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双曲线的简单几何性质2


第二章

圆锥曲线与方程

2.2.2

双曲线的简单几何性质

定义:
平面内与两个定点F1,F2的距离的差 的绝对值 等于常数(小于︱F1F2︱) 的点的轨迹叫做双曲线.

双曲线的标准方程:
焦点在X轴上:

焦点在Y轴上:

>
x y ? 2 ?1 2 a b 2 2 y x ? 2 ?1 2 a b (a ? 0,b ? 0)

2

2

M

F

1

o

F

2

方程

x y x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b a b

2

2

2

2

图形

F1
对称性

· ·
o F2

y

y
M
F1
O

F2

x

关于X轴,Y轴,原点对称
顶点

A1(-a,0),A2(a,0),

B1(0,-b),B2 (0,b)
范围

-a≤x≤a ; -b≤y≤b
离心率

c e ? ? ?0,1? a

焦点在x轴上的双曲线的几何性质
标准方程:
几何性质:
x y ? 2 ?1 2 a b
2 2

Y B2
F1 A1

A2 F2 o X B1

1、对称性: 关于x轴,y轴,原点对称。 2、顶点: 双曲线与其对称轴的交点 A1(-a,0), A2(a,0) 轴:实轴 A1A2 长2a, 虚轴 B1B2长2b. 3、范围: x≥a或x≤-a

探究2:椭圆的离心率刻画了椭圆的圆扁 程度,那双曲线的离心率呢?

c ,e?? 1,?? ? 4、离心率:e ? a

e 越大,开口 越阔 e 越小,开口 越窄

6

4

2

-5

5

-2

-4

-6

b x 5、渐近线方程: y ? ? a
思考:渐近线对双曲线的开口有影响,有了 渐近线就能更精确的绘制双曲线的图形,应 该如何绘制呢?

焦点在x轴上的双曲线草图画法
Y
x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

B2

F1

A1

A2

F2

X

B1

焦点在y轴上的双曲线的几何性质 y2 x2 标准方程: ? 2 ?1 2 a b A 几何性质:
1

Y F 2 B2 o B 1 A2 X

F2

1、对称性: 关于x轴,y轴,原点对称。 2、顶点: B1(0,-a),B2(0,a) 轴: 实轴 B1B2长2a ; 虚轴 A1A2长2b. 3、范围: y≥a或y≤-a

a 5、渐近线方程: y ? ? x b

c e? 4、离心率: a

例题:求双曲线 9 y ?16x ? 144 的实半轴长,虚半轴长,
2 2

焦点坐标,离心率,渐近线方程。 2 2 y x 把方程化为标准方程得 , 解: ? 2 ?1 2 4 3 可得:实半轴长: a=4 虚半轴长: b=3 半焦距: c ? 4 ? 3 ? 5 焦点坐标是: (0,-5),(0,5)
2 2

离心率:

c 5 e? ? a 4

渐近线方程:

4 y?? x 3

2 2 练习(1) : x ? 8 y ? 32 的实轴长8 2 虚轴长为 4 顶点坐标为 ? 4 2 ,0 ,焦点坐标为 ?? 6,0?

离心率为
2 2

3

?

2

?

(2) x ? y ? ?4的实轴长 4 虚轴长 4 顶点坐标 (0,±2) 为 焦点坐标为 0,?2 2 离心率为 2 2 x x 2 ? y ? 1 的渐近线方程为: y ? ? (3) 2 4 2 x x 2 ? y ? 4的渐近线方程为: y ? ? 2 4 2 x x 2 的渐近线方程为: y ? ? ? y ? ?1

4

?

?

4 x2 ? y 2 ? ?4 的渐近线方程为: 4

2
x 2

y ? ?

总结:
1、双曲线的几何性质及a,b,c,e的关系; 2、渐近线是双曲线特有的性质,必须引起我 们的重视; 3、用数形结合的思想方法研究问题。


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