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高三立体几何复习第二讲


高三复习立几第二讲
(一)直线和平面平行
基础过关 1.直线和平面的位置关系 、 、 . 直线在平面内,有 公共点. 直线和平面相交,有 公共点. 直线和平面平行,有 公共点. 直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外. 2.直线和平面平行的判定定理 如果平面外 和这个平面内 平行,那么这条直线和这个平面平行. (记忆口诀:线线平行 线面平行) 3.直线

和平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面 , 经过 平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平 行.(记忆口诀:线面平行 线线平行)

典型例题 例 1.如图,P 是 ? ABC 所在平面外一点,M ? PB, 试过 AM 作一平面平行于 BC,并说明画法的理论依据. M A B 变式训练 1:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1B 和 AC 上的点,且 A1M= AN. 求证:MN∥平面 BB1C1C. C

P

例 2. 设直线 a∥ ? ,P 为 ? 内任意一点,求证:过 P 且平行 a 的直线 ? 必在平面 ? 内.

变式训练 2: 求证: 如果一条直线和两个相交平面都平行, 那么这条直线和它们的交线平行.

1

例 3. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧菱 PD⊥底面 ABCD,PD= DC,E 是 PC 的中点. ( 1 ) 证明:PA∥平面 EDB; P ( 2 ) 求 EB 与底面 ABCD 所成的角的正切值. E C D A B

变式训练 3:如图,在四面体中截面 EFGH 平行于对棱 AB 和 CD,试问:截面在什么位置时,其截面的面积最大?

A E F B G C H D

例 4.已知: ? ABC 中, ? ACB=90° ,D、E 分别为 AC、AB 的中点,沿 DE 将 ? ADE 折 起使 A 到 A'的位置,若平面 A'DE⊥面 BCDE,M 是 A'B 的中点,求证:ME∥面 A'CD.

变式训练 4: (2005 年北京)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5, AA1=4,点 D 是 AB 的中点. ( 1 ) 求证:AC⊥BC1; (2) 求证:AC1∥平面 CDB1; C (3) 求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值. B
1

A
1

1

C A D

B

小结归纳 1.证明直线和平面平行的方法有:(1)依定义采用反证法;(2)判定定理;(3)面面平行性质; (4)向量法. 2.辅助线(面)是解、证有关线面问题的关键,要充分发挥在化空间问题为平面问题的转化 作用.
2

(二)
基础过关 1.直线和平面垂直的定义 如果一条直线和一个平面的 2.直线和平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的 3.直线和平面垂直性质 若 a⊥ ? ,b ? ? 则 若 a⊥ ? ,b⊥ ? 则 若 a⊥ ? ,a⊥ ? 则

直线和平面垂直

直线垂直,那么这条直线和这个平面互相垂直. 直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.

过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条. 4.点到平面距离 过一点作平面的垂线 叫做点到平面的距离. 5.直线到平面的距离 一条直线与一个平面平行时, 这条直线上 到这个平面的距离叫做直线到平面距离. 典型例题 例 1. OA、OB、OC 两两互相垂直,G 为 ? ABC 的垂心.求证:OG ? 平面 ABC.

变式训练 1: 如图 SA⊥面 ABC, ∠ABC=90° AE⊥SB, SB∩AE=E, , 且 AF⊥SC, AF∩SC 且 =F,求证:(1) BC⊥面 SAB;(2) AE⊥面 SBC;(3) SC⊥EF. S F E A B 例 2 如图,已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M、N 分别是 AB、PC 中点. (1) 求证:MN⊥CD; (2) 若 ? PDA=45° ,求证:MN⊥面 PCD. C

P N D C

A M B

变式训练 2:PD 垂直于平面 ABCD 所在平面,PB⊥AC,PA⊥AB. 求证:① ABCD 是正方形;② PC⊥BC.

3

例 3.如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PD⊥底面 ABCD,AD=PD,E、 P F 分别为 CD、PB 的中点. (1) 求证:EF⊥平面 PAB; (2) 设 AB= 2 BC,求 AC 与平面 AEF 所成的角的大小. F C D E B A

变式训练 3:如图,在三棱锥 A-BCD 中,平面 ABD⊥平面 BCD, ? BAD= ? BDC=90° , AB=AD=3 2 ,BC=2CD.求: (1) 求 AC 的长; (2) 求证:平面 ABC⊥平面 ACD; (3) 求 D 点到平面 ABC 的距离 d. A

B

D

C 例 4:如图,棱长为 4 的正方体 AC1,O 是正方形 A1B1C1D1 的中心,点 P 在棱 CC1 上,且 CC1=4CP. (1) 求直线 AP 与平面 BCC1B1 所成角的正切值; C1 D1 (2) 设 O 点在平面 D1AP 上的射影是 H,求证:D1H ? AP; O A1 B1 (3) 求点 P 到平面 ABD1 的距离. H P D C A B

变式训练 4:三棱锥 V-ABC 的三条侧棱 VA、VC 两两垂直,顶点 V 在底面内的射影是 H. (1) 求证 H 是△ABC 的垂心; (2) S ? ABV ? S ? ABH S ? ABC .
2

V

C A 小结归纳 线面垂直的判定方法:(1) 线面垂直的定义; (2)判定定理; E H B (3) 面面垂直的性质; (4) 面面平行的性质:若 ? ∥ ? ,a⊥ ? 则 a ⊥ ?
4

D


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