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几个三角恒等式1


创设情境 sin(?+? )=sin? cos?+cos? sin?, sin(?-? )=sin? cos?-cos? sin?. 以上是用?,? 的正余弦表示它们和(差) 的正弦,反之,能否用

?+? 和?-? 的正弦表示? 和? 的正弦、余弦
呢?能否用?+? 和?-? 的 正弦表示 sin?cos? 和 cos?sin? 呢?

? ?? ? ?? ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? 2sin cos ? 3 ?3 ? ?3 ?

问题1:右边的两个角如何用左边的两个角表 示? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
问题2:通过类比,对任意两个角,应该等于 什么?运用已知的公式加 以推导验证.
sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? 2sin ? cos ?
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

设 ? ? ? ? x ,? ? ? ? y ,则 ? ? 2 x? y x? y sin x ? sin y ? 2sin cos 2 2

x? y

,? ?

x? y ,公式(1) 可以写成: 2

公式实际上还可以变形成
cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

1 sin ? cos ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

回忆两角和与差的三角函数公式:
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

由公式(1)的推导过程,请进行类比,写出所有的积化和差的公式:
cos ? cos ? ? 1 [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )] 2 1 sin ? sin ? ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )] 2

sin ? cos ? ?

cos ? sin ? ?

1 [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2

1 [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2

cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? 2cos ? cos ?

cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ?2sin ? sin ?

sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? 2sin ? cos ?

sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? 2cos ? sin ? 这组公式称为三角函数的积化和差公 式.只要求熟悉公式结构,

再通过换元,整理和差化积公式 x? y x? y
sin x ? sin y ? 2 sin 2 cos 2

sin x ? sin y ? 2 cos

x? y x? y sin 2 2 x? y x? y cos x ? cos y ? 2 cos cos 2 2 x? y x? y cos x ? cos y ? ?2 sin sin 2 2

数学运用
sin ? ? 2 tan

?
2 ,

1 ? tan2

?

cos? ?

1 ? tan2 1 ? tan2

? ?
2, 2 tan? ?

2 tan

?
2

2

1 ? tan2

?
2

例1. 证明下列各式:

例2. 求证:

sin 3? ? 4 sin ? sin(60? ? ? ) sin(60? ? ? )

1 sin x ? cos x ? , 求 sin 3 x ? cos 3 x的值 2

例3.已知

sin 3? sin 3 ? ? cos3? cos3 ? ? cos3 2?

练习
(1)证明
1 ? sin x ? x ? tan( ? ) cos x 4 2

1 2

?

1 3

(2)已知cos? ? cos ? = ,sin? ? sin? = 求sin(? + ?)、tan(? + ?) 的值.



小结
(1)本节重点学习了两组公式,不要求记住这
两组公式,但要学会运用这些公式进行三角函

数和差与积的互化,并能够运用公式解决求值、
化简和证明等问题. (2)化积的问题注意最后结果的形式要写成几 个三角函数的积的形式. (3)推导公式的过程中用了换元法,这是一种


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