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合肥一中2014-2015学年度高三阶段测试一理科数学


合肥一中 2014--2015 学年第一学期高三年级阶段一考试试卷 数学(理科)答案
—、选择题 A D D B A,B D C C B 二、填空题 11.2 三、解答题 16. (本题满分 12 分)
2 解答:(1)当 a ? 0 时: A ? (??,0) ? (a ? 1,??) , 2 当 a ? 0 时: A ? (0,a ? 1)

/>
12.

13. x ? y ? 2 ? 0

14. m ?

5 4

15.①②④

(2)易知 B ? A , 1 当 a= 时,B=?,符合题意; 3 1 2 当 a> 时,有 B=(2,3a+1),A=(-∞,0)∪(a +1,+∞), 3 1 2 由 B? A 得 a +1≤2,所以 <a≤1; 3 1 2 当 0<a< 时,有 B=(3a+1,2),A=(-∞,0)∪(a +1,+∞), 3 1 2 由 B? A 得 a +1≤3a+1,所以 0<a< ; 3 3a+1≥0, ? ? 2 当 a<0 时,有 B=(3a+1,2),A=(0,a +1),由 B? A 得?a +1≥2 ? ?a<0,
2

无解;

综上,实数 a 的取值范围是(0,1]. 17.(本题满分 12 分)

18.(本题满分 12 分) 解答:(1)证明:由题意知 f ? ? x ? ? ? f ? x ? , f ? x ? ? f ? 2 ? x ? ,

? f (2 ? x) ? ? f (? x) ,即? f ( x ? 2) ? ? f ( x) ? f ( x ? 4) ? ? f ( x ? 2) ? f ( x)

? f ? x ? 是周期函数.
(2)由题意可得 f ? x ? ? x , x ?? ?1,1? ,当 x ? (1,3] 时,

f ? x? ? f ? 2 ? x? ? 2 ? x

? x, x ? [?1,1] ? f ( x) ? ? ?2 ? x, x ? (1,3]
①当 x ? [4k ? 1,4k ? 1](k ? Z ) 时:

x ? 4k ? [?1,1] ,? f ( x) ? f ( x ? 4k ) ? x ? 4k ( 1,3] ②当 x ? (4k ? 1,4k ? 3](k ? Z ) 时: x ? 4k ? ? f ( x) ? f ( x ? 4k ) ? 2 ? ( x ? 4k ) ? ? x ? 4k ? 2

? x ? 4k , x ? [4k ? 1,4k ? 1](k ? Z ) ? f ( x) ? ? ?? x ? 4k ? 2, x ? (4k ? 1,4k ? 3](k ? Z )
注:也可以合并为下列形式 当 x ?? ?1,3? 时, f ? x ? ? ? x ?1 ? 1,

当 x ??4k ?1,4k ? 3? ? k ? Z ? 时, f ? x ? ? f ? x ? 4k ? ? ? x ? 4k ?1 ? 1, 所以 f ? x ? ? ? x ? 4k ?1 ? 1, x ??4k ?1,4k ? 3? ? k ? Z ? 19. (本题满分 13 分)

20.(本题满分 13 分) 解:设 B 型号手机的价值为 x 万元( 1 ? x ? 9 ),顾客得到的话费为 y 万元, 则 A 型 号 手 机 的 价 值 为 (10 ? x) 万 元 , 由 题 意 得 ,

(1)当 m ?

2 1 2 2 1 (10 ? x) ? ln( x ? 1) ? ln( x ? 1) ? x ? 1 时,在 y ? 10 5 5 10 5

y? ?

2 1 ? , 由 y? ? 0得, x ? 3. 当 x ? (1,3) 时, y? ? 0 ,当 x ? (3,9)时,y?<0 5( x ? 1) 10
2 ln 4 ? 0.3 ? 1 ? 1.3. 5

所以当 x ? 3 时, y 取最大值, ymax ?

即该店分别投放 A、B 两型号手机 7 万元和 3 万元时,顾客得到话费最多,最多话费 约 1.3 万元。 (2)由 y? ?

m 1 ? , 得y? ? 0 得 x ? 10m ? 1 x ? 1 10

①当 10m ? 1 ? 1,即0 ? m ? 0.2 时, y? ? 0, y在[1,9] 是减函数 随 B 型手机投放金额 x 万元的增加,顾客得到的话费逐渐减少。 ②当 1 ? 10m ? 1 ? 9,即0.2 ? m ? 1时, x ??1,10m ?1? , y? ? 0, x ? ?10m ? 9? , y? ? 0. 当 x ? [1,10m ? 1] 随 B 型手机投放金额 x 的增加,顾客得到的话费逐渐增加。 当 x ? (10m ? 1,9] 随 B 型手机投放金额 x 的增加顾客得到的话费逐渐减少。 ③当 10m ? 1 ? 9,即m ? 1 时,

y 在[1,9]是增函数,随 B 型手机投放金额 x 的增加,顾客得到的话费逐渐增加。
21. (本小题满分 13 分) (1) f ( x) 的定义域为 (0,??)

f ' ( x) ?

a (1 ? x)( 2 x ? a) ? 2( x ? 1) ? a ? x x

( 1, ? ?) ① a ? 0 时, f ( x) 的增区间为 (0,1) ,减区间为

(? ② ? 2 ? a ? 0 时, f ( x) 的增区间为
(0, ? ?) ③ a ? ?2 时, f ( x) 减区间为

a a , 1) (1, ? ?) ,减区间为 (0,? ), 2 2

( 1, ? ④ a ? ?2 时, f ( x) 的增区间为
(2)由题意

a a ) (? , ? ?) ,减区间为 (0,1), 2 2

f ' ( x0 ) ? k P P ?
1 2

f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

?

[a ln x2 ? ( x2 ? 1) 2 ? ax2 ] ? [a ln x1 ? ( x1 ? 1) 2 ? ax1 ] x2 ? x1 a ln

x2 x1 ? ? ( x1 ? x2 ? 2) ? a x2 ? x1
又: f (
'

x1 ? x2 2a )? ? ( x1 ? x2 ? 2) ? a 2 x1 ? x2
a ? 2( x ? 1) ? a ( a ? 0 )在 (0, ? ?) 上为减函数 x
x1 ? x 2 ' ' x ? x2 ) ,只要证 f ( x 0 ) ? f ( 1 2 2

? f ' ( x) ?
要证 x 0 ?

x2 x 2( x2 ? x1 ) x1 2a 即 , 即证 ln 2 ? ? x1 x1 ? x2 x2 ? x1 x1 ? x2 a ln
令t ?

x2 2(t ? 1) 1 4 (t ? 1) 2 ' ? 1, g (t ) ? ln t ? ? ?0 , g (t ) ? ? x1 t ?1 t (t ? 1) 2 t (t ? 1) 2

? g (t ) 在 (1,??) 为增函数? g (t ) ? g (1) ? 0
? ln t ?
x ? x2 x 2( x2 ? x1 ) 2(t ? 1) ln t 2 ? ? x0 ? 1 ,即 即 ln 2 ? 得证。 t ?1 t ?1 t ?1 2 x1 x1 ? x2


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