当前位置:首页 >> 数学 >> 高考中的拉格朗日中值定理

高考中的拉格朗日中值定理


第 12 期

: “高考中的拉格朗日中值定理” 聂文喜 中的一点纰漏

· 25·

“高 考 中 的 拉 格 朗 日 中 值 定 理 ” 中的一点纰漏
●聂文喜
( 广水市第一中学 湖北广水 432700 )

“高考中的拉格朗日中值定理 ” 本刊第 7 期 一 1] ), 文

中( 下称文献[ 用拉格朗日中值定理简捷地 f( x2 ) - f( x1 ) > a 与 f( x1 ) - f( x2 ) 解决了 x2 - x1 从而 >

h( x)

min

=h

( a 2- 1 ) = ( a - 1)4( 5 - a) > 0,
g( x) > 0 .

例2

[1 ]

已知函数 f( x) = ( a + 1 ) lnx + ax2 + 1 .

a | x1 - x2 | 型不等式的证明与恒成立问题. 笔者读 后受益匪浅, 但笔者认为利用拉格朗日中值定理解 决上述 2 类问题还有待斟酌之处, 特提出来讨论, 并借此向各位同仁求教. 1 原文摘抄 例1
[1 ]

( 1 ) 讨论函数 f( x) 的单调性; ( 2) 设 a < - 1, x2 ∈( 0 , +∞) , 如果对任意 x1 , f( x1 ) - f( x2 ) ≥4 | x1 - x2 | 成立, 求 a 的取值范 围. ( 2010 年辽宁省数学高考理科试题) 解
[1 ]

已知函数 1 2 x - ax + ( a - 1 ) lnx, a > 1. 2

f( x) =

( 1 ) 略;

( 2 ) 由拉格朗日中值定理, 知必存在 x0 ∈ ( 0 , +∞) , 使得 f ' ( x0 ) = f( x1 ) - f( x2 ) . x2 - x1

( 1 ) 讨论函数 f( x) 的单调性; x2 ∈ ( 0 , ( 2 ) 证 明: 若 a < 5 , 则 对 任 意 x1 , +∞) , x1 ≠x2 , 有 f( x1 ) - f( x2 ) > - 1. x1 - x2

由 f( x1 ) - f( x2 ) ≥4 | x1 - x2 | , 得 f( x1 ) - f( x2 ) ≥4 ( x1 - x2 ) , 从而 即 由 f ' ( x0 ) = f( x1 ) - f( x2 ) ≤ - 4, x1 - x2 f ' ( x0 ) ≤ - 4 . a +1 + 2 ax≤ - 4 , 得 x - 4x - 1 ( 2x - 1) 2 = - 2, 2 x2 + 1 2 x2 + 1 a ∈( - ∞ , - 2] . 解法分析 1] 文献[ 的解题根据是: 对于一个连续可导函 数, 任意一条割线都可以找到一条与其斜率相等的 切线, 这就是高等数学中的拉格朗日中值定理 : 若函数 f( x) 满足如下条件: ( 1 ) 若 f( x) 在闭区间[ a, b] 上连续; ( 2 ) 若 f( x) 在开区间( a, b) 上可导, b ) 内 至 少 存 在 一 点 ξ, 则在 ( a, 使得 f ' ( ξ) = f( b) - f( a) . b -a

( 2009 年辽宁省数学高考理科试题) ( 1 ) 略; ( 2 ) 证法 2[1] f ( x1 ) ) , B ( x2 , 不妨设点 A ( x1 , f( x2 ) ) , 原题即证 f ( x) 的任意一条割线的斜率 k AB > - 1 . 由几何图形可知, 只需证 f ( x ) 的任意一 即证 f ' ( x ) > - 1 对 x ∈ 条切线的斜率 k AB > - 1 , ( 0, + ∞ ) 恒成立, 也即证 x+ 记 a -1 - ( a - 1) > 0. x 故 2

a≤

a -1 g( x) = x + - ( a - 1) = x x2 - ( a - 1 ) x + a - 1 , x

2 令 h( x) = x - ( a - 1 ) x + a - 1 , 则

h' ( x) = 2 x - ( a - 1 ) . 因 此, h ( x ) 在 a -1 上 单 调 递 减, 在 ( 0, 2 )

得 ( a 2- 1,+ ∞ ) 上单调递增,

· 26·

中学教研 ( 数学)

2012 年

如果记 A = { k | k 是 函 数 y = f ( x ) 的 割 线 斜 B = { k | k 是函数的切线斜率 } , 对于连续可导 率} , x2 , 函数及任意的 x1 , 根据拉格朗日中值定理, 必存 f( x2 ) - f( x1 ) x2 ) , = f ' ( ξ) , 在 ξ∈( x1 , 使 也就是说 x2 - x1 总存在一条切线, 使切线斜率等 对任意的割线 PQ, 于割线斜率, 因此 A ? B. 例 1 的证明基本是正确 不过应该明确的是证明了一个比原命题更强的 的, 命题. 拉格朗日中值定理没有逆定理, 即对曲线的任 并不一定存在割线, 使割线斜率等于切线 一切线,
2 斜率, 因此 A = B 并不一定成立. 如 f ( x ) = x ( x ∈

故 解法 2

a< -

1 . 2

利用转化思想

不妨设 x1 < 假设存在这样的实数 a 满足条件, x2 . 由 f( x2 ) - f( x1 ) > a, 知 x2 - x1 f( x2 ) - ax2 > f( x1 ) - ax1 成立. 令 g( x) = f( x) - ax = 1 2 x - 2 alnx - 2 x, 则函 2

+ ∞ ) 单调递增, 数 g ( x ) 在( 0 , 从而 g( x) = x - 2a - 2 ≥0 , x

2 2 即 2 a≤x - 2 x = ( x - 1 ) - 1 在 ( 0 ,+ ∞ ) 恒成立,

R) , f ' ( x ) = 3 x2 , f '( 0) = 0, 即 f( x) 在 x = 0 处的切
3 线斜率为 0 , 但 f( x) = x 不存在割线使割线斜率等

故 a≤ - . ( - ∞ ,- 1 2) 对于例 3 , 解法 2 的结果是正确的, 解法 1 的 结果是不正确的, 从而进一步说明: 在可导曲线中, { 割线斜率} = { 切线斜率} 是一个错误的命题. 4 一个结论 利用拉格朗日中值定理易得如下结论 : 结论 在可导曲线 y = f ( x ) 中, 其图像上任意 2 个不同点连线的斜率组成的集合为 P , 图像上任 1 . 2

于 0 . 这就说明割线斜率与切线斜率并不一定等 1] 价, 从而文献[ 对例 2 的解法存在纰漏. 3 一个反例 例3 已 知 函 数 f ( x) = 1 2 x - 2 alnx + 2

因此 存 在 这 样 的 实 数 a 满 足 题 意, 其范围为

( a - 2 ) x( a ∈ R ) , 问: 是否存在实数 a, 对任意的 f( x2 ) - f( x1 ) x1 , x2 ∈( 0 , + ∞ ) 且 x1 ≠ x2 , >a恒 有 x2 - x1 成立? 若存在, 求出 a 的取值范围; 若不存在, 说明 理由. ( 2012 年湖北省孝感市高三数学统考理科试题) 解法 1 利用拉格朗日中值定理 x2 ∈ ( 0 ,+ ∞ ) 且 x1 ≠ x2 , 对任意 的 x1 , 要使 f( x2 ) - f( x1 ) > a 恒成立, 由拉格朗日中值定理知: x2 - x1 f( x2 ) - f( x1 ) +∞) , , 必存在 x0 ∈ ( 0 , 使 f ' ( x0 ) = x2 - x1 即 f ' ( x) > a, 亦即只须 f ' ( x) > a 对 x > 0 恒成立, 2a + ( a - 2 ) > a 对 x > 0 恒成立, 亦即 x - 从而 a < x 1 x( x - 2 ) 对 x > 0 恒成立. 令 2 g( x) = 则 1 1 x( x - 2 ) = [ ( x - 1) 2 - 1] , 2 2 g( x)
min

一点处的切线斜率组成的集合为 Q, 则 ( 1 ) P ?Q, 即{ 割线斜率} ?{ 切线斜率} ; ( 2 ) 若 f ( x ) 是定义域内的凸 ( 或凹 ) 函数, 则 P = Q, 即{ 割线斜率} = { 切线斜率} ; ( 3 ) f ( x ) 在 定 义 域 内 有 在 唯 一 拐 点 ( x0 , f( x0 ) ) , 则 f ' ( x0 ) ?P , 且 P ∪{ f ' ( x0 ) } = Q. 综上所述, 对于可导函数而言, 其图像上任意 2 个不同点连线的斜率的取值范围与 f ' ( x) 的取值 范围并不等价, 前者所组成的集合只是后者所组成 在解题时应慎用. 集合的子集, 参 考 文 献

= g( 1 ) = -

1 , 2

[ 1] 吴旻玲, J] .中 高考中的 拉 格 朗日 中 值 定 理[ 2012 ( 7 ) : 4446. 学教研( 数学) ,


更多相关文档:

拉格朗日中值定理在高考题中的妙用

三.利用拉格朗日中值定理证不等式 在近几年的数学高考中,出现了不少含有拉格朗日中值定理的试题.常以不等式恒成立 问题为基本切入点,具有一定的深度,既符合高考...

拉格朗日中值定理在中学数学证明不等式中的妙用

拉格朗日中值定理在中学数学证明不等式中的妙用_高三数学_数学_高中教育_教育专区。拉格朗日中值定理在中学数学证明不等式中的妙用 文档贡献者 SuperboyASD 贡献于...

拉格朗日中值定理在高中数学中的应用

拉格朗日中值定理高中数学中的应用_数学_自然科学_专业资料。应用 拉格朗日中值...这类题倍受高考命题者青睐. 证明 令f(x) = ln1 +x - ln2,对函数f(x)...

以高等代数的拉格朗日中值定理解一道高中数学题

以高等代数的拉格朗日中值定理解一道高中数学题_数学_高中教育_教育专区。用高等代数的拉格朗日中值定理解一道高中数学题 以高等代数的拉格朗日中值定理解一道中学题...

中值定理“下嫁”高考

中值定理“下嫁”高考_少儿英语_幼儿教育_教育专区。近几年,以高等数学为背景...拉格朗日中值定理又称拉氏定理。 如果函数 f(x)在(a,b)上可导,[a,b]上...

拉格朗日中值定理 1

Keywords: Lagrange; Rolle theorem; Proof; Application 1 拉格朗日中值定理...? 3.2 拉格朗日定理高考中的应用 例 3 已知函数 f ( x) ? x 2 ?...

中值定理“下嫁”高考

拉格朗日中值定理在中学数学中的应用[J]. 数学教学通讯,2008(8) [4] 管雪冲,王颖. 站”高”再看高考题[J]. 高等数学研究,2009(1) ...

高三数学培优资料(10)用泰勒公式和拉格朗日中值定理来处理高中函数不等式问题(教师版)

高三数学培优资料(10)用泰勒公式和拉格朗日中值定理来处理高中函数不等式问题(教师版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。用泰勒公式和拉格朗日中值定理来处理高中函数...

以拉格朗日中值定理为背景的试题解法赏析

杨苍州等 来源:《中学生理科应试》2014 年第 05 期 在近年的高考模拟试题与高考试题中不乏以拉格朗日中值定理为背景的试题,笔者现根据 试题常见解题方法,进行分类...

2016考研数学 拉格朗日中值定理

2016考研数学 拉格朗日中值定理_研究生入学考试_高等教育_教育专区。中公考研提供考研大纲解析,考研复习资料,考研历年真题等,更多考研相关信息,请访问中公考研!全国...
更多相关标签:
拉格朗日中值定理高考 | 拉格朗日中值定理 | 拉格朗日中值定理证明 | 拉格朗日中值定理例题 | 拉格朗日中值定理应用 | 拉格朗日微分中值定理 | 拉格朗日中值定理题目 | 拉格朗日中值定理火了 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com