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【师说】2015高考数学(理)一轮复习课后练习:1.2 函数及其表示


1.2 函数及其表示

一、选择题 1.(2014· 嘉兴调研)设集合 M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图形, 其中能表示以集合 M 为定义域,N 为值域的函数关系的是( )

A.

B.

C.

D.

解析:利用函数的定义,

要求定义域内的任一变量都有唯一的函数值与之对应,A 中函 数的定义域是[-2,0),C 中任一 x∈[-2,2)对应的值不唯一,D 中的值域不是 N,故选 B. 答案:B 1 2.已知 f:x→-sinx 是集合 A(A?[0,2π])到集合 B={0, }的一个映射,则集合 A 中的 2 元素个数最多有( ) A.4 个 B.5 个 C.6 个 D.7 个 1 解析:由-sinx=0,得 sinx=0.又 x∈[0,2π],故 x=0 或 π 或 2π;由-sinx= ,得 sinx 2 1 =- . 2 7π 11π 又 x∈[0,2π],故 x= 或 .选 B. 6 6 答案:B ? ?1?-1<x<0?, 3.已知 f(x+1)=-f(x),且 f(x)=? ?0?0≤x≤1?, ? 则 f(3)=( ) A.-1 B.0 C.1 D.1 或 0 解析:f(3)=-f(2)=f(1)=0,故选 B. 答案:B 4.若 f(x)对于任意实数 x 恒有 2f(x)-f(-x)=3x+1,则 f(x)=( ) A.x-1 B.x+1 C.2x+1 D.3x+3 解析:在 2f(x)-f(-x)=3x+1① 将①中 x 换为-x,则有 2f(-x)-f(x)=-3x+1② ①×2+②得 3f(x)=3x+3,∴f(x)=x+1. 答案:B 5.图中的图象所表示的函数的解析式为( )

3 A.y= |x-1| (0≤x≤2) 2

3 3 B.y= - |x-1| (0≤x≤2) 2 2 3 C.y= -|x-1| (0≤x≤2) 2 D.y=1-|x-1| (0≤x≤2) 3 解析:取 x=1,则 y= ,只有 B、C 满足.取 x=0,则 y=0,在 B、C 中只有 B 满足, 2 所以选 B. 答案:B 6.某学校要召开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关 系用取整函数 y=[x]([x]表示不大于 x 的最大整数)可以表示为( ) x+3 x A.y=[ ] B.y=[ ] 10 10 x+4 x+5 C.y=[ ] D.y=[ ] 10 10 解析:当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表,可以看作先用该班人数除 以 10 再用这个余数与 3 相加, 若和大于等于 10 就增选一名代表, 将二者合并便得到推选代 表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系,用取整函数 y=[x]([x]表示不大于 x 的最大整数)可 x+3 以表示为 y=[ ]. 10 答案:B 二、填空题 1? 2 1 7.已知 f? ?x-x?=x +x2,则函数 f(3)=________. 1? 2 1 ? 1?2 解析:∵f? ?x-x?=x +x2=?x-x? +2, ∴f(x)=x2+2,∴f(3)=32+2=11. 答案:11 ? ?lgx,x>0, 8.(2014· 荆州质检)设 f(x)=? x 则 f[f(-2)]=__________. ?10 ,x≤0, ?
?lgx,x>0, ? 解析:因为 f(x)=? x 又-2<0, ? ?10 ,x≤0, - - - - ∴f(-2)=10 2,10 2>0,f(10 2)=lg10 2=-2. 答案:-2

? ? x,x≥0, 9.设函数 f(x)=??1?x 则 f[f(-4)]=________. ??2? ,x<0, ?
解析:f[f(-4)]=f(24)= 24=4. 答案:4 三、解答题 10.二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)解不等式 f(x)>2x+5. 解析:(1)设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0). ∵f(0)=1,∴c=1. 把 f(x)的表达式代入 f(x+1)-f(x)=2x,有 a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x. ∴2ax+a+b=2x.∴a=1,b=-1. ∴f(x)=x2-x+1.

(2)由 x2-x+1>2x+5,即 x2-3x-4>0, 解得 x>4 或 x<-1. 故原不等式解集为{x|x>4 或 x<-1}. 11.函数 f(x)对一切函数 x、y 均有 f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立,且 f(1)=0, (1)求 f(0)的值; (2)试确定函数 f(x)的解析式. 解析:(1)令 x=1,y=0,得 f(1)-f(0)=2. 又∵f(1)=0,∴f(0)=-2. (2)令 y=0,则 f(x)-f(0)=x(x+1), 由(1)知,f(x)=x(x+1)+f(0)=x(x+1)-2=x2+x-2.

? ??0<x<c? 12.已知函数 f(x)=? x 2- +1, c ? ??c≤x<1?
cx+1,
2

9 )满足 f(c2)= . 8

(1)求常数 c 的值; 2 +1. 8 解析:(1)因为 0<c<1,所以 c2<c, 9 9 1 由 f(c2)= ,即 c3+1= ,c= . 8 8 2 1 1 x+1,?0<x< ? 2 2 (2)由(1)得 f(x)= 1 - 2 4x+1,? ≤x<1? 2 (2)解不等式 f(x)>

? ? ?

2 1 +1 得,当 0<x< 时, 8 2 2 1 解得 <x< , 4 2 1 1 5 当 ≤x<1 时,解得 ≤x< , 2 2 8 由 f(x)> 所以 f(x)> 2 2 5 +1 的解集为{x| <x< }. 8 4 8


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