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高二数学第一学期期末复习答案


练习一:矩阵
1.(Ⅰ级) A ? ?

? 1 x? ? m 4? m ?和B ?? ? ,若 A ? B 时,则 y ? logn x ? y 2? 3 n? ? ?

5

.

解:由 ?

? 1 x? ? m 4? ??? ? ,得 m ? 1 , n ? 2

, y ? 3 , x ? 4 ? y 2? ? 3 n?

∴ ym ? logn x ? 31 ? log2 4 ? 5 2.(Ⅰ级) (1) ?

?1 0 ? ? 0 2 ? ? ? 5? ?? ? 0 4? ?3 0?

.

?1 2 ? ?10 ?5 2 ? ? ? (2)设 A ? ? 3 4 ? , B ? ? ? ,则 AB ? ? ?2 3 7 ? ?5 6? ? ?
解: (1) ?

, BA ?

.

?1 0 ? ? 0 2 ? ?1 0 ? ? 0 10 ? ? 1 10 ? ? ? 5? ??? ??? ??? ? ? 0 4 ? ? 3 0 ? ? 0 4 ? ?15 0 ? ?15 4 ?

?1 2 ? ? 6 1 16 ? ? ? ?10 ?5 2 ? ? ? (2) AB ? ? 3 4 ? ? ? ? ? 22 ?3 34 ? ? 5 6 ? ? ?2 3 7 ? ? 38 ?7 52 ? ? ? ? ? ?1 2 ? ? 10 ?5 2 ? ? ? ? 5 12 ? BA ? ? ??3 4? ? ? ? 7?? ? ?2 3 ? ? 42 50 ? ?5 6?
3.(Ⅱ级)某人在超市一次性购买 20 斤大米和 10 斤食用油。大米的价格是 2.3 元/斤,食用 油的价格是 16 元/斤,则购买这两种商品的总花费可用下列各式中哪个计算 (A) ( C)

20 16 10 2.3

(B)

20 2.3 10 16

(C) (20 10) ? ?

?1.9 ? ? ? 15 ?

(D) ? ?

?1.9 ? ? ? (20 10) ? ? 15 ?

解:∵ (20 10) ? ?

?1.9 ? ? ? 20 ?1.9 ? 10 ?15 ,∴选(C). ? 15 ? ? 0 ?1? ? , 则 向 量 (2,3) 经 过 矩 阵 A 变 换 后 所 得 的 向 量 ? ?1 0 ?
.

评注:总花费可以用这两种商品的价格(构成行向量)乘以商品的数量(构成列向量). 4. ( Ⅱ 级 ) 已 知 矩 阵 A ? ? 为

,矩阵 A 对向量 (2,3) 产生的变换是

1

解:∵ A ? ?

? 0 ?1? ? 是一个 2 ? 2 的矩阵,而向量可以看成是 1? 2 的矩阵 ? ?1 0 ? ? 0 ?1? 3) ? ? ? (?3 ?2) ? ?1 0 ?

∴向量 (2,3) 经过矩阵 A 变换可以写成 (2

可知 (?3, ?2) 与 (2,3) 关于直线 y ? ? x 对称. 评注: 向量 (2,3) 为行向量的形式, 因此用矩阵 A ? ?

? 0 ?1? ? 右乘 (2 3) . 如果向量 (2,3) ? ?1 0 ?

写作列向量 ? ? 的形式,则用矩阵 A ? ?

? 2? ? 3?

? 0 ?1? ? 2? ? 0 ?1?? 2 ? ? ?3 ? ? 要左乘 ? ? ,即 ? ?? ? ? ? ? , ? ?1 0 ? ? ?1 0 ?? 3 ? ? ?2 ? ? 3?

同样可以得到 (?3, ?2) 与 (2,3) 关于直线 y ? ? x 对称. 5.(Ⅱ级)若 X ? ? x

? a1 x ? b1 y ? c1 可以写成矩 y ? , C ? ? c1 c2 ? ,且二元一次方程组 ? ? a2 x ? b2 y ? c2
.

阵形式 XA ? C ,则矩阵 A ? 解:由 XA ? C ,得 ? x ∴A??

y ? A ? ? c1 c2 ? ,

? a1 ? b1

a2 ? ? b2 ? ? a1 ? b1 a2 ? ? a1 x ? b1 y ? c1 还可 ? 实际上是系数矩阵的转置. 二元一次方程组 ? b2 ? ? a2 x ? b2 y ? c2 ? c1 ? ? x? y ? 与 ? ? 互为转置,? c1 c2 ? 与 ? ? 互为 ? c2 ? ? y?

评注:矩阵 A ? ?

以写成矩阵形式 ? 转置.

? a1 b1 ? ? x ? ? c1 ? ? ? ? ? ? ? ,? x ? a2 b2 ? ? y ? ? c2 ?

6.(Ⅲ级)如果 AB ? BA ,矩阵 B 就称为与 A 可交换,若 M ? ? 换的矩阵. 解:设 X ? ?

? 1 1? ? ,求所有与 M 可交 0 1? ?

?a b? ? 为可与 A 交换的矩阵 ?c d? ?a a ?b? ?a ?c b ? d ? ??? ? d ? ?c c?d? ? c

则 XM ? MX ,即 ?

2

?a ? a ? c ?a ? b ? b ? d ?c ? 0 ? ∴? ,即 ? ?a ? d ?c ? c ?c ? d ? d ?
∴所有与 M 可交换的矩阵可写为 X ? ?

?a b? ? ,其中 a , b 为任意数. ?0 a?

评注:本题为新定义题型,主要考查矩阵的乘法运算和矩阵相等的条件.

? A1 ? A ? ? 7.(Ⅲ级)若我们定义矩阵的方幂:设 A 是一个 n ? n 矩阵,定义 ? k ?1 ( k ? N ). k ?A ? A ? A ?
? cos ? 试求 ? ? sin ? ? cos ? 解: ? ? sin ? ? sin ? ? ? . cos ? ?
n

? sin ? ? ? cos ? ? ?? cos ? ? ? sin ?
2

? sin ? ?? cos ? ?? cos ? ?? sin ?
2

? sin ? ? ? cos 2? ??? cos ? ? ? sin 2?

? sin 2? ? ? cos 2? ?

? cos ? ? ? sin ?

? sin ? ? ? cos ? ? sin ? ? ? cos ? ? sin ? ? ? ?? ? ?? ? cos ? ? ? sin ? cos ? ? ? sin ? cos ? ? ? cos 2? ? sin 2? ? ? cos ? ? sin ? ? ? cos 3? =? ??? ??? ? sin 2? cos 2? ? ? sin ? cos ? ? ? sin 3?
3

? sin 3? ? ? cos 3? ?

? cos ? ? ? sin ?

? sin ? ? ? cos ? ? sin ? ? ? cos ? ? sin ? ? ? ?? ? ?? ? cos ? ? ? sin ? cos ? ? ? sin ? cos ? ? ? cos 3? ? sin 3? ? ? cos ? ? sin ? ? ? cos 4? =? ??? ??? ? sin 3? cos 3? ? ? sin ? cos ? ? ? sin 4?
4 3

? sin 4? ? ? cos 4? ?

? cos ? 猜测: ? ? sin ?

? sin ? ? ? cos n? ? ?? cos ? ? ? sin n?
n

? sin n? ? ? ? 对 n ? N 均成立. cos n? ?

下面用数学归纳法证明.(略) 评注:与自然数有关的命题,先写出有限的几项是必要的,再从已经算出的有限的几项猜 测出通项,最后用数学归纳法证明猜测的正确性. 8.(Ⅲ级)设矩阵 An?n ,其中 aij ? i ? j ,求 A 中所有元素之和.

解:∵ An?n

? 1?1 ? ? 2 ?1 ? ? 3 ?1 ? ? ? ? n ?1 ?

1? 2

? 1? n ? ? 2? 2 2?3 ? 2? n? 3? 2 3?3 ? 3? n? ? ? ? ? ? ? n ? 2 n ?3 ? n ? n? ?

1? 3

∴ A 中所有元素之和

S ? [(1 ? 1) ? (1 ? 2) ? (1 ? 3) ? ? ? (1 ? n)] ?[(2 ? 1) ? (2 ? 2) ? (2 ? 3) ? ? ? (2 ? n)] ?[(3 ? 1) ? (3 ? 2) ? (3 ? 3) ? ? ? (3 ? n)] ? ? ?[(n ? 1) ? (n ? 2) ? (n ? 3) ? ? ? (n ? n)]
3

? [n ? (1 ? 2 ? ? ? n)] ? [2n ? (1 ? 2 ? ? ? n)] ? ? ?[n2 ? (1 ? 2 ? ?? n)] n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1) ? n(1 ? 2 ? ? ? n) ? n ? ? n? ? n? ? n 2 (n ? 1) 2 2 2

练习二:行列式
1.(Ⅰ级)

cos ? sin ?

sin ? ? ? cos ?

.

1 解:

cos ? sin ?

sin ? ? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? ?1 ? cos ?

2.(Ⅱ级)两角差的余弦公式为: sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ,右式若用行列式 表示,则 sin(? ? ? ) ? .

2 解: sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ?

sin ? sin ?

cos ? cos ?

评注: 本题是开放题, 还可以有其它答案, 如 均可以.

sin ? cos ? 1 sin ? cos ? ? cos ? sin ? 1 , cos ? sin ? 1 1 1

3.(Ⅱ级)如果

5 3 a ?1 1 2 ,则 ab ? ? ? 2 4 1 b 7 8

.

3 解:∵

5 3 a ?1 1 2 ? ? 2 4 1 b 7 8

∴ 14 ? (ab ? 1) ? ?6 ,即 ab ? ?21

4.(Ⅱ级)把 3

1 3 0 ?2 0 ?2 表示成一个三阶行列式为 ?2 ?2 3 1 3 1 1 3
0 ?2 3 1 0 ?2 1 3 3 0 ?2 3 1

.

4 解: 3

1 3 3 1

?2

?2

? 2 1 ?2 3

3 0 ?2 1 3 0 ?2 0 ?2 评注: 3 可以看作是由 2 1 3 按第一列展开. ?2 ?2 3 1 3 1 1 3 ?2 3 1

4

3
5.(Ⅲ级)已知行列式 8

6 6

7

1 , 2 ?5 4

(1)试写出行列式中 ?5 的余子式与代数余子式; (2)按第一行展开这一行列式; (3)按第三列展开这一行列式;

(4)计算该行列式第一行的各元素与第三行对应元素的代数余子式的乘积,也即计算

a1 A3 ? b1B3 ? c1C3 的值.
5 解: (1) ?5 的余子式为

3 8

7 3 ,代数余子式为 ? 1 8

7 1



(2)按第一行展开,则

6 8 6 1 ? 3? ?5 2 ?5 4

3

6

7

1 4

? 6?

8 2

1 4

? 7?

8

6

2 ?5

? 3? 29 ? 6 ? 30 ? 7 ? ? ?52?
? ?457 .
(3)按第三列展开,则

8 6 3 8 6 1 ? 7? ? 1? 2 ?5 2 2 ?5 4

3

6

7

6 ?5

? 4?

3 8

6 6

? 7 ? ? ?52? ?1? ? ?27? ? 4 ? ? ?30?
? ?457 .
(4) a1 A3 ? b1B3 ? c1C3 ? 3 ?

6 7 3 7 3 6 ? 6? ? 7? 6 1 8 1 8 6

? 3? ? ?36? ? 6 ? ? ?53? ? 7 ? ? ?30?
? 0.

6.(Ⅲ级)求和

1 2

1 ?

1 4

1 ?

1 6

1 ???

1 2n

1
.

1 1 2

1 1 3

1 1 4

1 1 n ?1

5

6 解:令 ak ?

1 2k

1
( k ? 1, 2,?, n ) ,则

1 1 k ?1

ak ?

1 2k 1

1 1 k ?1 ?

1 1 1?1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? 1. 2k k ? 1 2 ? k k ?1 ?

∴原式 ? ? ? ?

?1 ?1 1 ? ? ?1 ? 1 1 ? ? ?1 ? 1 1 ? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ?2 ?1 2 ? ? ?2 ? 2 3 ? ? ? 2 ? n n ?1 ? ?

1 ?1 1 ? 1 ? 1 1 ? 1?1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ??n 2 ?1 2 ? 2 ? 2 3 ? 2 ? n n ?1 ?

1? 1 ? ?2n2 ? n ?n ? 2n ? 1? ? ?1 ? ?n ? ? ? 2 ? n ?1 ? 2 ? n ? 1? 2 ? n ? 1?
7.(Ⅲ级)计算下列各小题中的两个行列式,比较计算结果,得出每两个行列式之间的关系 式.

1 3 2
(1) 9

1 9 6

5 7 ,3 5 8 ; 6 8 4 2 7 4 1 3 2 1 9 6

解: (1) 9

5 7 ? 66 , 3 5 8 ? 66 , 6 8 4 2 7 4

两个行列式之间的关系式:把行列式的各行变为相应的列,所得的行列式与原行列式相等;

21

65

37

x

y

z

(2) 11 ? 20

9 , 204 62 34 ; 22 ? 40 18 102 31 17 21 65 37 x y z

解: (2) 11 ? 20

9 ? 0 , 204 62 34 ? 0 , 102 31 17 22 ? 40 18

两个行列式之间的关系式:行列式的两行的对应元素成比例,行列式的值为 0; (

6

3
(3) 1

0 9

4

3

0

4

2 ,k 9k 2k . 5 ? 7 11 5 ? 7 11 3 0 9 4 3 0 4

解:3) 1

2 ? 131 , k 9k 2k ? 131k , 5 ? 7 11 5 ? 7 11

两个行列式之间的关系式: 行列式的一行的所有元素同乘以某个数 k , 等于用数 k 乘以原行 列式. 8.(Ⅲ级)顶点为 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , C ? x3 , y3 ? 的 ?ABC 的面积等于行列式

x1 D ? x2 x3

y1

1

y2 1 的值的绝对值的一半.试用此结论: y3 1

(1)求以 ?1,1? , ? 3, 4 ? , ? 5, ?2? , ? 4, ?7 ? 为顶点的四边形的面积;

x
(2)证明:经过两点 P ( x1 , y1 ) 、 P ( x2 , y2 ) 的直线方程为 x1 1 2

y

1

y1 1 ? 0 . y2 1

x2

8 解: (1)如图 9-1 ,设 A ?1,1? , B ?3,4? , C ? 5, ?2? , D ? 4, ?7?

则 S ?ABC

1 1 ? 3 2 5
?9,

1 4 1 的绝对值 ? ?6 ? (?2) ? (?26)? 的绝对值 2 ?2 1

1 1

S ?CDA

1 1 ? 4 2 5
? 23 , 2

1 1 ? 7 1 的绝对值 ? ?2 1

1 ? (?5) ? (?1) ? 27 ? 的绝对值 2

所以所求四边形的面积为 S 的绝对值

四边形ABCD

? S?ABC ? S?CDA ? 9 ?

23 41 ? . 2 2

(2)任取直线 PP 上的点 P( x, y) , 1 2 则 P 、 P 、 P 三点共线,即 S?PP1P2 ? 0 1 2

7

x 1 x1 ∴ 2 x2

y

1

x x2

y

1

y1 1 ? 0 ,即 x1 y2 1

y1 1 ? 0 y2 1 x y 1 y1 1 ? 0 . y2 1

∴经过两点 P ( x1 , y1 ) 、 P ( x2 , y2 ) 的直线方程为 x1 1 2

x2

练习三:二元、三元线性方程组解的讨论
1.(Ⅰ (1)方程组 ? 级)

?3x ? 4 y ? 2 ? 0 的增广矩阵是 ?2 x ? y ? 0

.

1 解: (1) ?

? 3 ?4 2 ? ?, 0? ?2 1

? 4 x1 ? 3 x2 ? 2 x3 ? 17 ? (2)方程组 ? x1 ? x2 ? x3 ? 5 的增广矩阵是 ? x ? x ? ?7 ? 1 3 ? 4 ?3 ?2 17 ? ? ? 解(2) ? 1 ?1 1 15 ? ? 1 0 ?1 ?7 ? ? ?
2.(Ⅰ (1)增广矩阵为 ? 级)

.

? 3 ?2 5 ? ? 对应的线性方程组为 ? 4 1 14 ?

.

2 解: (1) ?

?3x ? 2 y ? 5 ?4 x ? y ? 14

? 2 ?3 0 1 ? ? ? (2)增广矩阵为 ? 0 5 ?1 2 ? 对应的线性方程组为 ? 0 ?3 4 6 ? ? ? ? 2 x1 ? 3 x2 ? 1 ? 解(2) ?5 x2 ? x3 ? 2 ? ?3 x ? 4 x ? 6 2 3 ? a1 ? a1 x ? b1 y ? c1 z ? d1 ? 3.(Ⅱ级)对于方程组(A) ? a2 x ? b2 y ? c2 z ? d 2 ,若记 D ? a2 ?a x ? b y ? c z ? d a3 3 3 3 ? 3
“方程组(A)有无穷多解” 的
8

.

b1 b2 b3

c1 c2 ,则“ D ? 0 ”是 c3

条件.

3 解:必要不充分 评注: D ? 0 时方程组还有可能是无解.

4.(Ⅱ级)对于方程组(A) ?

a1 ?a1 x ? b1 y ? c1 ,若记 D ? a2 ?a1 x ? b2 y ? c2
.

b1 c1 ,Dx ? b2 c2

b1 a1 , Dy ? b2 a2

c1 c2



则“方程组(A)无解”的充要条件是 4 解: D ? 0 且 Dx 、 Dy 至少有一个不为 0.

5.(Ⅱ级)解关于 x 、 y 的二元一次方程组 ?

?(m ? 1) x ? (2m ? 1) y ? 3m ? 0 .( m ? R ) ?(3m ? 1) x ? (4m ? 1) y ? 5m ? 4 ? 0

5 解:原方程组可化为 ?

?(m ? 1) x ? (2m ? 1) y ? 3m . ?(3m ? 1) x ? (4m ? 1) y ? 5m ? 4

D?

m ? 1 ? (2m ? 1) ? ?(m ? 1)(4m ? 1) ? (2m ? 1)(3m ? 1) ? 2m2 ? 4m ? 2m(m ? 2) 3m ? 1 ? (4m ? 1) 3m ? (2m ? 1) ? ?3m(4m ? 1) ? (5m ? 4)(2m ? 1) 5m ? 4 ? (4m ? 1)
? ?2m2 ? 6m ? 4 ? ?2(m ? 1)(m ? 2)

Dx ?

Dy ?

m ?1 3m ? (m ? 1)(5m ? 4) ? 3m(3m ? 1) ? ?4m2 ? 6m ? 4 ? ?2(m ? 2)(2m ? 1) 3m ? 1 5m ? 4

1? m ? x? ? ? m (1)当 m ? 0 且 m ? 2 时, D ? 0 ,方程组有惟一解: ? , 2m ? 1 ?y ? ? ? 2m ?
解集为 ??

?? 1 ? m 2m ? 1 ?? ,? ?? ; 2m ?? ?? m

(2)当 m ? 0 时, D ? 0 , Dx ? 0 ,原方程组无解; (3)当 m ? 2 时, D ? Dx ? Dy ? 0 ,原方程组有无穷多解. 这时方程组为 ?

?3x ? 3 y ? 6 ? 0 , ?7 x ? 7 y ? 14 ? 0

令 x ?t (t ? R ) ,则原方程组的解集可表示为
9

??t, 2 ? t ?? ( t ? R ).

6.(Ⅲ 级)已知等比数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,公比为 q . (1)求二阶行列式

a1 a2

a3 a4

的值;

(2)试就 q 的不同取值情况,讨论二元一次方程组 ? 穷多解? 6解:(1)

? a1 x ? a3 y ? 3 何时无解,何时有无 ? a2 x ? a 4 y ? ? 2

a1 a2

a3 a4 a1 a2

? a1a4 ? a2 a3 ? 0 a3 a4 ? 0 , Dx ? 3 a3 ?2 a4 ? q 2 (3q ? 2) , Dy ? a1 a2 3 ?2 ? ?(3q ? 2) .

(2) D ? 当q ? ?

2 时, D ? Dx ? Dy ? 0 ,原方程组有无穷多解; 3 2 当 q ? ? 时, D ? 0 ,但 D x ? 0,所以原方程组无解. 3

? mx ? y ? z ? 1 ? 7.(Ⅲ 级)求关于 x 、 y 、 z 的方程组 ? x ? my ? z ? m 有惟一解的条件,并把在这个条件 ? x ? y ? mz ? m 2 ?
下的解求出来. 7 解:方程组有惟一解的充要条件是系数行列式 D ? 0 ,

m 1 1
即 D ? 1 m 1 ? m ? 3m ? 2 ? ? m ? 1?
3 2

? m ? 2 ? ? 0 .得 m ? 1且 m ? ?2 .
m 1 1
2

1 1 m

1
此时 Dx ? m

1

1
2

m 1 ? ? ? m ? 1? ? m ? 1? , Dy ? 1 m 1 ? ? m ? 1? , 1 m2 m
2 2

m2 1 m
m 1 1 Dy ? 1 m 1 ? ? m ? 1? ? m ? 1? , 1 1 m

Dy D m ?1 1 D ? m ? 1? ? ∴x? x ?? ,y? ,z? z ? D m?2 D m?2 D m?2

2

10

? m ?1 ?x ? ? m?2 ? ? 1 因此方程组的解为 ? y ? m?2 ? 2 ? ? m ? 1? ?z ? m?2 ?

练习四:算法的含义
1.(Ⅰ级)算法是一种 问题解决 的程式,它可以是一个计算公式,也可以是一系 、 可行性 、 确定性、

列有序的操作步骤, 其具有一些共同的特征: 有限性 信息的输入和输出.

2.(Ⅰ级)算法的三种基本逻辑结构是顺序结构、 条件结构, 、 循环结构 .

3.(Ⅱ级)算法语句: “如果‘条件’成立,那么执行指令组 A ,否则执行指令组 B ” ,这种 语句叫做算法的 条件结构 .

4.(Ⅱ级)算法:第一步

x ? a ;第二步 若 b ? x 则 x ? b ;第三步 若 c ? x ,则 x ? c ;
(B)

第四步 若 d ? x ,则 x ? d ; 第五步 输出 x . 则输出的 x 表示 (A) a, b, c, d 中的最大值; (C)将 a, b, c, d 由小到大排序
2

(B) a, b, c, d 中的最小值 (D)将 a, b, c, d 由大到小排序

5.(Ⅱ级)用二分法设计一个求方程 x ? 2 ? 0 的近似解的算法. 第一步:令 f ( x) ? x ? 2 .给定精确度 d ;
2

第二步:给定区间 [ a, b] ,满足 f (a) f (b) ? 0 ; a?b 第三步:取中点 m ? ; 2 第四步:判断 f ( m) 是否为 0,若 f (m) ? 0 ,则 m 为零点,结束程序;若 f (m) ? 0 ,则 进入下一步; 第五步:若 f (a) f (m) ? 0 ,则含零点的区间为

[a, m]

,否则含零点的区间为

[m, b]

. 将新得到的含零点的区间仍然记为 [ a, b] ; 步.

第六步: 判断 [ a, b] 的长度是否小于 d .若是, m 是方程的近似解; 则 否则返回第 三 6.(Ⅲ级)下面给出了解决问题的算法:

S1 :输入 x ; S2 :若 x ? 1 ,则执行 S3 ,否则执行 S4 ; S3 :使 y ? 2 x ? 3 ;
11

S4 :使 y ? x2 ? 3x ? 3 ; S5 :输出 y .
当输入的 x 为何值时,输入值与输出值相等. 解:依据题意 y ? ?

?

2 x ? 3,

x ? 1, x ? 1.

2 ? x ? 3 x ? 3,

要使得输入值与输出值相等,则

?x ? 1 ?x ? 1 或(Ⅱ) ? 2 ? x ? 3x ? 3 ? x ?2 x ? 3 ? x 由(Ⅰ)得, x ?? ;由(Ⅱ)得, x ? 3
(Ⅰ) ? 综上所述, x ? 3 . 7.(Ⅲ级)写出求 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 999 ? 1000 的一个算法.

? ? 可 运 用 公 式 1 ? 2 ?3 ? n ?
n ? 1000 ,

n( n ? 1 ) 直 接 计 算 . 第 一 步 : 取 2 n( n ? 1 ) ,第二步: 计算 ,第三步: 2

输出计算结果. 8.(Ⅲ级)下面是一个计算机程序的操作说明: (1)初始值 x ? 1, y ? 1, z ? 0, n ? 0 ; (2) n ? n ? 1 (将当前 n ? 1 的值赋予新的 n ) ; (3) x ? x ? 2 (将当前 x ? 2 的值赋予新的 x ) ; (4) y ? 2 y (将当前 2 y 的值赋予新的 y ) ; (5) z ? z ? xy (将当前 z ? xy 的值赋予新的 z ) ; (6)如果 z ? 7000 ,则执行语句(7) ,否则回语句(2)继续进行; (7)打印 n, z ; (8)程序终止。 由语句(7)打印出的数值为___解: n ? 8, z ? 7682 . __________,_____________ . 9.(Ⅲ级)设 m 和 n 是两个不全为零的非负整数,求 m 和 n 的最大公约数. 9 解:算法 1(辗转相除法)第一步:判断 n 是否为 0,若 n ? 0 ,则 m 即为两数的最大 公约数,输出 m ;若 n ? 0 ,则执行第二步; 第二步:用 n 去除 m ,将所得的余数设为 r ; 第三步:用 r 和 n 的值分别替换 n 和 m ,返回第一步.

练习五:程序框图
1.(Ⅰ级)下列几个图形在流程图中分别代表什么框?

12

A

B
处理 (执行) 框

C
, 起止框

D
, 输入 (输出) 框 ,

A, B,C, D 分别代表
判断框 .

2.(Ⅰ级)下面程序语句执行后输出的是 i ?

5

,j?

8

.

i?2 j ?3 i ?i? j j ?i? j
第2题图

3. (Ⅱ级) 下面程序框图的算法功能是 虚线框表示 顺序 结构.

计算半径为 5 的圆的面积,



结束

结束

A ? 3 N ?1

r ?5
S ? ? r2
输出S
结束


打印A
N ? N ?1 N ? 10


结束

A ? A *( A ? 1)

第3题图

第4题图

4.(Ⅱ级)根据框图,写出所打印数列 ?an ? 的递推公式 解: ?

.

?a1 ? 3, ?an ? an ?1 (an ?1 ? 1), (2 ? n ? 10).

5.(Ⅱ级)如果执行下面的程序框图,那么输出的 S ? (A) 2450
开始

(

)

(B) 2500

(C) 2550

(D) 2652
开始

k ?1

S ?0 n?2

S ?0
k ? 50?

13

S ?S ?n



n?n?2

5 解: S ? 2 ?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? 2 ? 50 ?

50 ? (2 ? 100) ? 2550 2
( )

6.(Ⅲ级)给出如图的程序框图,则其循环体执行的次数是 (A) 49 (B) 50

(C) 99

(D) 100

6 解:本程序框图主要是一个条件判断.实际上,程序是要做如下的工作,计算

2 ? 4 ? 6 ? 8 ? ? ? 98 ,所以循环了 50 次. 选(B).
7.(Ⅲ级)如图所给的程序运行的结果为 S ? 132 ,那么判断框中应填入的关于 k 的判断条 件是
开始

.
S ? 1 i ? 12

7 解: k ? 10 (答案不唯一).



S ? S ?i

输出S
结束

i ? i ?1

第7 题图

8.(Ⅲ级)根据设计的求一个数 x 的绝对值的算法,画出相应的程序框图.

S1 :输入 x ; S2 :若 x ? 0 ,则 | x |? x ; S3 :若 x ? 0 ,则 | x |? ? x ; S4 :输出 | x | .

结束

14

第8题图

A ?1 S ? A
N ?0

? an ? 1, an ? 5, ? 9.(Ⅲ级)已知数列 {an } 满足 an ?1 ? ? 1 ? 3 an , an ? 5. ? 1 当 an ? 时,试设计一个求数列 {an } 前 100 项和的程序框图. 2
9 解:所求的程序框图如图所示

评注:这个程序框图中,有一个循环结构和一个条件结构,条件结构要检验变量 A 是 否大于 3,以确定是执行将变量 A 加 1 后赋值给 A ,还是将变量 A 除以 3 后赋值给 A ;而 循环结构是用以控制累加的次数, 由于第一次循环做的工作是 a1 ? a2 , 所以只要累加 99 次, 累加的结果放在变量 S 中.

练习六:数列的有关概念
8 15 24 1. (Ⅰ级)数列-1, ,? , ?的一个通项公式 an ? ??????????(D 5 9 7
A. (?1)
n



n2 2n ? 1

B. ( ?1)

n

n ( n ? 2) n ?1

C. (?1)

n

(n ? 1) 2 ? 1 2(n ? 1)

D. ( ?1)

n

n ( n ? 2) 2n ? 1

2. (Ⅰ级)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? n 2 ? 1 ,则这个数列的第 k 项 ak ?
2.当 k=1 时 a1 ? S1 ? 0 ;当 k ? 2 时 ak ? S k ? S k ?1 ? k 2 ? 1 ? (k ? 1) 2 ? 1 ? 2k ? 1



? 0 k ?1 ? ak ? ? ?2k ? 1k ? 2
3. (Ⅱ级)一个数列 ?an ? 中 a1 ? 3, a2 ? 6, an?2 ? an?1 ? an , 那么这个数列的第五项 )

是 ????????????????????????????????( A.6 B.-3 C.-12 D.-6 3.D 由 a1 , a 2 和递推公式,可计算出 a3 ? 3, a4 ? a3 ? a2 ? ?3, a5 ? a4 ? a3 ? ?6

4. (Ⅱ级)已知 S k 表示数列 ?an ? 的前 k 项和,且 S k ? S k ?1 ? ak ?1 (k ? N ? ) ,那么此数列

15

为??????????????????????????????????( A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D.摆动数列 4.C 由 S k ? S k ?1 ? S k ? S k ? ak ?1 得 S k ? 0 5. (Ⅱ级) 、已知数列 ?an ? 满足 S n ? an ? 2n ? 1 ,求 an ? 5. 由 S n ? an ? 2n ? 1 得 a1 ?

)

3 ,当 n ? 2 2

时 , S n?1 ? an?1 ? 2n ? 1 , 两 式 相 减 得 2an ? an?1 ? 2 , a n ? 2 ?

1 ?an?1 ? 2? , 故 2

?1? an ? 2 ? ?a1 ? 2?? ? ? 2?

n ?1

? 1 ?? 1 ? ? ? ? ?? ? ? 2 ?? 2 ?

n ?1

,故 an ? ? ?

? 1 ?? 1 ? ?? ? ? 2 ?? 2 ?

n ?1

?2

6.(Ⅲ级)已知 a n ?

n ? 79 n ? 80

, (n ? N * ) ,则在数列 ?an ? 的前 50 项中最小项和最大项分 )

别是??????????????????????????????????( A. a1 , a50 6.C 因为 a n ? 减函数 7. (Ⅲ级) 设数列 ?an ? 的通项公式为 a n ? A) ak ? ak ?3 ; 7. D B) ak ? ak ?4 ; B. a1 , a8 C. a8 , a9 =1 ? D. a9 , a50

n ? 79 n ? 80
=

n ? 80 ? 80 ? 79 n ? 80

80 ? 79 n ? 80

为关于 n ? 9 的单调递

2 ? cos

n? (n ? N * )又k ? N * 则 ( 3
D) ak ? ak ?6

) 。

C) ak ? ak ?5 ;

T?

2?

?

?6
*

8. (Ⅲ级)已知 ?an ? 是递增数列,且对任意 n ? N 都有 an ? n 2 ? ?n 恒成立,求实数 ? 的 取值范围。
2 8.解:因为 ?an ? 是递增数列,? an?1 ? an 恒成立,故: ?n ? 1? ? ? ?n ? 1? ? n ? ?n 恒成 2

立,? ? ? ?2n ? 1 ,故 ? ? ?3 9. (Ⅲ级) :已知数集 A ? ?a1, a2 ,?an ??1 ? a1 ? a2 ? ?an , n ? 2? 具有性质 P ;对任意的

i, j ?1 ? i ? j ? n? , ai a j 与

aj ai

两数中至少有一个属于 A .

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

(Ⅰ)分别判断数集 ?1,3, 4? 与 ?1,2,3,6? 是否具有性质 P ,并说明理由;

16

(Ⅱ)证明: a1 ? 1 ,且

a1 ? a2 ? ? ? an ? an ; ? ? a1?1 ? a2 1 ? ? ? an 1
.k.s.5. w. w.w. k. s.5.

(Ⅲ)证明:当 n ? 5 时, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 成等比数列.
u.c.o.m

9.(Ⅰ)由于 3 ? 4 与

4 均不属于数集 ?1,3, 4? ,∴该数集不具有性质 P. 3 6 6 1 2 3 6 由于 1? 2,1? 3,1? 6, 2 ? 3, , , , , , 都属于数集 ?1,2,3,6? , ∴该数集具有性质 P. 2 3 1 2 3 6

(Ⅱ)∵ A ? ?a1 , a2 ,?an ? 具有性质 P,∴ an an 与

an 中至少有一个属于 A, an
从而 1 ?

由于 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an ,∴ an an ? an ,故 an an ? A .

w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

an ? A ,∴ a1 ? 1 . an

w.w. w. k.s.5. u.c.o.m

∵ 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an , ∴ ak an ? an ,故 ak an ? A? k ? 2,3,?, n? . 由 A 具有性质 P 可知

an a a a a ? A ? k ? 1, 2,3,?, n ? .又∵ n ? n ? ? ? n ? n , an an ?1 a2 a1 ak
, 从 而



an a a a ? 1, n ? a2 ,? n ? an?1 , n ? an an an?1 a2 a1

w.w.w. k.s.5 .u. c

an a a a a ? a2 ? ? ? an n ? ? ? ?n ? ? a1 ? a ? ? ? an? ? an ,∴ ?11 1 ?1 ? an . 2 n ? an an?1 a a 2 a1 ? a2 ? ? ? an 1 1
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 n ? 5 时,有

w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

a5 a 2 ? a2 , 5 ? a3 ,即 a5 ? a2a4 ? a3 , a4 a3
, a3a4 ? A , A 具有性质 P 可知 ∴ 由

∵ 1 ? a1 ? a2 ? ? ? a5 , aa4 ? 2 4 a5 ∴ 3 aa ?
w.w. w. k.s.5 .u.c.o.m

a4 ? A. a3

2 由 a2a4 ? a3 ,得

a3 a4 a a a ? ? A ,且 1 ? 3 ? a2 ,∴ 4 ? 3 ? a2 , a2 a3 a2 a2 a3



a5 a4 a3 a2 ? ? ? ? a2 ,即 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 是首项为 1,公比为 a2 成等比数列. a4 a3 a2 a1

.k.s.5.

练习七.等差数列
1.Ⅰ级) ( 在等差数列 ?an ? 中, 5 ? a6 ? a7 ? a8 ? a9 ? 450,则 a3 ? a11 的值为? ( a
17

) 。

A)45,

B)75,

C)180,

D)300。

C a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? a9 ? 450

2. (Ⅰ级)已知三数成等差数列,其和为 21,平方和为 179,这三个数为
2. 3、7、11、或 11、7、3。解设三数为 a ? d , a, a ? d . 则 ? 解得 a ? 7, d ? 4,?4 故可得。



?

2 ??a ? d ? ? a ? ?a ? d ? ? 179 2 2

3a ? 21

3. (Ⅱ级) 一个等差数列 ?an ? 中, 已知
A)

a3 3 ? ,则 S 9 : S 5 的值是??????( a5 4
C)

) 。

9?a1 ? a9 ? 9a S 12 2 3. D 解: 9 ? ? 5 ? 5 S 5 5?a1 ? a5 ? 5a3 2

27 ; 20

B)

9 ; 4

3 ; 4

D)

12 。 5

4. (Ⅱ级)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S9 ? 72 ,则 a2 ? a4 ? a9 = 4. 24。解? S 9 ? 72 ?



9?a1 ? a9 ? ? 9a5 ? a5 ? 8 a2 ? a4 ? a9 ? a1 ? a5 ? a9 ? 3a5 ? 24 2

5. (Ⅱ级) 、已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ? n 2 ? 8n ,求: ⑴ 数列 {| a n | }的通项公式;⑵求数列 {| a n | }的前 n 项和 Tn 5. 解:∵ S n ? n ? 8n ∴ an ? S n ? S n?1 ? n 2 ? 8n ? (n ? 1) 2 ? 8(n ? 1) ? 2n ? 9 ∴ a1 ? S1 ? ?7, d ? 2 ∴ an ? 2n ? 9 ∴ Sn ? ?

? 8n ? n 2 ?n ? 8n ? 32
2

1? n ? 4 n ? 4时

6.(Ⅲ级)设 f ? x ? ?

1 2 ? 2
x

,利用课本中推导等差数列前 n 项和的公式的方法,可求得

f ?? 5? ? f ?? 4? ? ? ? f ?0? ? ? ? f ?5? ? f ?6? 的值为
6. 3 2 解: f ? x ? ?



1 2 ? 2
x

f ?x ? ? f ?1 ? x ? ?
2x
x

1 2 ? 2
x

?

1 2
1? x

? 2

?

1 2 ? 2
x

?

1 2 ? 2 2x

?

1 2 ? 2
x

?

22 ? 2
18

?

?

?

2 2

故.原式= 3 2

7. (Ⅲ级)已知等差数列 {a n } 中, S10 ? 10,S 20 ? 30 ,则 S 40 =_______________。 7.100.? S10 ? 10, S 20 ? 30,? S 20 ? S10 ? 20 , S 40 ?

4?10 ? 40 ? ? 100 2

8. (Ⅲ级)设等差数列的前 n 项为 sn ,已知 a3 ? 12, s12 ? 0, s13 ? 0 。 (1)求公差 d 的取值 范围; (2)指出 s1 , s2 ,?s12 中哪个值最大,并说明理由。

8.(1) a3 ? a1 ? 2d ? 12

12 ? 11 ? 11 ? ?S12 ? 12a1 ? 2 d ? 0 ?12 - 2d ? d ? 0 即? ? 2 13? 12 ?S13 ? 13a1 ? ?12 ? 2d ? 6d ? 0 d ?0 ? 2 ?

∴?

24 ? d ? ?3 7 n(n ? 1) d 5 d ? n 2 ? (12 ? d )n 2 2 2
∴对称轴 n0 ?

(2)方法 1: S n ? a1 n ? 由(1) ?

5 12 ? 2 d

24 ? d ? ?3 ∴ 6 ? n0 ? 6.5 7

∴当 n ? 6时(S6 )max . 即 ?

方法 2:设 S n 最大 则 ? ∴2 ?

?a n ? a1 ? ( n ? 1) ? 0 ? a n ?1 ? a1 ? nd ? 0

?12 ? 2d ? (n ? 1)d ? 0 ? 12 ? 2d ? nd ? 0

12 12 ? n ? 3? d d 12 12 ? 5 .5 3 ? ? 7 ∴ 5.5 ? n ? 7 由(1)有 2 ? d d
方法 3:∵ S12 ? 0 a1 ? a12 ? 0 故 a6 ? 0 ∴ (S6 )max

∴ n ? 6(S6 )max . ∴ a7 ? 0

∴ a6 ? a7 ? 0又a1 ? a13 ? 0

9. (Ⅲ级) :设数列 {an } 的通项公式为 an ? pn ? q(n ? N ? , P ? 0) . 数列 {bn } 定义如下:对 于正整数 m, bm 是使得不等式 an ? m 成立的所有 n 中的最小值. (Ⅰ)若 p ?

1 1 , q ? ? ,求 b3 ; 2 3
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(Ⅱ)若 p ? 2, q ? ?1 ,求数列 {bm } 的前 2m 项和公式;

(Ⅲ)是否存在 p 和 q,使得 bm ? 3m ? 2(m ? N ? ) ?如果存在,求 p 和 q 的取值范围;
19

如果不存在,请说明理由. (Ⅰ)由题意,得 an ? 9. 解: ∴

1 1 1 1 20 n ? ,解 n ? ? 3 ,得 n ? . 2 3 2 3 3

w.w. w. k.s.5. u.c.o.m

1 1 n ? ? 3 成立的所有 n 中的最小整数为 7,即 b3 ? 7 . 2 3
w.w.w. k.s.5.u .c.o.m

(Ⅱ)由题意,得 an ? 2n ? 1, 根据 bm 的定义可知
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

对于正整数,由 an ? m ,得 n ?

m ?1 . 2

b b 当 m ? 2k ? 1 时, m ? k k ? N * ; m ? 2 k 时, m ? k ? 1 k ? N * . 当

?

?

?

?

∴ b1 ? b2 ??? b2m ? ?b1 ? b3 ? ?? b2m?1 ? ? ?b2 ? b4 ? ?? b2m ?

? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? m ? ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? m ? 1? ? ? ? ?

m ? m ? 1? m ? m ? 3? ? ? m 2 ? 2m . 2 2 m?q . p

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

(Ⅲ)假设存在 p 和 q 满足条件,由不等式 pn ? q ? m 及 p ? 0 得 n ?

∵ bm ? 3m ? 2(m ? N ? ) ,根据 bm 的定义可知,对于任意的正整数 m 都有

3m ? 1 ?

m?q ? 3m ? 2 ,即 ?2 p? q? ?3p? 1 m?? p q ? ? p

对任意的正整数 m 都成立.

当 3 p ? 1 ? 0 (或 3 p ? 1 ? 0 )时,得 m ? ? 这与上述结论矛盾! 当 3 p ? 1 ? 0 ,即 p ?

p?q 2p ? q (或 m ? ? ) , 3 p ?1 3 p ?1

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

1 2 1 2 1 时,得 ? ? q ? 0 ? ? ? q ,解得 ? ? q ? ? . 3 3 3 3 3

∴ 存在 p 和 q,使得 bm ? 3m ? 2(m ? N ? ) ; p 和 q 的取值范围分别是 p ?

1 2 1 ,? ? q ? ? . 3 3 3

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

练习八.等比数列
1. (Ⅰ级)下列命题中,正确的有_____.⑴⑶__________。
⑴若数列 {a n } 是一个以 1 为公比的等比数列,则这个数列一定是等差数列; ⑵若数列 {a n } 是一个以 0 为公差的等差数列,则这个数列一定是等比数列; ⑶若数列 {a n } 既是等差数列,又是等比数列,则这个数列一定是常数列;

20

⑷若数列 {a n } 是常数列,则这个数列既是等差数列,又是等比数列。

2. (Ⅰ级)已知等比数列{ an }中,若 a1 ? a2 ? a3 ? 7, a1 ? a2 ? a3 ? 8 ,则 an
2. 解 ? a1 ? a3 ? a2 ,? a1 ? a2 ? a3 ? a2 ? 8,? a2 ? 2
2 3



从 而 ?

?a1 ? a 3 ? 5 ? a1 ? a 3 ? 4

解 得

a1 ? 1, a3 ? 4 或 a1 ? 4, a3 ? 1 当 a1 ? 1, q ? 2 , 当 a1 ? 4, q ?

1 ,故 an ? 2 n?1 , an ? 23?n 。 2

3. (Ⅱ级)等比数列{ an }的前 n 项和为 s n ,已知 S1 , S3 , S2 成等差数列
(1)求{ an }的公比 q; 3.解(Ⅰ)依题意有 (2)求 a1 - a3 =3,求 s n
w.w. w. k.s.5. u.c.o.m

w.w.w. k.s. 5.u.c.o.m

a1 ? (a1 ? a1q) ? 2(a1 ? a1q ? a1q 2 )
1 2

由于 a1 ? 0 ,故

2q 2 ? q ? 0

又 q ? 0 ,从而 q ? -

1 2 ( (Ⅱ) 由已知可得 a1 ? a1 ? ) ? 3 故 a1 ? 4 从而 S n ? 2

1 n (? ? ) 41( ) 8 1 n 2 ? (? ? ) 1( ) 1 3 2 1? ? ) ( 2

4. (Ⅱ级)数列 ?an ? 为等比数列,它的前 n 项和为 1023,其中最大的项为 768,前 2n 项的 和为 2
20

? 1 ,则此数列的公比 q=


n 10

4.解:由 S 2n ? (1 ? q n )S n 及 S 2n ? 220 ? 1, S n ? 210 ? 1 ,知 q ? 2 中最大项为 a n ?

? q ? 1? ,所以前 n 项

a1 n a 3 q ? 3 ? 2 8 , a1 ? q ??①,又由 S n ? 210 ? 1 ,知 1 ? ?1 ??②, q 4 1? q

由①、②,得 q ? 4

5. (Ⅱ级)某数列共有七项,其中奇数项成等差数列,偶数项成等比数列,且奇数项的和 比偶数项的积多 23 ,首项、末项与中间项的和为 13,求中间项。

b 5. 解:设 a ? 3d , , a ? d , b , a ? d , bq , a ? 3d q

?4a ? b 3 ? 23 ∴? ∴b ? 1 ? 2a ? b ? 13

6.(Ⅲ级)在平面直角坐标系中,设向量 AB ? a1 ,且 BC ? a2 , DA ? a3 , CD ? a4 , 且 an ? ?xn , y n ? ,数列 ?xn ? , ?y n ?分别是等差数列、等比数列,求证:四边形 ABCD

21

是平行四边形。 6. 解:归题意知 a1 ? a2 ? a 3 ? a4 ? 0 即 ? ∴ 4 x1 ? bd ? 0 ∴ x1 ? ?

? x 1 ? x 2 ? x3 ? x 4 ? 0 ∵ ?xn ? 为 A ? P ,设公差 ? y1 ? y 2 ? y 3 ? y 4 ? 0

3 d , ?yn ?是等比数列,设公比为 q ∵ a ? 0 2 3 3 2 3 ∴ y1 ? y1q ? y1q ? y1q ? 0 ∴ q ? ?1 ∴ a1 ? (? d , y1 ) , a 4 ? ( d ,? y1 ) 2 2
为d ∴ AB ? ?CD ∴AB∥CD 故四边形为平行四边形。

7. ( Ⅲ 级 ) 在 等 差 数 列

?an ?

中 , 若 a10 ? 0 , 则 有 等 式

a1 ? a2 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ? ? a19?n n ? 19, n ? N ? 成立。类比上列性质,相应的:在
等 比 数 列

?

?

?bn ?







b9 ? 1











____________________________________成立。 7. b1 ? b2 ?bn ? b1 ? b2 ?b17?n n ? 17, n ? N

?

?

?

8. Ⅲ级) ( 已知数列 ?an ? 为等差数列 (d≠0) ?an ? 中的部分项组成的数 ak1 , ak2 , ak3 ,?akn ? , 恰 好 为 等 比 数 列 , 其 中 k1 ? 1, k 2 ? 5, k3 ? 17 , 求 ( 1 ) kn ;( 2 证 明

k1 ? k 2 ? ? ? k n ? 3n ? n ? 1 。
8. 解 : ak1 ,ak 2 ,aks 成G ? P ∴ a5 ? a1 ? a17
2

∴ 由 a1 , a5, a17



?a1 ? 4d ?2 ? a1 (a1 ? 16d )
∴ a kn ? a k1 ? 3 ∴ kn ? 2 ? 3
n ?1

∴d ?

1 a1 2

而q ?

a5 a1 ? 4d ? ?3 a1 a1
a1 2

? a1 ? 3 n ?1 ? a1 ? (k n ? 1)d ? a1 ? (k n ? 1) ?

n?1

? 1(n ? N ? )

S n ? k1 ? k 2 ? ? ? k n ? 3n ? n ? 1

9. (Ⅲ级) (1)已知数列 ?an ? (n ? N *) 中, a1 ? 3 ,设 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 :

S n?1 ? 4an ? 1 .求证: ?an?1 ? 2an ? (n ? N *) 是等比数列;
22

( 2 ) 对 于 ( 1 ) 中 的 数 列 ?an ? , 证 明 : 存 在 等 差 数 列 ?bn ? 使 得
0 1 n n b1Cn ? b2Cn ? ? ? bn Cn ?1 ? bn?1Cn ? an 对于任意 n ? N * 都成立;

(3)研究(2)中的命题,进行推广或类比,写出你的一个研究成果,并 对结果是否正确加以说明.

(1)由已知可得: 9. 解:

an?2 ? S n?2 ? S n?1 ? 4(an?1 ? an ) , 所以 an?2 ? 2an?1 ? 2(an?1 ? 2an ) ,?1 分

a1 ? a2 ? 4a1 ? 1 ,所以 a2 ? 8 ,所以 a2 ? 2a1 ? 2 --------1 分
当 n ? 1 时,

an?2 ? 2an?1 ? 2 ,所以 ?an?1 ? 2an ? (n ? N * ) 是等比数列。?2 分 an?1 ? 2an

(2)a1 ? a2 ? 4a1 ? 1 , 所以 a2 ? 8 , 由 , (1) 可得 an?1 ? 2an ? (a2 ? 2a1 ) ? 2 n?1 ? 2 n ,

a n ?1 a n 1 a a 1 1 ?a ? ? n ? ,所以 ? n ? 是以 为公差的等差数列; n ? 1 ? (n ? 1) ? ,所 n ?1 n n 2 2 2 2 2 2 2 ?2 ?
以 an ?

n?2 n ? 2 ;?2 分 2

下面先找出等差数列 ?bn ? ,设公差为 d,如果等式成立则令 n ? 1, n ? 2 ,得到:
1 ?b1C10 ? b2 C1 ? a1 ?2b1 ? d ? 3 ? ,即 ? ,解得 bn ? n .?2 分 ? 0 1 2 ?b1C 2 ? b2 C 2 ? b3 C 2 ? a 2 ?4b1 ? 4d ? 8 ?

再验证 bn ? n 使得等式成立.
0 1 n n 设 Cn ? 2Cn ? ? ? nCn ?1 ? (n ? 1)Cn ? An?1 ,则 n n 1 0 m n (n ? 1)Cn ? nCn ?1 ? ? ? 2Cn ? Cn ? An?1 ,两式相加,根据组合数的性质 Cn ? Cn ?m ,有 0 1 n n (n ? 2)(Cn ? Cn ? ? ? Cn ?1 ? Cn ) ? 2 An?1 ,所以 An ?1 ?

n?2 n ? 2 ? a n ,所以,存在等差 2
*

0 1 n n 数列 ?bn ? 使得 b1Cn ? b2Cn ? ? ? bn Cn ?1 ? bn?1Cn ? an 对于 n ? N 都成立?4 分

(3)把(2)中的等差数列一般化,得到推广为:若数列 ?d n ?为等差数列,则
0 1 n n d1C n ? d 2 C n ? ? ? d n C n ?1 ? d n ?1C n ?

d1 ? d n ?1 n ? 2 .?2 分 2

23

用(2)的方法,倒序相加可得.?4 分 类比:把(2)中等差数列换成某个等比数列,如 d n ? 2 n?1 ,则有
0 1 n n d1Cn ? d 2Cn ? ?? d nCn ?1 ? d n?1Cn ? 3n (? d1 ? (1 ? 2) n ) (由二项式定理得)-----6 分

(说明:写出另一个具体的等差数列,或者是一般化的以 q 为公比的等比数列也可(
0 1 n n ) d1Cn ? d 2Cn ? ? ? d n Cn ?1 ? d n?1Cn ? d1 ? (1 ? q) n )

练习九: 简单的递推数列
2. (Ⅰ级)已知数列 {a n } 中, S n ? n 2 ? n ? 1 ,则 a n =____________________。
2. 当

n ? 1, a1 ? S1 ? 12 ? 1 ? 1 ? 1





n?2





n ?1 ? 1 2 an ? Sn ? Sn?1 ? n 2 ? n ? 1 ? ?n ? 1? ? ?n ? 1? ? 1 ? 2n ? 2 。 an ? ? ?2n ? 2 n ? 2

?a ? a ? an ( n 为正整数) 3. (Ⅱ级)若数列 n 中, a1 ? 3 ,且 n ?1 ,则数列的通项
2

an ?
2



3. a n ? a n ?1 ? a n ? 2

?

2 2

?

? ? ? a1

2 n ?1

。3

2n ?1

4.若数列 ?an ? 的前 8 项的值各异,且 an ?8 ? an 对任意的 n ? N 都成立,则下列数列 中可取遍 ?an ? 前 8 项值的数列为———————————( B )

? A? ?a2k ?1?

?B ? ?a3k ?1?

?C ? ?a4k ?1?

?D ? ?a6k ?1?

5. (Ⅱ级) 、已知数列 {a n } 中, a1 ?

1 , S n ? n 2 a n (n ? N ? ) ,求数列 {a n } 通项公式。 2
n ?1 a n ?1 , n ?1

5. 解:当 n ? 2, ?

?

?S n?1 ? ?n ? 1? a n?1
2

S n ? n 2 an

两式相减,得 ?n ? 1?an ? ?n ? 1?an?1 ,? a n ?

故 an ?

1 n?n ? 1?
24

6.(Ⅲ级)已知数列 {an } 满足: a4n?3 ? 1, a4n?1 ? 0, a2n ? an , n ? N? , 则 a2009 ? ____1____;

a2014 =______0___.

7. (Ⅲ级)数列 {a n } 中 S n ? 4a n?1 ? 1(n ? 2) ,且 a1 ? 1 ,若数列 {bn } 的通项 bn ? a n ?1 ? 2a n ,

(n ? N ? ) ,求数列 {bn } 的通项公式。
7. 解 : 当 n?3 ?

? S n ? 4a n?1 ? 1 两 式 相 减 , 得 an ? 4an?1 ? 4an?2 , 即 ?S n?1 ? 4a n?2 ? 1


an ? 2an?1 ? 2?an?1 ? 2an?2 ?

?bn?1 ? 2bn?2 , n ? 3



? bn ? b1 ? 2 n?1



? b1 ? a2 ? 2a1 ? 4 ? 2 ? 2 ,故 bn ? 2 n

8. (Ⅲ级)已知 f ( x) ? 2 x ?1, g ( x) ? ?2 x ,数列 {an }(n ? N ? ) 的各项都为整数,其前 n 项 ......

a 和为 Sn , 若点 (a2 n?1 , a2 n ) 在函数 y ? f ( x) 或 y ? g ( x) 的图象上, 且当 n 为偶数时, n ?
则 S80 的值为(B ) A. 810 B. 820 C.1020 D. 1080

n , 2

9 . Ⅲ 级 ) 已 知 , 数 列 an 有 a1 ? a, a2 ? p ( 常 数 p ? 0 ) 对 任 意 的 正 整 数 ( : ,

? ?

n, Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ,并有 S n 满足 S n ?
(1)求 a 的值;

n(a n ? a1 ) 。 2

(2)试确定数列 an 是不是等差数列,若是,求出其通项公式。若不是,说明理由; (3) 对于数列 bn , 假如存在一个常数 b 使得对任意的正整数 n 都有 bn ? b 且 lim bn ? b ,
n??

? ?

? ?

则 称 b 为 数 列 bn

? ? 的 “ 上 渐 进 值 ”, 令

pn ?

S n ? 2 S n ?1 , 求 数 列 ? S n ?1 S n ? 2

?p1 ? p2 ? ? ? pn ? 2n?的“上渐进值” 。

25

(1)由已知,得 s1 ? 9. 解: (2)由 a1 ? 0 得 S n ?

1 ? (a ? a) ? a1 ? a , ∴ a ? 0 2

nan (n ? 1)a n ?1 , 则 S n ?1 ? ,∴ 2(S n?1 ? S n ) ? (n ? 1)an?1 ? nan , 2 2

即 2an?1 ? (n ? 1)an?1 ? nan ,于是有 (n ? 1)an?1 ? nan ,并且有 nan?2 ? (n ? 1)an?1 , ∴ nan?2 ? (n ? 1)an?1 ? (n ? 1)an?1 ? nan , 即 n(an?2 ? an?1 ) ? n(an?1 ? an ) , 而 n 是正整数,则对任意 n ? N 都有 a n?2 ?an?1 ? an?1 ? an , ∴数列 ?an ? 是等差数列,其通项公式是 an ? (n ? 1) p 。 (3)∵ Sn ? n(n ? 1) p ? pn ? 2

(n ? 2)( n ?1) p ( n ?1) np 2 2 2 2 ? ? 2? ? (n ? 1)np (n ? 2)(n ? 1) p n n?2 2 2

∴ p1 ? p2 ? p3 ? ? ? pn ? 2n ? (2 ?

2 2 2 2 2 2 ? ) ? (2 ? ? ) ? ? ? (2 ? ? ) ? 2n 1 3 2 4 n n?2

? 2 ?1?

2 2 ;由 n 是正整数可得 p1 ? p2 ? ? ? pn ? 2n ? 3 , ? n ?1 n ? 2

并且有 lim( p1 ? p 2 ? ? ? p n ? 2n) ? 3 ,
n ??

∴ 数列 ?p1 ? p2 ? ? ? pn ? 2n? 的“上渐进值”等于 3。

练习十:数列的极限
1. (Ⅰ级) 下面给出的四个数列中极限存在的有??????????????( C 1 2 3 4 5 6 1 1 1 ① , , , , , ,? ② 0, ,0, 2 ,0, 3 , ? 2 3 4 5 6 7 2 2 2 1 ③3,-3,3,-3,3,-3,3? ④0.9,0.99,0.999,?, 1 ? n , ?, ? 10
A.1 个 2. (Ⅰ级) lim(n ?
n ??

)

B.2 个

C.3 个

D.4 个

n 2 ? 5n ? 7 ) n ?1

2.4.解: lim

n?n ? 1? ? n 2 ? 5n ? 7 4n ? 7 ? lim ?4 n ?? n ?? n ? 1 n ?1

3. (Ⅱ级)若 lim?5a n ? 4bn ? ? 7, lim?7a n ? 2bn ? ? 5 ,则 lim?6a n ? bn ? 等于?( D )
n ?? n ?? n ??

A. 1

B. 2

C. 3

D.6

26

3.D.解: lim?6a n ? bn ? =
n ??

1 1 lim?5a n ? 4bn ? ? lim?7a n ? 2bn ? ? 6 2 n ?? 2 n ??

2 3 2n ? ? 1 4. (Ⅱ级) lim? 2 ? 2 ? 2 ??? 2 ?? n ?? n ? 1 n ?1 n ?1 n ? 1? ?



1 ?2 ? ?1 ? 2n ? ? 2n ? 2 3 2n ? ? 1 ? ? lim n 4. lim? 2 =2 lim? ? 2 ? ??? 2 ?? n ?? n ? 1 n ? 1 n2 ? 1 n ? 1 ? n??? 2(n 2 ? 1) ? n?? 1 ? ? ? ?1 n2

5. (Ⅱ级)已知 lim
n??

3

n ?1

? ?a ? 1?
? lim
n ??

3n

n

?

1 ,求 a 的取值范围。 3
? 1 3
? ?1 ? a ?1 ?1 3

5.解: lim
n ??

3n ?1 ? ?a ? 1?

3n

1 ? a ?1? 3?? ? ? 3 ?
n

n

? ?4 ? a ? 2

6. (Ⅲ级)已知点 A? 0,

? ?

2? 2? 2 ? ? ? ? ,B ? 0,? ? , C ? 4 ? ,0 ? ,其中 n 为正整数,设 S n 表示 n? n? n ? ? ?

lim S ? ?ABC 外接圆的面积, 则 n ? ? n
6.解当 n ? ? 时点 A?0,0?, B?0,0?, C ?4,0? ,故 S=4



7. (Ⅲ级) lim

cosn ? ? sin n ? ? ,0 ? ? ? n n n ?? cos ? ? sin ? 2

4 ?1 cosn ? ? sin n ? ? ? ??0 7. lim ?? n ?? cosn ? ? sin n ? 4 ?? 1 ? ? ? ?? ? 4 2
8. (Ⅲ级) 已知正数列 {an } 前 n 项和为 S n , 如果 {an } 是一个首项为 a , 公比为 q(0 ? q ? 1)
2 2 2 的等比数列,且 Gn ? a1 ? a2 ? ? ? an ,求 lim

0 ?? ?

?

Sn . n?? G n
Sn 1 ? Gn a

8. 解:①当 q ? 1 时

S n ? na

Gn ? na2
27

∴ lim
n ??

②当 q ? 1 时

Sn ?

a 1? qn 1? q

?

?

Gn ?

a12 1 ? q 2 n 1? q2

?

? ?

∴ lim

Sn a 1? qn 1? q2 1 ? q n ?1 ? q ? 1 ? q ? lim 2 ? lim ? n?? G n?? a 1 ? q 2 n ? ? q ? n?? a 1 a 1 ? q 2n n

? ?

??

?

?

?

?

?

9. (Ⅲ级) 如图所示,已知 x 轴上的点列 An ?a,0? 中的 an 是首项为 p、公差为 1 的等差数 列,过 A2 k ?1 , A2 k , A2 k ?1 作 x 轴的垂线 l 2k ?1 , l 2 k , l 2k ?1 交函数 f ?x ? ? a x (常数 a 满足

0 ? a ? 1 )的图像于点 B2 k ?1 ,B2 k ,B2 k ?1 , B2 k 作 x 轴的平行线交 l2k ?1 及 l2k ?1 于点 C 2 k ?1 , 过

C 2 k ?1 ,记直角梯形 A2 k ?1 A2 k B2 k B2 k ?1 与 A2 k A2 k ?1 B2 k ?1 B2 k 的面积之和为 bk ,矩形 A2 k ?1 A2 k ?1 C 2 k ?1 C 2 k ?1 的面积为 ck .
⑶ 求证: ⑶若 a ?

?bk ?和 ?ck ?都是等比数列;⑵求证:对任意的 k ? N ? 都有 bk

? ck ;

1 ,求使得 lim?b1 ? b2 ? ? ? bk ? 36 ? n ?? 2

成立的最大整数 p 的值。 9. ⑴∵ An ?a n ,0? , an ? p ? ?n ? 1? , ∴ bk ? S A2k ?1A2kB2kB2k ?1 ? S A2 k A2k ?1B 2k ?1B 2k

?

1 p ? 2k ?2 1 1 a ? a p ? 2 k ?1 ? 1 ? a p ? 2 k ?1 ? a p ? 2 k ? 1 ? a p ? 2a p ?1 ? a p ? 2 a 2?k ?1? 2 2 2

?

?

?

?

?

?

ck ? S A2 k ?1A2 k ?1C2 k ?1C2 k ?1 ? 2 ? a p?2k ?1 ? 2a p?1 ? a 2?k ?1? ,所以 bk , ck 都是等比数列。
p p?2 ⑵∵ o ? a ? 1 ,∴ a ? a .

∴ a p ? a p?2 ? 2 a p ? a p?2 ? 2a p?1 .



1 p a ? 2a p ?1 ? a p ? 2 ? 2a p ?1 . ∵对任意 k ? N ? , 2

?

?

1 p a ? 2a p ?1 ? a p ? 2 ? a 2 ?k ?1? ? 2a p ?1 a 2?k ?1? ,∴ bk ? ck . 2 1 ⑶当 a ? 时, lim?b1 ? b2 ? ? ? bk ? n ?? 2

?

?

?

1 ?? 1 ? ?1? ?? ? ? 2 ? ? ? 2 ?? 2 ? ?2? ?
p

p ?1

?1? ?? ? ?2?

p?2

?1? 1? ? ? ?2?

2

? ? p ? 3 ?1? ?? ? ? ? ? 36 2 ?2?

即 ? ? ? 24 .所以满足条件的最大整数 p ? ?5.

?1? ?2?

p

28

练习十一:无穷等比数列各项的和
? ? r ?n ? 1. (Ⅰ级)若 lim ?1 ? ? ? ? ? 1 ,则 r 的取值范围是??????????( n ?? ? ?1? r ? ? ? ?
A. ?? ?,?1? B. ? ? 1,? ? )

? ?

1? 2?

C. ? ?

? 1 ? ,?? ? ? 2 ?

D. ? ,?? ?

?1 ?2

? ?

1.解:因为 lim ?1 ? ?
n ??

? ? ?

? r ? ? ?1? r ?

n

? ?? r ? n ? r 1 ? 1 ,? lim ?? ? 1 ,? r ? ? ? ? ? 0,? ? n ?? 2 1? r ? ?? 1 ? r ? ? ? ? ?

2. (Ⅰ级)设数列 ?an ? 是公比 q>0 的等比数列, S n 是它的前 n 项和,若 lim S n ? 9 ,则此
n ??

数列的首项 a1 的取值范围是 2.解:? lim S n ? 9,?
n ??



a1 a ?9 ,? 0 ? q ? 1,? 0 ? a1 ? 9 ? 9, q ? ? 1 1? q 9

3 (Ⅱ级) 已知无穷等比数列的首项为 1,且每一项都是它以后各项和的 k 倍,求 k 的取值范 ) 围.

4(Ⅱ级) x ? R ,且 lim

?

2 n?1 ? 3x n 1 1 1 ? 3 lim[1 ? ? ? ? ? (? ) n?1 ] ,求 x 的取值范围. n n n ?? 2 ? 3 x n ?? 2 4 2

4.解: a1 ?

a2 k 1 1 , -1 ? ? 1,? k ? ?2 或 k ? 0 ,?1 ? q ? kq , q ? 故 1? k 1? k 1? q
n ??

5(Ⅲ级)无穷等比数列{an}满足 lim(a1 ? a 2 ? ? ? a n ) ? 0.5 ,首项 a1 的范围



5.解: lim

2 n?1 ? 3x n 1 1 1 1 ? 3 lim[1 ? ? ? ? ? (? ) n?1 ] ?2 n n n ?? 2 ? 3 x n ?? 2 4 2 =3 1 ? 1 2
n

? x? 2 ? 3? ? n ?1 n 2 ? 3x ? 2 ? ? 2, -1 ? x ? 1,2 ? x ? 2 lim n ? lim ? n n n ?? 2 ? 3 x n ?? 2 x? ? 1 ? 3? ? ?2?
6. (Ⅲ级)数列 ?an ? 和 ?bn ? 中, a1 ? 2 ,且对任意自然数 n,3an?1 ? an ? 0, bn 是 an 与 a n ?1 的

29

等差中项,则 ?bn ? 的各项和是

2



6.解:

a1 1 ? ,? 2a1 ? 1 ? q,? q ? 1 ? 2a1 , ? 1 ? 1 ? 2a1 ? 1且1 - 2a1 ? 0 , 1? q 2

? 1? ?1 ? ? a 1 ? ? 0, ? ? ? , 1? ? 2? ?2 ? ;

a 1 ?1? 7. 解 由 3an?1 ? an ? 0, n?1 ? , 故 an ? 2 ? ? ? an 3 ? 3?
n n ?1

n ?1



2bn ? an ? an?1

4 ?1? ?1? ? 4 ? 2 ? ? ? bn ? ? ? ? 3 ? 3? ? 3?

4 ,s ? 3 ? 2 1 1? 3
3 ,再自由落下, 5

7 (Ⅲ级)一个弹性小球从 20 米高处自由落下,着地后又反弹到原来高度的 又弹回到上一次高度的

3 ,假设能无限次反弹,求此小球运动所经过的总路程. 5

2 ? ? 3 3 ? 3? 8. s ? 20 ? 2?20 ? ? 20 ? ? ? ? ?? ? 20 ? 40 ? ? 80 5 2 ?5? ? ? ? ?

9.





1



n ? 1, a ?

1 , n ? 2, sn ?1 ? 1 ? kan ?1 1? k



an ? sn ? sn?1 ? kan ? kan?1,?? k ?1? an ? kan?1
1 ? ,n ?1 ? 1? k ? 1, n ? 1 ? 当 k ? 0 时, an ? ? 当 k ? 0 时, an ? ? n ?1 ?0, n ? 2 ? 1 ?? k ? , n ? 2 ? ? ?1 ? k ? k ? 1 ? ?

k ? k ? (2) k ? 0 时,lim ? 1 当 当 k ? 0 时,sn ? 1 ? k ? an ? 1 ? ?? ? n?? 1 ? k ? k ?1 ? ;
由 lim sn ? 1,?
n ??

n ?1

? k ? ? 1? ? ? ? k ?1 ?

n

k 1 ? 1,? k ? 1? k 2

练习十二:数列的实际应用问题

1. (Ⅰ级)红旗汽车厂今年制造汽车 2 万辆,如平均每年的产量比上一年增加 5%,那么
从今年起,到第五年末该汽车厂总共生产了 1.解: S n ? 2 ? 2?1 ? 5%? ? ? ? 2?1 ? 5%? = 40 ?1 ? 5%? ? 1
4
5

辆汽车。

?

?
(D )

2. (Ⅰ级)某工厂去年产值为 a ,计划在以后五年内,每年比上一年增长 10 % ,则从今年起到第五年
末该工厂总产值为

A) 1.14 a

B) 1.15 a

C ) 10(1.15 ? 1)a

D ) 11(1.15 ? 1)a

30

3. (Ⅱ级)某市今年经统计拥有计算机 2 万台,如平均每年的拥有量比上一年增加 5%,那
么从今年起到第五年末,该市共拥有多少台计算机? 3 . an ? 2?1 ? 5%? 。
4

4. (Ⅱ级)根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告, 1999 年上海市完成 GDP ( GDP
是指国内生产总值) 4035 元, 2000 年上海市 GDP 的预期增长 9 % 。市委、市府提出本市常住人口每 年的自然增长率将控制在 0.08 % 。若 GDP 与人口均按这样的速度增长,则要使本市年人均 GDP 达到 或超过 1999 年的 2 倍,至少需要 9 年。 (按: 1999 年本市常住人口总数约 1300 万)

5. (Ⅱ级)某人今年年初向银行贷款 A 元,用于购房,银行为推动房改,贷款年利率为 r (按复利计算)若这笔贷款要求分 10 年等额归还,每年一次,十年还清(从借款次年开始 归还,借款后的十年全部还清) 。设每年应归还 X 元,试用 A,r 表示 X。 5. 解
10






10





A?1 ? r ? ? x ?1 ? r ? ? ?1 ? r ? ? ? ? 1 ? 0
10 9 8

?

?



? A?1 ? r ?

x ?1 ? r ? ? 1 Ar?1 ? r ? 。 ? ? 0 ,? x ? r ?1 ? r ?10 ? 1
10

?

?

6. (Ⅲ级) .某条铁路沿线,从起点站到终点站次建有 13 个等间隔的油库,并且每个油库 均储有一列火车能够承运的石油, 为了节约对油库的管理费用, 需要将各油库的石油集中到 一个油库进行管理,目前承运石油的火车处在起点站,问是否可以选择某个油库储油,使得 承运火车往返路最短?说明理由。 6. 解答:设起点站至终点站各油库依次为 A1 , A2 , A3 ?, A13 。且相邻两站的间隔路程 为 1。 若将石油集中到 An 站(1≤n≤13,n∈N) ,则各站火车运油往返路程构成数列:

n ? 1 , 2?n ? 2? , 2?n ? 3? ,?,2·1,0,2·1,2·2,?, 2?13 ? n ? 。

1 其和 S ?n? ? n ? 1 ? 2??n ? 2? ? ?n ? 3? ? ? ? 1? ? 2? ? 2 ? ? ? ?13 ? n??
? n ?1? 2 ?

?n ? 1??n ? 2? ? 2 ? ?14 ? n ??13 ? n ?
2 2

? n ? 1 ? n 2 ? 3n ? 2 ? n 2 ? 27n ? 182 ? 2n 2 ? 29n ? 183

29 ? ? ? 29 ? ? 2? n ? ? ? 183? ? ? 4? ? ? 4?

2

2

注意到 n∈N ∴当 n=7 时 S ?n ? 最小。

7. (Ⅲ级)某渔场养的鱼,第一年鱼的重量增长率为 200%,以后每年的增长率都是前一年增

31

长率的一半。(1)当饲养 4 年后,鱼的重量是原来的多少倍?(2)如果申于某种原因,每年损失 预计重量 10%,那么多少年后,鱼的重量开始减少? 7.(1)设原来的鱼重量为 a,第一年 a?1 ? 200%? ? 3a ,第二年 6a,9a, ( 2 ) 设 n 年 后 的 重 量 为 an , 第 n+1 年 a n ?1 ? a n ? ?1 ?

45 45 a ,故 4 年后是 倍。 4 4

? ?

1 ? ?, ?n ? 1? , 又 每 年 损 失 2 n?1 ?

10% ? a n ?1 ?

9 ? 1 ? a n ?1 ? n?1 ? 。 所 以 10 ? 2 ?

n

年 后 鱼 的 重 量 开 始 减 少 ,

? an ? an?1 , an ?

1 10 9 ? 1 ? an ?1 ? n?1 ? ,?1 ? n ?1 ? ,? 2 n ?1 ? 9,? n ? 5 9 2 10 ? 2 ?

8. (Ⅲ级)某企业有职工 1000 人,遵循“以人为本”的管理理念,为职工提供免费午餐, 午餐仅供应 A、B 两种盒饭。后勤管理人员为了达到“既节俭,又满足职工自由选择” ,因 此必须准确预测每天选用两种盒饭的人数,于是他们进行试验调查。经调查可知:在今天选 用 A 盒饭的人中明天仍选用 A 盒饭的概率为 饭的概率为

2 ;在今天选用 B 盒饭的人中明天仍选用 B 盒 5

3 。若今天先用 A 盒饭的人有 700 人,请你帮他们预测: 10

⑴ 明天选用 A 盒饭的人数;⑵若干天后选用两种盒饭的人数是否趋于稳定。 8. 解答:今天起第 n 天后选用 A 盒饭的人数为 an ,则选用 B 盒饭的人数为 1000- an 。 ⑴由题意有 a1 ? 700, a 2 ? a1 ?

2 7 ? ?1000 ? a1 ? ? ? 490 5 10

故明天选用 A 盒饭的人约有 490 人。 ⑵由题意有 a n ?1 ? a n ? 即 a n ?1 ?

2 7 3 ? ?1000 ? a n ? ? ? 700 ? a n 5 10 10

7000 3 3 ? 700 3? 7000? ? ? an ? ? ? ? an ? ? 13 10 13 10 ? 13 ?
2100 7000? ? 是等比数列且其首项为 13 13 ?
n ?1

∴ ?a n ?

? ?

∴ an ?

7000 2100? 3 ? ? ?? ? 13 13 ? 10 ?

n ?1

7000 2100? 3 ? 即 an ? ? ?? ? 13 13 ? 10 ?

,∴ lim a n ?
n ??

7000 ? 538 13

故若干天后选用 A 盒饭的人数稳定在 538 人,选用 B 盒饭的人数稳定在 462 人。

练习十三:数学归纳法
1. (Ⅰ级)数学归纳法的证明中,在验证了 n ? 1 时命题成立,假设 n ? k 时命题成立,这
32

里 k 的取值范围是 A. k ? R ? B. k ? 1, k ? N
1
?

( C C. k ? 1, k ? N
1 1
?

) 。

D. k ? 2, k ? N

?

? ? ??? ,则P ( k ? 1)为 _______________ . 2. (Ⅰ级) 设P(k ) ? k ?1 k ? 2 k ? 3 2k 1 1 ? 2. P?k ? ? 2k ? 1 2k ? 2

1

3. (Ⅱ级)用数学归纳法证明 (n ? 1)(n ? 2)...(n ? n) ? 2 n ? 1? 3....? (2n ? 1)(n ? N ? ) 时,
从 假设 n ? k 时 命题 成立 到导出 n ? k ? 1 时 命 题也成 立中 ,等式 左边 需增乘 的代数 式 是 。 3. 2?2k ? 1?

4. Ⅱ级) ( 求证 1(n ? 1 ) ? 2(n ? 2 ) ? ... ? n(n ? n ) ?
2 2 2 2 2 2

n 2 (n ? 1)(n ? 1) (n ? 2, n ? N ) 4
式 成 立 , 即

4. (1)当 n=2 时,左边=3,右边=3,等式成立。 (2) 假 设 当 n=k 时



1(k 2 ? 12 ) ? 2(k 2 ? 2 2 ) ? ... ? k (k 2 ? k 2 ) ?
n=k+1

k 2 (k ? 1)(k ? 1) (k ? 2, k ? N ) , 那 么 当 4
时 ,

1 ?k ? 1? ? 12 ? 2 ?k ? 1? ? 22 ? ? ? k ?k ? 1? ? k 2 ? ?k ? 1??k ? 1? ? ?k ? 1?
2 2 2 2

?

? ?

?

?

?

?

2

?

=

1(k 2 ? 12 ) ? 2(k 2 ? 2 2 ) ? ... ? k (k 2 ? k 2 ) ? (2k ? 1)?1 ? 2 ? ? ? k ? ?
2

k 2 (k ? 1)(k ? 1) ) 4

k ?k ? 1? ?k ? 1? k ?k ? 2? + ?2k ? 1? = 2 4

即当 n ? k ? 1 时等式也成立。

根据(1)(2)可以断定,等式对于任何自然数 n 都成立。 、 5. (Ⅱ级)求证: 4 ? 6 ? 5
n n?1

? 9 n ? N ? 能被 20 整除。

?

?

n n ?1 5. 解:⑴当 n ? 1 时, 4 ? 6 ? 5 ? 9 ? 40 ,能被 20 整除,即 n ? 1 时命题成立。 k k ?1 ⑵假设当 n ? k 时,命题成立,即 4 ? 6 ? 5 ? 9 能被 20 整除,则当 n ? k ? 1 时,

4 ? 6 k ? 5k ?1 ? 9 ? 6 4 ? 6 k ? 5 ? 5k ?1 ? 9 ? 5 4 ? 6 k ? 5k ?1 ? 9 ? 4 6 k ? 9 。
k k k k ∵ 6 的末位数为为 6.∴ 6 ? 9 的末位数为 5, 从而 6 ? 9 能被 5 整除, 4(6 ? 9) ∴

?

?

?

? ?

?

33

能被 20 整除, 4 ? 6 k ? 5 k ?1 ? 9 能被 20 整除, 5 4 ? 6 k ? 5k ?1 ? 9 ? 4 6 k ? 9 能 又 ∴ 被 20 整除。即 4 ? 6 k ?1 ? 5 k ? 2 ? 9 能被 20 整除。∴当 n ? k ? 1 时,命题成立。 由⑴、⑵可知,对一切 n ? N ? ,命题均成立。 6. (Ⅲ级)设 f ( x ) 是定义在正整数集上的函数,且 f ( x ) 满足: “当 f (k ) ? k 2 成立时, 总可推出 f (k ? 1) ? (k ? 1)2 成立” ,那么下面命题总成立的是 A,若 f (3) ? 9 成立,则对于任意 k ? 1 ,均有 f (k ) ? k 2 成立 B,若 f (5) ? 25 成立,则对于任意 k ? 5 ,均有 f (k ) ? k 2 成立
2 C,若 f (7) ? 49 成立,则对于任意 k ? 8 ,均有 f (k ) ? k 成立

?

? ?

?

( D



D,若 f (4) ? 25 成立,则对于任意 k ? 4 ,均有 f (k ) ? k 2 成立

7












2



1 ? 2 2 ? 2 ? 32 ? ? ? n?n ? 1? ?

n?n ? 1? an 2 ? bn ? c 12







a



b



c

使







?

?
?a ?3 ? , 解 得 ?b ? 11 , 故 可 得 ?c ? 10 ?

对一切自然数 n 均成立?并证明你的结论。

? a ? b ? c ? 24 ? 7. 解 : 据 题 意 : 当 n ? 1,2,3 时 , 有 ?4a ? 2b ? c ? 44 ? 9a ? 3b ? c ? 70 ?
1 ? 2 2 ? 2 ? 3 2 ? ? ? n?n ? 1? ?
2

n?n ? 1? 2 3n ? 11n ? 10 12 1?1 ? 1? 3 ? 12 ? 11 ? 1 ? 10 =4,等式显然成立。 证明: (1)当 n=1 时,左边=4,右边= 12

?

?

?

?

(2)






2

n=k

k ? N?

















,

k ?k ? 1? 2 3k ? 11k ? 10 那 么 当 n=k+1 时 , 12 k ?k ? 1? 2 2 2 1 ? 2 2 ? 2 ? 3 2 ? ? ? k ?k ? 1? ? ?k ? 1??k ? 2? ? 3k ? 11k ? 10 ? ?k ? 1??k ? 2?2 12 ?k ? 1??k ? 2? ?k ?3k ? 5? ? 12?k ? 2?? = ?k ? 1??k ? 2? 3?k ? 1?2 ? 11?k ? 1? ? 10 , 即 当 = 12 12 n ? k ? 1 时等式也成立。 1 ? 2 2 ? 2 ? 3 2 ? ? ? k ?k ? 1? ?

?

?

?

?

?

?

根据(1)(2)可以断定,等式对于任何自然数 n 都成立。 、

8 ( Ⅲ 级 )

n 2 (n ? 4, n ? N * ) 个 正 数 排 成 一 个 n 行 n 列 的 矩 阵 : 即

34

? a11 ? ?a A ? ? 21 ? ? ?a ? n1

a12 a 22 an2

? a1n ? ? ? a2n ? 其中 aik (1 ? i ? n,1 ? k ? n, 且i, k ? N * ) 表示该数列中位于第 ?, ? ? a nn ? ?

i行第k列的数,已知该数阵每一行的数成等差数列,每一列的数成公比为2的等比数列, 且 a23 ? 8, a34 ? 20 . (1)求 a11和aik ;

(2)计算行列式

a11 a 21

a12 aim , a 22 a jm

aim aik ; a jm a jk ahm

ain a jn ahn

aik a jk ahk

(3)设 An ? a1n ? a2( n?1) ? a3( n?2) ? ?? an1 ,证明:当 n 为 3 的倍数时, ( An ? n) 能被 21 整除.

8. 解: (1)设第一行公差为 d,则 aik =[ a11 +(k-1)d]·2i 1, ∵ a23 =8, a34 =20,∴ ?




?2(a11 ? 2d ) ? 8 ,解得: a11 =2,d=1. ∴ a11 =2,aik =(k ?4(a11 ? 3d ) ? 20

+1) i 1.( 1 ? i ? n , 1 ? k ? n ,n≥4,且 i, k , n ? N * ) ·2 。 (2)均等于 0。 (3) An ? a1n ? a2( n?1) ? a3( n?2) ? ? ? an1 ? (n ? 1) ? 20 ? n ? 21 ? (n ? 1) ? 2 2 ? ? ? 2 ? 2 n?1 , 于 是

2 An ? (n ? 1) ? 21 ? n ? 22 ? (n ? 1) ? 23 ? ? ? 2 ? 2n













An ? ?(n ? 1) ? 20 ? 21 ? 22 ? ? ? 2n?1 ? 2 ? 2n ? 3 ? 2n ? n ? 3 ,? An ? n ? 3 ? 2n ? 3 。
下面用数学归纳法证明:当 n 是 3 的倍数时, n+n)能被 21 整除. (A * 设 n=3m(m ∈N ,m≥2) ,则 An+n=A3m+3m=3· 3m-1) (2 ①当 m=2 时,A6+6=3· 6-1)=21·9 能被 21 整除. (2 * ②假设当 m=k(k∈N ,k≥2)时, 3k+3k)能被 21 整除,即 3· 3k-1)能被 21 整除, (A (2 ( + ) 那么 A3(k+1)+3(k+1)=3·[23 k 1 -1]=3· (8·23k-1) =8·[3· 3k-1)]+21. (2 由归纳假设,3· 3k-1)能被 21 整除, (2 这就是说,当 n=k+1 时,A3(k+1)+3(k+1)能被 21 整除. 根据(1)和(2) ,可知命题对任何 m∈N*,m≥2 都成立.

练习十四:归纳-猜测-论证
1. (Ⅰ级)观察下列式子: 1 ?
1 3 1 1 5 1 1 1 7 ? ,1 ? 2 ? 2 ? ,1 ? 2 ? 2 ? 2 ? , L 。则可归 2 2 2 2 3 3 2 3 4 4

35

纳出

1. 1 ?

1 1 1 2n ? 1 ? 2 ?L ? ? 2 2 2 3 ? n ? 1? n ? 1



2. (Ⅰ级)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如:

w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数; 类似的,称图 2 中的 1,4,9,16,…这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正 方形数的是 (C) A.289 B.1024 C.1225 D.1378

3. (Ⅱ级) 有浓度为 a%的酒精满共 m 升,每次倒出 n 升(n<m),再用水加满,一 共倒了 10 次,加了 10 次水后,瓶内的酒精浓度为

n? ? ?1 ? ? ? a% ? m?

10



4. (Ⅱ级)顺次计算数列 1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,?的前四项的值。 4. 解: 容易看出,1= 1 ,1+2+1= 2 ,1+2+3+2+1= 3 ,1+2+3+4+3+2+1= 4 从而猜想 an =1+2+3+4+?+(n-1)+n+(n-1)+4+3+2+1= n 2 下面用数学归纳法证明 (1)当 n=1 时,等式显然成立。 (2) 假 设 当 n=k 时 等 式 成 立 , 即 an ? k 2 , 那 么 当 n=k+1 时 ,
2 2
2

2

ak ?1 =1+2+3+…+k+(k+1)+k+…+3+2+1 = ak +(k+1)+k = k 2 +2k+1= (k ? 1) 2 等式也成立。
根据(1)(2)可以断定,等式对于任何自然数 n 都成立 、 由此猜测 an =1+2+3+?+(n-1)+n+(n-1)+?+3+2+1 的结果,并用数学归纳法加以证明。 5. (Ⅱ级)已知数列 {an } 中 a1 ? 2, an ?

an ? 1 ( n ? 2) ; 2an?1 ? 1

(1)求 a2 , a3 , a4 的值,并猜想 an 的表达式; (2)用数学归纳法证明 an 的表达式。

36

5.解;因为 a1 ? 2, an ?

an ? 1 ( n ? 2) 2an?1 ? 1

? a2 ?

a3 a1 a2 2 2 2 2 ? , a3 ? ? , a4 ? ? ,? ,猜想: a n ? 4n ? 3 2a1 ? 1 5 2a2 ? 1 9 2a3 ? 1 13

2 ? 2 ,结论显然成立。 4?3 2 (2) 假 设 当 n=k 时 结 论 成 立 , 即 a k ? , 那 么 当 n=k+1 时 , 4k ? 3 2 ak 2 2 ,即当 n ? k ? 1 时结论成立。 ? ak ?1 = ? 4k ? 3 = 2 4k ? 1 4?k ? 1? ? 3 2a k ? 1 2 ?1 4k ? 3
下面用数学归纳法证明 (1)当 n=1 时, a1 ? 根据(1)(2)可以断定,等式对于任何自然数 n 都成立。 、 6. (Ⅲ级)把数列{an}的所有项按照从小到大的原则写成如图所示 的数表:其中,an=2n-1,且第 k 行有 k 个数,第 t 行的第 s 个数(从 左数起)记为 A(t, s),则 A(m,1)= m2–m+1 。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 ???? 第 6 题图

7. (Ⅲ级)已知数列{ an }的通项公式 an ?

1 ,n? N? (n ? 1) 2

记 f (n) ? (1 ? a1 )(1 ? a2 )(1 ? a3 )?(1 ? an ) 通过计算 f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的值猜想 f(n)的表达式,并证明你的结论。 7 解 : 依 题 意 知 f ?1? ? ? 1 ? a ? ? 1 ? 1

1 3 3 8 2 4 ? , f? ? 2 ? ? 1 1?? 1 ? a ? a ? ? ? ? ,? 2 4 4 4 9 3 6 3 8 15 5 f ? 3? ? ?1 ? a1 ??1 ? a2 ??1 ? a3 ? ? ? ? ? 4 9 16 8 3 8 15 24 3 6 f ? 4 ? ? ?1 ? a1 ??1 ? a2 ??1 ? a3 ??1 ? a4 ? ? ? ? ? ? , ? , 猜 想 : 4 9 16 25 5 10

f ? n? ?

n?2 2 ? n ? 1?
1? 2 3 3 ? 等式显 , f ?1? ? 4, 2?1 ? 1? 4

下面用数学归纳法证明 (1)当 n=1 时, f (1) ? (1 ? a1 ) ? 然成立。 (2) 假 设 当 n=k 时 等 式 成 立 , f ?k ? ?

k?2 , 那 么 当 n=k+1 时 , 2?k ? 1?

37

f ?k ? 1? ? f ?k ??1 ? a k ?1 ? ?

k ?2 ? 1 ? k ?3 ?1 ? ?? ,即当 n ? k ? 1 等式也成立。 2 ? 2?k ? 1? ? ?k ? 2? ? 2?k ? 2? ?

根据(1)(2)可以断定,等式对于任何自然数 n 都成立。 、

8. (Ⅲ级)已知 f ?n ? ? 2n ? 1, g ?n ? ? ?

3, 当n ? 1时; n ? N ? ,求 g ?n ? 。 f ?g ?n ? 1?? 当n ? 2时, ? ?

?

?

8. 解答: g ?1? ? 3 ? 2 2 ? 1, g ?2? ? f ?g ?1?? ? f ?3? ? 7 ? 23 ? 1,

g ?3? ? f ?g ?2?? ? f ?7? ? 15 ? 2 4 ? 1, g ?4? ? f ?g ?3?? ? f ?15? ? 31 ? 25 ? 1 ,?,
猜想: g ?n? ? 2
n ?1

? 1。

下面运用数学归纳法进行证明: ①当 n ? 1 时,猜想已成立。 ②假设 n ? k (k ? N ) 时猜想成立,即 g ?k ? ? 2 k ?1 ? 1 ,则 n ? k ? 1 时,
?

g ?k ? 1? ? f ?g ?k ?? ? f 2 k ?1 ? 1 ? 2 2 k ?1 ? 1 ? 1 ? 2 k ?2 ? 1 ,
? n ?1 ∴ n ? k ? 1 时,猜想成立,∴对一切 n ? N , g ?n? ? 2 ? 1均成立。

?

? ?

?

?

?

9. (Ⅲ级) 已知一幂函数与其反函数为同一函数 y ? f ?x ? ,且 y ? f ?x ? 在(0,+∞)上 单调递减,记 S ?n? ? f ?1? ? f ?2? ? ? ? f ?n? 。 (1)分别求出不等式 S ?m? ? 1 ? S ?1? , S ?k ? ? 1 ? S ?2? 各自成立的最小自然数 m 及 k; ⑵求最小自然数 a,使对一切 n ? N ,不等式 S ?3n ? a ? ? 1 ? S ?n?成立。

注:Ⅰ级:记忆性水平 ; Ⅱ级:解释性理解水平 ; Ⅲ级:探究理解水平
1 ? f ?x ? ? x a ? f ?1 ? x ? ? x a ? 9.⑴设 ? ? f ?x ? ? f ?1 ?x ? ?

? a ? ?1 ? 1 ? ? a ? ?1即f ?x ? ? x f ?x ?在?0,??? ??
1 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? S ?1? ? 2 3 ??m?4 1 1 1 S ?4? ? 1 ? ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? S ?1?? 2 3 4 ? S ?3? ? 1 ?

1 1 1 ? S ?n ? ? 1 ? ? ? ? ? 2 3 n

38

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S ?6? ? 1 ? S ?2?? ??k ?7 S ?7? ? 1 ? S ?2??

39


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