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集合复习资料(整理)


集合
一、知识点梳理 1、集合的定义:

分类 集合的概念 集 合 元素的性质

集合的表示法

列举法 描述法 包含关系

集合与集合的关系

集合运算

运算 类型 定 义













由所有属于 A 且属 于 B 的元素所组成 的集合,叫做 A,B 的 交集. 记作 A ? B (读 作‘ A 交 B ’ ) ,即 A ? B={x|x ? A,且 x ? B} .

由所有属于集合 A 或 属于集合 B 的元素所 组成的集合, 叫做 A,B 的并集.记作:A ? B (读作‘A 并 B’ ) ,即 A ? B ={x|x ? A, 或 x? B}).

设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集,由 S 中 所有不属于 A 的元素 组成的集合,叫做 S 中 子集 A 的补集(或余 集) 记作 C S A ,即 CSA= {x | x ? S , 且x ? A} S A

Venn 图 示

A

B

A

B

图1

图2





A ? A=A A ? Φ =Φ A ? B=B ? A A? B?A A? B?B

A ? A=A A ? Φ =A A ? B=B ? A A ? B ?A A ? B ?B

A ? (CuA)=U A ? (CuA)= Φ .

有限集 A 的元素个数记作 card(A).对于两个有限集 A,B,有 card(A∪B)= card(A)+card(B)- card(A∩B). 扩展:

注:集合的相等:如果集合 A、B 同时满足 A ? B、B ? A,则 A=B.
集合符号的使用:1)元素与集 2、 含有 n 个元素的集合的所有子集个数为: 2)集合与集合 所有真子集个数为: 非空真子集个数:

二、习题练习 1、已知 I={1,2,3,4,5,6} A={1,3,4} B={2,4,5} 求 CIA , CIB , CIA∩CIB , CIA∪CIB, CI (A∪B) , CI (A∩B)

a? 2、 集合A ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0}, B ? {x | ax ? 2 ? 0}若A ? B ? A,求实数
2

3、已知全集 U={1,2,3,4,5},A= {x ?U | x ? 5qx ? 4 ? 0, q ? R} , (1)若 A 的补集=U,求
2

实数 q 的取值范围 (2)若 A 的补集中有四个元素,求补集 A 及实数 q 的值.(3)若 A 中且仅有 两个元素,求补集 A 及实数 q 的值.

2 4、(2009 山东卷理)集合 A ? ?0, 2, a? , B ? 1, a ,若 A

?

?

B ? ?0,1,2,4,16? ,则 a 的

值为 A.0

(

) B.1
3 2

C.2

D.4

5、 已知全集 S ? {1,3, x ? x ? 2 x} , A={1, 2x ?1 }如果 CS A ? {0} , 则这样的实数

x

是否存在?若存在,求出 x ,若不存在,说明理由

6、向 50 名学生调查对 A、B 两事件的态度,有如下结果 赞成 A 的人数是全体 的五分之三, 其余的不赞成, 赞成 B 的比赞成 A 的多 3 人, 其余的不赞成; 另外, 对 A、 B 都不赞成的学生数比对 A、 B 都赞成的学生数的三分之一多 1 人。 问对 A、 B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人?
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源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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7、求 1 到 200 这 200 个数中既不是 2 的倍数,又不是 3 的倍数,也不是 5 的倍 数的自然数共有多少个?

8、设集合 A={x||x-a|<2},B={x|

2x ?1 <1},若 A ? B,求实数 a 的取值范围。 x?2

9、已知集合 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+3a-5=0},若 A∩B=B,求实数 a 的 值.

10、已知集合 A ? {m, m ? d , m ? 2d}, B ? {m, mq, mq2} , 其中m ? 0 , 且A ? B ,求 q 的值。

11 、 已知集合 A ? x x ? bx ? c ? 0 , B ? x x ? mx ? 6 ? 0 , 且A ? B ? B, A
2 2

?

?

?

?

?B =

?2? ,求实数 b,c,m 的值.

12、已知集合 A={x|x2=1},B={x|ax=1},若 A∪B=A,求所有实数 a 的值组成的集

合.

13、设集合 是奇数,则这样的映射 A.45 B.27

,映射 的个数是 ( ) C.15

使得对任意的

,都有

D.11

14、下列关系中,正确的是( A.0∈? B.2?{x|x≤10}

) C.??{0} D.{0}∈{x|x≤1}

15、集合 A={(x,y)|y=a},集合 B={(x,y)|y=bx+1,b>0,b≠1|},若集 合 A∩B 只有一个子集,则实数 a 的取值范围是( ) A. (-∞,1) B. (-∞,1] C. (1,+∞) 16、已知集合 A={x|a-1<x<2a+1}和 B={x|0≤x≤1},若 A∩B= Φ ,求实数 a 的 取值范围? D.R

17、 设A ? {?4,2a ?1, a 2}, B ? {a ? 5,1 ? a,9},已知A ? B ? {9}, 求a的值, 并求出A ? B.

答案 定义 1、某些指定的对象集在一起成为集合

无限集、有限集、空集;确定性、

无异性、无序性;子集、真子集、相等;交集、并集、补集; (CuA) ? (CuB)= Cu (A
? B)(CuA) ? (CuB)= Cu(A ? B);容斥原理 card(A∪B∪C)= card(A)+card(B) +card(C)- card(A∩
B) - card(A∩C) - card(B∩C)+ card(A∩B∩C).

?, ? (元素与集合 ) 注:1)
2、 2 , 2 -1, 2 -2 习题
n n n

?, 2) ? , ? (集合与集合)

?

1、 2、a 的值为 0 或 2 或 1 3、1)-4/5<q<4/5 2)A={2},CuA={1,3,4,5}
4、D 5、2 或-1 6、21 和 8 7、54 3)A={1,4} CuA={2,3,5}

8、a 的取值范围是[0,1].

9、A={1,2}B 是 A 子集,B=空集时判别式=a^2-4(3a-5)<0a^2-12a+20<0 2<a<10

B={1}时,x^2-ax+3a-5=0 有 2 根都是 x=1 a=1+1=2,3a-5=1 a=2 成立 B={2}时,x^2-ax+3a-5=0 有 2 根都是 x=2 a=2+2=4,3a-5=2*2=4 a=4 不成立 B={1,2}时,x^2-ax+3a-5=0 有 2 根是 x=1,x=2 a=1+2=3,3a-5=1*2=2 a=3 不成立 所有解:2<=a<10
10、(1)若 m+d=mq,且 m+2d=mq2 消去 b,得 m+mq2-2mq=0

当 m=0 时,集合 B 中的三元素均为 0,不成立,故 m 不可能等于 0 所以 q2-2q+1=0,则 q=1,则三元素又相同,所以无解 (2)若 m+d=mq2,m+2d=mq,消去 d 得 2mq2-mq-m=0 因为 m 不等于 0,所以 2q2-q-1=0,q1=1 舍去,故 q=-1/2
11、b=-4,c=4,m=-5 12、a∈{-1,0,1} 13、D 14、C 15、B

16、由A ? B ? ?可知A ? ?或A ? ? 若A ? ? 则a ? 1 ? 2a ? 1 解得a ? ?2满足要求

若A ? ? 又A ? B ? ?

1 : ? ? 或a ? 2 ?a ? 1 ? 2a ? 1 ?a ? 1 ? 2a ? 1 ? a的 取 值 范 围 是 a 得  或  2 ? ? ?2 a ? 1 ? 0 ?a ? 1 ? 1

a ? 3且A ? B ? {?7,?4,?8,4,9}. 17、 综上所述,


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