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第三章导数及其应用3.3.2函数的极值与导数学案(含解析)新人教A版选修1


3.3.2 函数的极值与导数 [提出问题] 如图是函数 y=f(x)的图象. 问题 1:y=f(x)在 x=a 处的导数 f′(a)等于多少? 提示:f′(a)=0. 问题 2:当 x=a 时,f(x)取最大值吗? 提示:不是,但 f(a)比 x=a 附近的函数值都大. 问题 3:在 x=a 附近两侧导数 f′(x)的符号有什么特点? 提示:在 x=a 附近左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0. 问题 4:当 x=d 时,请回答以上问题. 提示:①f′(d)=0;②不是,但 f(d)比 x=d 附近的函数值都小;③在 x=d 附近左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0. [导入新知] 1.极值点与极值 (1)极小值点与极小值 若函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值 f(a)比它在点 x=a 附近其他点的函数值都小, f′(a) =0,而且在点 x=a 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,就把点 a 叫做函数 y=f(x)的 极小值点,f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值 若函数 y=f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近其他点的函数值都大, f′(b) =0,而且在点 x=b 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,就把点 b 叫做函数 y=f(x)的 极大值点,f(b)叫做函数 y=f(x)的极大值. (3)极大值点和极小值点统称为极值点,极大值和极小值统称为函数的极值. 2.求函数 y=f(x)的极值的方法 解方程 f′(x)=0,当 f′(x0)=0 时, (1)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极大值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0)是极小值. [化解疑难] 1 1.对极值概念的理解 (1)函数的极值是一个局部概念,是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大的或 是最小的. (2)在定义域的某个区间内极大值或极小值并不唯一,也可能极值不存在,并且极大值 与极小值之间无确定的大小关系. 2.极值与极值点辨析 (1)函数的极值点是指函数取得极值时对应点的横坐标,而不是点;极值是函数在极值 点处取得的函数值,即函数取得极值时对应点的纵坐标. (2)极值点一定在区间的内部,端点不可能为极值点. 利用导数求函数的极值 [例 1] 求下列函数的极值: 1 3 ln x 2 (1)f(x)= x -x -3x+3;(2)f(x)= . 3 x [解] (1)f′(x)=x -2x-3. 令 f′(x)=0,得 x1=3,x2=-1. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 2 x f′(x) f(x) (-∞,-1) + 单调递增? -1 0 14 3 (-1,3) - 单调递减? 3 0 -6 (3,+∞) + 单调递增? 14 故当 x=-1 时,函数取得极大值,且极大值为 f(-1)= ;当 x=3 时,函数取得极 3 小值,且极小值为 f(3)=-6. ln x (2)函数 f(x)= 的定义域为(0,+∞), x 2 1-ln x 且 f′(x)= .令 f′(x)=0,得 x=e. 2 x 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (0,e) + 单调递增? e 0 1 e (e,+∞) - 单调递减? 1 故当 x=e 时,函数取得极大值,且极

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