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08 函数的最值与值域


08.函数的最值与值域 改编:周海军 【知识要点】 求函数值域(最值)的一般方法: 1.部分分式法、反求法; 2.配方法(二次函数或可转化为二次函数的函数) ; 3.不等式法(利用基本不等式,尤其注意形如 y ? x ? 4.换元法; 5.判别式法(分式函数,定义域为 R ) ; 6.函数单调性法. 【课前预习】 1. y ? x ? 2 x ? 1 的值域是 , y ? x ?

2 1 ? x 的值域是 . k (k ? 0) 型函数) ; x 3x 2.函数 y ? x 的值域是 3 ?1 3.①函数 y ? sin x ? 2 . 4 的值域是 sin 2 x 2 ;②函数 y ? x 的值域是 x ?1 2 . 4.函数 y ? log1 (3 ? 2 x ? x ) 的值域为 2 . 5.若 x ? ( y ? 2) ? 1 ,则 3x ? 4 y 的最大值为 2 2 . 6.函数 y ?| x ? 3 | ? | x ? 1 | 的最大值为 ,最小值为 . 【典例剖析】 例 1.求下列函数的值域 ① y ? ?x ? 1? x2 ② f ( x) ? ? ?? 2 x ? 3( x ? 1) 2 ? x ( x ? 1) ③ f ( x) ? 2 x ? 2 1 3 x , x ? [?2,2] 3 ④y? x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) x ?1 例 2(1)已知函数 f ( x) 的值域是 [ , ] ,求 g ( x) ? f ( x) ? 1 ? 2 f ( x) 的值域. 3 4 8 9 1 (2)若 y ? ax ? b 的值域为 [?1,5] ,求实数 a , b 的值. x2 ?1 例 3.已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx(a ? 0) 满足条件: f (5 ? x) ? f ( x ? 3) 且方程 f ( x) ? x 有等根, (1)求 f ( x) 的解析式; (2)是否存在实数 m、n(m ? n) ,使得 f ( x) 的定义域为 [m, n] ,值域为 [3m,3n] .如果存在,试求出 m、n 的值;如果不存在,请说明理由. 【作业反馈】 1.函数 f ( x ) ? x ? 1 ( x ? 3) 的值域为 x?3 . 2.已知 f ( x) ? 2 x3 ? 6x 2 ? a(a是常数) , 在 [?2,2] 上有最大值 3, 那么在 [?2,2] 上的最小值是 . 3.已知函数 y ? x 2 ? 2x ? 3 在区间 [0, m] 上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围是 . 4.若 x 2 ? y 2 ? 1 ,则 y?2 的最小值是 x ?1 ; x y ? 的最大值是 3 4 . ? 2 ? x ? 2 x ? 3( x ? ?1) ? 5.函数 f ( x) ? ? 2 x ? 3(?1 ? x ? 1) 值域为 ? 1 ? 2( x ? 1) ? x ? ;若 f (a) ? 1 ,则 a 的取值范围为 . 6.已知函数 y ? lg(ax2 ? 2 x ? 1) 的定义域为 R ,则实数 a 的取值范围是 . 7.设 x ? R , 若三个函数 y ? 4 x ? 1, y ? ?2 x ? 4, y ? x ? 2 中的最小值记为 y ? f ( x) , 则函数 y ? f ( x) 的 最大值为 . 8. y ?| 2 x ? a | 的单调递增

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