x 2 ? y 2 ) 2 + L + ( x n ? y n ) 2 ≥ 0.
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其中等号成立的充要条件是 xi = y i (i = 1,2, L , n). 从而原不等式成立,且等号成立的充 要条件是 bi = kai ( k =

A ). B

IV.利用排序不等式还可证明下述重要不等式. 切比雪夫不等式:若 a1 ≤ a 2 ≤ L ≤ a n , b1 ≤ b2 ≤ L ≤ bn , 则

a1b1 + a 2 b2 + L + a n bn a1 + a 2 + L + a n b1 + b2 + L + bn ≥ ? . n n n

证明:由题设和排序不等式,有 a1b1 + a 2 b2 + L + a n bn = a1b1 + a 2 b2 + L + a n bn ,

a1b1 + a 2 b2 + L + a n bn ≥ a1b2 + a 2 b3 + L + a n b1 ,
……

a1b1 + a 2 b2 + L + a n bn ≥ a1bn + a 2 b1 + L + a n bn ?1 .
将上述 n 个不等式叠加后,两边同除以 n2,即得欲证的不等式.

赛题精讲
I.排序不等式的应用 应用排序不等式可以简捷地证明一类不等式,请看下述例题. 例 1:对 a, b, c ∈ R + ,比较 a + b + c 与a b + b c + c a 的大小.
3 3 3 2 2 2

【思路分析】要应用“排序不等式” ,必须取两组便于排序的数,这要从两式的结构上 去分析. 【略解】 取两组数

a, b, c; a 2 , b 2 , c 2 .
不管 a, b, c 的大小顺序如何, a + b + c 都是同序和a b + b c + c a都是乱序和 ,
3 3 3 2 2 2



a 3 + b3 + c 3 > a 2b + b 2c + c 2 a .
【评述】 找出适当的两组数是解此类题目的关键. 例 2: a, b, c ∈ R + ,求证 a + b + c ≤

a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 a2 b2 c2 + + ≤ + + . 2c 2a 2b bc ca ab

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【思路分析】 应先将 a 、 b 、 c 三个不失一般性地规定为 a ≥ b ≥ c > 0. 【略解】由于不等式关于 a 、 b 、 c 对称,可设 a ≥ b ≥ c > 0. 于是 a ≥ b ≥ c ,
2 2 2

1 c
2



1 b



1 a

.

1 1 1 1 1 1 + b 2 ? + c 2 ? (逆序和) ≤ a 2 ? + b 2 ? + c 2 ? (乱序和). a b c b c a 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 及a ? +b ? + c ? ≤ a ? +b ? + c ? . a b c c a b
由排序不等式,得 a ? 以上两个同向不等式相加再除以 2,即得原式中第一个不等式.再考虑数组

a 3 ≥ b 3 ≥ c 3 > 0, 及

1 1 1 ≥ ≥ ,仿上可证第二个不等式,请读者自己完成. bc ca ab

【评述】应用排序不等式的技巧在于构造两个数组,而数组的构造应从需要入手来设计. 这一点应从所要证的式子的结构观察分析,再给出适当的数组. 例 3:在△ABC 中,试证:

π
3



aA + bB + cC π < . a+b+c 2

【思路分析】 可构造△ABC 的边和角的序列,应用排序不等式来证明之. 【详解】 不妨设 a ≤ b ≤ c ,于是 A ≤ B ≤ C. 由排序不等式,得

aA + bB + cC ≥ aA + bB + cC , aA + bB + cC ≥ bA + cB + aC , aA + bB + cC ≥ cA + aB + bC.
相加,得 3( aA + bB + cC ) ≥ ( a + b + c )( A + B + C ) = π (a + b + c ) , 得

aA + bB + cC π ≥ a+b+c 3



又由 0 < b + c ? a,0 < a + b ? c,0 < a + c ? b, 有
0 < A(b + c ? a ) + C (a + b ? c) + B(a + c ? b) = a ( B + C ? A) + b( A + C ? B) + c( A + B ? C ) = a (π ? 2 A) + b(π ? 2 B) + c(π ? 3C ) = (a + b + c)π ? 2(aA + bB + cC ).



aA + bB + cC π < . a+b+c 2



由①、②得原不等式成立. 【评述】此题后半部分应用了不等式的性质来证明. 例 4:设 a1 , a 2 , L , a n 是互不相同的自然数,试证 1 + 【思路分析】 应先构造两个由小到大的排序.
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a a 1 1 + L + ≤ a1 + 2 + L + n . 2 2 n 2 n2

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【略解】 a1 , a 2 , L , a n 按由小到大的顺序排成 a j1 < a j2 < L < a jn 其中 j1 , j 2 , K , j n 是 将 1,2,…,n 的一个排列,则 a j1 ≥ 1, a j2 ≥ 2, L a jn ≥ n. 于是由排序不等式,得

a1 +

aj aj a2 a 1 1 + L + n ≥ a j1 + 22 + L + 2n ≥ 1 + + L + . 2 2 2 n 2 n 2 n

例 5:设 b1 , b2 , L , bn 是正数 a1 , a 2 , L , a n 的一个排列,求证

a a1 a 2 + + L + n ≥ n. b1 b2 bn

【思路分析】 应注意到 a i ?

1 = 1(i = 1,2, L , n) ai

【 略 证 】 不 妨 设 a1 ≥ a 2 ≥ L ≥ a n , 因 为 a1 , a 2 , L , a n 都 大 于 0. 所 以 有
1 1 1 , ≤ ≤L≤ a1 a 2 an



1 1 1 1 1 1 , , L , 是 , , L , 的任意一个排列,于是得到 b1 b2 bn a1 a 2 an 1 1 1 1 1 1 + a2 ? + L + an ? ≤ a1 ? + a 2 + L + an . a1 a2 an b1 b2 bn
1 b 1 c 1 ) ≤ 1. a

n = a1 ?

【评述】 此题比较简单,但颇具启发意义,读者应耐心体会. 例 6:设正数 a, b, c 的乘积 abc = 1 ,试证: (a ? 1 + )(b ? 1 + )(c ? 1 + 【略解】设 a =

x y z , b = , c = ,这里 x, y, z 都是正数,则原需证明的不等式化为 y z x

( x + y ? z )( y + z ? x)( z + x ? y ) ≤ xyz , 显然x + y ? z , y + z ? x, z + x ? y 中最多只有一个
非 负 数 . 若 x + y ? z , y + z ? x, z + x ? y 中 恰 有 一 个 非 正 数 , 则 此 时 结 论 显 然 成 立 . 若 x + y ? z , y + z ? x, z + x ? y 均为正数,则 x, y, z 是某三角形的三边长.容易验证

1 ( x + y ? z )( y + z ? x)( z + x ? y ) ≤ [( x 2 ( y + z ? x) + y 2 ( z + x ? y ) + z 2 ( x + y ? z )]. 3
故得 ( x + y ? z )( y + z ? x )( z + x ? y ) ≤ xyz. 【评述】 利用上述换元的方法可解决同类的问题.见下题:设正数 a 、 b 、 c 的乘积
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abc = 1, 证明

1 1 1 3 + 2 + 2 ≥ . a (b + c) b (c + a ) c (a + b) 2
2

证明:设 a =

1 1 1 , b = , c = , 则xyz = 1 ,且所需证明的不等式可化为 x y z

x2 y2 z2 3 + + ≥ ,现不妨设 x ≥ y ≥ z ,则 y+z z+x x+ y 2
x y z ≥ ≥ ,据排序不等式 y+z z+x x+ y


x2 y2 z2 x y z + + ≥ z? + x? + y? y+z z+x x+ y y+z z+x x+ y

x2 y2 z2 x y z + + ≥ y? + z? + x? 及 y+z z+x x+ y y+z z+x x+ y
两式相加并化简可得

2(

x2 y2 z2 + + ) ≥ x + y + z ≥ 33 xyz = 3. y+z z+x x+ y

例 7:设实数 x1 ≥ x 2 ≥ L ≥ x n , y1 ≥ y 2 ≥ L ≥ y n , z1 , z 2 , L , z n 是 y1 , y 2 , L , y n 的一个 置换,证明:
n

∑ (x
i =1

i

? y i ) ≤ ∑ ( xi ? z i ) 2 .
2
i =1 n n

n

【略解】 显然所需证不等式等价于

∑ xi yi ≥∑ xi zi , 这由排序不等式可直接得到.
i =1 i =1

【评述】 应用此例的证法可立证下题: 设 a k 是两两互异的正整数( k = 1,2, L) ,证明对任意正整数 n ,均有

ak n 1 ∑ k 2 ≥∑ k . i =1 i =1

n

证明:设 b1 , b2 , L , bn 是 a1 , a 2 , L , a n 的一个排列,使 b1 < b2 < L < bn ,则从条件知对

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每个 1 ≤ k ≤ n, bk > k ,于是由排序不等式可知
n a k n bk 1 ≥∑ 2 ≥∑ . ∑ k 2 i =1 k i =1 k i =1 n

II.柯西不等式的应用 应用柯西不等式,往往能十分简捷地证明某些不等式.
2 2 2 x12 x 2 x n ?1 x n 例 8:设 x1 , x 2 , L , x n ∈ R ,求证: + +L+ + ≥ x1 + x 2 + L + x n . x 2 x3 xn x1
+

【思路分析】 注意到式子中的倒数关系,考虑应用柯西不等式来证之. 【评述】注意到式子中的倒数关系,考虑应用柯西不等式来证之. 【详解】 ∵ x1 , x 2 , L , x n > 0 ,故由柯西不等式,得

( x 2 + x3 + L + x n + x1 )(

2 x12 x 2 x2 x2 + + L + n ?1 + n ) x 2 x3 xn x1

≥ ( x2 ?

x1 x2

+ x3 ?

x2 x3

+ L + xn ?

x n ?1 xn

+ x1 ?

xn x1

)2

= ( x1 + x 2 + L + x n ?1 + x n ) 2 ,

2 x12 x 2 x2 x2 + + L + n ?1 + n ≥ x1 + x 2 + L + x n . x 2 x3 xn x1

【评述】这是一道高中数学联赛题,还可用均值不等式、数学归纳法、比较法及分离系 数法和构造函数法等来证之.

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针对性训练题
1.设 a 、 b 、 c ∈ R + ,利用排序不等式证明: (1) a a b b > a b b a ( a ≠ b ) ; (2) a b c (3)
2a 2b 2c

≥ a b+ c b c + a c a +b ;

a b c 3 + + ≥ ; b+c c+a a+b 2 a 12 b 12 c12 + + ≥ a 10 + b10 + c 10 . bc ca ab a b c + + ≥ 3. b+c?a c+a?b a+b?c

(4)

2.设 a 、 b 、 c 是三角形三边的长,求证:
*

3.已知 a 、 b 、 c ∈ N ,并且 b + c > a, c + a > b, a + b > c, 求证:

(1 +

b?c a c?a b a?b c ) (1 + ) (1 + ) ≤ 1. a b c
1 2 n n ?1 2

4.设 n ∈ N * , n > 1, 求证: C n + C n + L + C n > n ? 2

.

5.若 a > 0, b > 0, 且a + 2b = 6, 求 lg a + 2 lg b 的最大值. 6.若 a + 2b = 12, 求2 a + 2 b +1 的最小值.
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7.已知 x ? y = 1( x > 1), 求u ( x, y ) =

1 + x + 1 的最小值. y3

8. x + 2 y = 1, 求u ( x, y ) = x + 2 y 的最值.
2 2

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