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江苏省镇江市2016届高三上学期期末考试数学试卷


江苏省镇江市 2016 届高三年级第一学期期末考试数学试题
数学本试卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟. 一、 填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需写出解答过程. 1. 若全集为 U=R,A={x|x2-x>0},则 ? UA=________. 1-i 2. i 为虚数单位,计算 =________. 2-i 3. 箱子中有形状、大小都相同的 3 只红球和 2 只白球,一次摸出 2 只球,则摸到的 2 球颜色不同的概率为________. x-y≤2, ? ? 4. 已知实数 x,y 满足?x+y≤8,则 z=2x+y 的最小值是________. ? ?x≥1,

(第 5 题图) 5. 阅读如图所示的程序框,若输入的 n 是 30,则输出的变量 S 的值是________. 6. 已知向量 a=(-2,1),b=(1,0),则|2a+b|=________. 7. 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=1-log2x,则不等式 f(x)<0 的解集是________. 8. 设 b,c 表示两条直线,α,β表示两个平面,现给出下列命题: ①若 b?α,c∥α,则 b∥c; ②若 b?a,b∥c,则 c∥a; ③若 c∥α,α⊥β,则 c⊥β; ④若 c∥α,c⊥β,则 α⊥β. 其中正确的命题是________.(写山所有正确命题的序号) 9. 以抛物线 y2 = 4x 的焦点为焦点,以直线 y = ± x 为渐近线的双曲线标准方程为 ________. 10. 一个圆锥的侧面积等于底面面积的 2 倍,若圆锥底面半径为 3 cm,则圆锥的体积 是________cm3. 11. 函数 y=asin(ax+θ)(a>0, θ≠0)图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小 值为________.

Sn n+1 a3 12. Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 = ,则 =________. S2n 4n+2 a5 x -x, x>0, ? ? 13. 函数 f(x)=?1 ?1 ? 若关于 x 的方程 f(x)=kx-k 至少有两个不相等的 -?2+x?, x≤0, ? ?2 实数根,则实数 k 的取值范围为________. 14. 由 sin 36°=cos 54°,可求得 cos 2 016°的值为________. 二、 解题题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 15. (本小题满分 14 分) 如图:四棱锥 PABCD 中,PD=PC,底面 ABCD 是直角梯形,AB⊥BC,AB∥CD, CD=2AB,点 M 是 CD 的中点. (1) 求证:AM∥平面 PBC; (2) 求证:CD⊥PA.
2

(第 15 题图)

16. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别是 a,b,c,向量 m=(a-c,b+c),n=(b -c,a),且 m∥n. (1) 求 B; π 3 39 (2) 若 b= 13,cos?A+ ?= ,求 a. 26 6? ?

17. (本小题满分 14 分) 如图,某工业园区是半径为 10km 的圆形区域,离园区中心 O 点 5km 处有一中转站 P, 现准备在园区内修建一条笔直公路 AB 经过中转站,公路 AB 把园区分成两个区域. (1) 设中心 O 对公路 AB 的视角为 α,求 α 的最小值,并求较小区域面积的最小值; (2) 为方便交通,准备过中转站 P 在园区内再修建一条与 AB 垂直的笔直公路 CD,求 两条公路长度和的最小值.

(第 17 题图)

18. (本小题满分 16 分) x2 y2 3 已知在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 , 左顶点为 A(-3, a b 2 0),圆心在原点的圆 O 与椭圆的内接三角形△AEF 的三条边都相切. (1) 求椭圆方程; (2) 求圆 O 方程; (3) B 为椭圆的上顶点,过 B 作圆 O 的两条切线,分别交椭圆于 M,N 两点,试判断并 证明直线 MN 与圆 O 的位置关系.

(第 18 题图)

19. (本小题满分 16 分) 已知数列{an)的各项都为自然数,前 n 项和为 Sn,且存在整数 λ,使得对任意正整数 n 都有 Sn=(1+λ)an-λ 恒成立. (1) 求 λ 值,使得数列{an)为等差数列,并求数列{an)的通项公式;
j

(2) 若数列{an}为等比数列,此时存在正整数 k,当 1≤k<j 时,有∑ ai=2 016,求 k. =
i k

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)=[ax2-(2a+1)x+2a+1]ex. (1) 求函数 f(x)的单调区间; (2) 设 x>0,2a∈[3,m+1],f(x)≥b
2a-1

1 ea恒成立,求正数 b 的范围.

2016 届高三年级第一次模拟考试(四) 数学附加题每小题 10 分,共 40 分.考试用时 30 分钟. 21. 【选做题】在 A,B,C,D 四小题中只能选做两题 ,每小题 10 分,共计 20 分.解 ...... 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. 选修 4—1:几何证明选讲 在直径是 AB 的半圆上有两点 M,N,设 AN 与 BM 的交点是 P. 求证:AP· AN+BP· BM=AB2.

(第 21—A 题图) B. 选修 4—2:矩阵与变换 ?3 1?的特征值及对应的特征向量. 求矩阵? ? ?1 3?

C. 选修 4—4:坐标系与参数方程
?x=2cos θ , ? π 已知直线 l 的极坐标方程为 ρsin?θ- ?=3, 曲线 C 的参数方程为? (θ 为参 3? ? ?y=2sin θ ?

数),设 P 点是曲线 C 上的任意一点,求 P 到直线 l 的距离的最大值.

D. 选修 4—5:不等式选讲 设 x,y 均为正数,且 x>y,求证:x+ 4 ≥y+3. x -2xy+y2
2

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,在棱长为 3 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,A1E=CF=1. (1) 求两条异面直线 AC1 与 BE 所成角的余弦值; (2) 求直线 BB1 与平面 BED1F 所成角的正弦值.

(第 22 题图)

23. (本小题满分 10 分) - 证明:对一切正整数 n,5n+2· 3n 1+1 能被 8 整除.

2016 届高三年级第一次模拟考试(四)(镇江市) 数学参考答案 一、 填空题(每小题 5 分) 3 1 3 1. [0,1] 2. - i 3. 5 5 5 6. 13 4. 1 5. 240 x2 y2 - =1 1 1 2 2 10. 3π 11. 2 π 12. 3 5 13.

7. (-2,0)∪(2,+∞) 8. ④ 9.

1+ 5 1 [- ,1)∪(1,+∞) 14. - 3 4 二、 解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15. 证明:(1) 在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,CD=2AB,点 M 是 CD 的中点, 由 AB∥CM,且 AB=CM, 所以四边形 ABCM 是平行四边形,且是矩形(3 分)

? ? 又因为BC?平面PBC,(5分) ??故 AM∥平面 PBC, AM是平面PBC外一条直线,(6分)? ?
所以AM∥BC,(4分) (7 分) (2) 连接 PM,因为 PD=PC,点 M 是 CD 的中点,所以 CD⊥PM,(8 分) 又因为四边形 ABCM 是矩形,CD⊥AM,(9 分)

? ? PM?平面PAM,AM?平面PAM,(10分)??CD⊥平面 PAM.(12 分) ? PM∩MA=M,(11分) ?
CD⊥AM,CD⊥PM, 又因为 AP?平面 PAM,(13 分) 所以 CD⊥PA.(14 分) 16. 解:(1) 因为 m∥n,所以 a2+c2-b2=ac,(2 分) a2+c2-b2 ac 1 因为 cosB= = = ,(4 分) 2ac 2ac 2 B∈(0,π )(5 分) π 故 B= .(6 分) 3 π π 5π (2) 因为 A+ ∈? , ?,(7 分) 6 ?6 6 ? π π 3 39 5 13 cos?A+ ?= ,所以 sin?A+ ?= ,(9 分) 26 26 6? 6? ? ? π π 39 所以 sinA=sin??A+ ?- ?= ,(11 分) 26 6 6 ? ? ? ? a b 在△ABC 中,由正弦定理可得: = ,(13 分) sinA sinB 解得 a=1.(14 分) 17. 解:(1) 如图 1,作 OH⊥AB,设垂足为 H,记 OH=d,α =2∠AOH,

d 因为 cos∠AOH= ,(1 分) 10 要使 α 有最小值,只需要 d 有最大值,结合图像可得, d≤OP=5km,(3 分) 当且仅当 AB⊥OP 时,dmin=5km. π 2π 此时 αmin=2∠AOH=2 = .(4 分) 3 3 设 AB 把园区分成两个区域,其中较小区域面积记为 S, 根据题意可得:S=f(α)=S 扇形-S△AOB=50(α-sinα ),(6 分) f′(α)=50(1-cosα )≥0 恒成立,f(α)为增函数,(7 分) 所以 Smin=f? 2π ? 3? 2 ?2π ? 3 ?=50? 3 - 2 ?km .(8 分)

2π 2π 3 答:视角的最小值为 ,较小区域面积的最小值是 50? - ?km2.(9 分) 3 2? ? 3

(第 17 题图 1) (2) 如图 2,分别过 O 分别作 OH⊥AB,OH1⊥CD 垂足分别是 H,H1, 记 OH=d,OH1=d2,由(1)可知 d1∈[0,5] 2 2 2 2 所以 d2 1+d2=OP =25,且 d2=25-d1(10 分)
2 因为 AB=2 100-d2 1,CD=2 100-d2, 2 2 2 所以 AB+CD=2( 100-d2 1+ 100-d2)=2( 100-d1 + 75+d1),(11 分) 2 记 L(d1)=AB+CD=2( 100-d2 1+ 75+d1), 2 可得 L2(d1)=4[175+2 (100-d2 1)(75+d1)], (12 分) 2 2 2 由 d2 1∈[0,25],可知 d1=0,或 d1=25 时,L (d1)的最小值是 100(7+4 3), 从而 AB+CD 的最小值是 20+10 3 km.(13 分) 答:两条公路长度和的最小值是 20+10 3 km.(14 分)

(第 17 题图 2) c 3 3 3 18. 解:(1) 由题意可知 = ,a=3,得:c= ,(2 分) a 2 2 9 因为 a2=b2+c2,所以 b2= ,(3 分) 4

x2 y2 故椭圆的标准方程是: + =1.(4 分) 9 9 4 (2) 设直线 AE 的方程:y=k(x+3),点 E(x1,y1), x2 y2 + =1, 9 9 由 4

? 可得(4k +1)x +24k x+36k -9=0.(5 分) ? ?y=k(x+3),
2 2 2 2 2

3-12k2 24k2 6k 因为-3+x1=- 2 ,得 x1= 2 ,代入直线 y=k(x+3),得 y1= 2 , 4k +1 4k +1 4k +1

?3-12k , 6k ?,(7 分) 所以 E? 2 ? ? 4k +1 4k2+1?
同理可得 F?

?3-12k , -6k ?,(9 分) ? ? 4k2+1 4k2+1?

2

根据条件可知圆心 O 到直线 AE 的距离等于圆心 O 到直线 EF 的距离. 3-12k2 |3k| 1 可得 2 =| 2 |=r,解之得 k2= ,(10 分) 8 4k + 1 k +1 从而 r2=1,所以圆 O 的方程为:x2+y2=1.(11 分) 3 (3) 设直线 BM 的方程为 y=kx± ,因为直线 BM 与圆 O 相切, 2 5 所以 d=r,解得 k=± , 2 (14 分) 当 k= 5 5 3 ,lBM:y= x+ , 2 2 2

x2 y2 + =1 9 9 4 由 ,解得 x2+ 5x=0.(11 分) 5 3 y= x+ 2 2

? ? ? ? ?

所以 M(- 5,-1),(12 分) 同理可得 N( 5,-1).(13 分) 可得直线 MN 方程是:y=-1,(15 分) 直线 MN 与圆 O 的位置关系是相切.(16 分) 19. 解:(1) (法一):因为 Sn=(1+λ)an-λ, ① 所以 Sn+1=(1+λ)an+1-λ, ② ②-①得:λan+1=(1+λ)an, ③(2 分) 当 λ=0 时,an=0,数列{an}是等差数列.(4 分) 当 λ≠0 时,a1=(1+λ)a1-λ,a1=1,且 an+1-an= 1 a, λ n ④

1 要使数列{an}是等差数列,则④式右边 an 为常数,即 an+1=an 为常数, λ ④式左边 an+1-an=0,an=0,又因为 a1=1,矛盾!(6 分) 综上可得:λ=0 时,数列{an}为等差数列,且 an=0.(7 分)

(法二):若数列{an}是等差数列,必有 2a2=a1+a3, 当 λ=0 时,a1=a2=a3=0,满足 2a2=a1+a3,(1 分) 此时 Sn=an,从而 Sn+1=an+1,(3 分) 故 an=0,(4 分) 当 λ≠0 时,a1=1,a2=1+ 1 2 1 1+ ? ,(5 分) ,a3=? ? λ? λ

1 1 2 1+ ?=1+?1+ ? ,该方程无解,(6 分) 由 2a2=a1+a3,得 2? ? λ? ? λ? 综上可得:λ=0 时,数列{an}为等差数列,其中 an=0.(7 分) (2) 当(1)可得:当 λ=0 时,不是等比数列,(8 分) 当 λ=-1 时,由①得 Sn=1,则 a1=S1=1, an=Sn-Sn-1=0(n≥2),不是等比数列.(9 分) 当 λ≠0,且 λ≠-1 时,得 an+1 1 1 =1+ ,{an}为公比是 q=1+ 等比数列,(10 分) an λ λ

1 又对任意 n,an∈N,则 q=1+ ∈N, λ 故仅有 λ=1,q=2 时,满足题意,又由(1)得 a1=1,故 an=2n 1.(11 分)


2k 1(2j k 1-1) 因为∑ ai= =2 016, i=k 2-1
j
- - +

所以 2k 1(2j k 1-1)=2 016=25327,(13 分) - + - j-k+1≥2,2j k 1-1 为大于 1 的奇数,2k 1=25,k=6,(15 分)
- - +

则 2j 5-1=327,2j 5=64,j=11,故仅存在 k=6 时,j=11,∑ ai=2 016.(16 分) =
- -

j

i k

20. 解:(1) f′(x)=(ax -x)e =x(ax-1)e .(1 分) 若 a=0,则 f′(x)=-xex,令 f′(x)>0,则 x<0;令 f′(x)<0,则 x>0; 1 1 若 a<0,由 f′(x)>0,得 <x<0;由 f′(x)<0,得 >x 或 0<x; a a 1 1 若 a>0,由 f′(x)<0,得 0<x< ;由 f′(x)>0,得 x> 或 x<0; a a 综上可得: 当 a=0 时,函数 f(x)的增区间是(-∞,0),减区间是(0,+∞);(3 分) 1 ? 1 ,0 ,减区间是(0,+∞),?-∞, ?;(5 分) 当 a<0 时,函数 f(x)的增区间是? a? ?a ? ? 1 ? ? 1? 当 a>0 时,函数 f(x)的增区间是(-∞,0)? ?a,+∞?,减区间是?0,a?(7 分) 1? (2) 因为 2a∈[3,m+1],由(1)x∈(0,+∞)上函数 f(x)的最小值是 f? ? a ?. 1 - 因为 f(x)≥b2a 1ea 恒成立, 1 1? 2a-1 a恒成立,(8 分) 所以 f? ≥ b e ? a? 1 1 - 2a-1 所以 ea(2a-1)≥b ea恒成立,即 2a-1≥b2a 1 恒成立.(9 分)

2

x

x

lnt 由 2a∈[3,m+1],令 2a-1=t∈[2,m],则 t≥bt,所以 lnb≤ =g(t),(10 分) t 由 g′(t)= 分) ln2 ln2 ,从而 lnb≤ ,解得 0<b≤ 2;(13 分) 2 2 1 lnm lnm 当 m>4 时,g(t)min=g(m)= ,从而 lnb≤ ,解得 0<b≤mm,(15 分) m m 1 故:当 2<m≤4 时,0<b≤ 2;当 m>4 时,0<b≤mm(16 分) 当 2<m≤4 时,g(t)min=g(2)= 21. A. 证明:作 PE⊥AB 于 E, 因为 AB 为直径, 所以∠ANB=∠AMB=90°(2 分) 所以 P,E,B,N 四点共圆,P,E,A,M 四点共圆.(6 分)
? AB=AP· AN (1) ?AE· ? (8 分) ?BE· AB=BP· BM (2) ?

1-lnt ,可知函数 g(t)在(0,e)上递增;(e,+∞)上递减,且 g(2)=g(4).(11 t2

(1)+(2)得 AB(AE+BE)=AP· AN+BP· BM(9 分) 2 即 AP· AN+BP· BM=AB (10 分)

(第 21 题 A 图) λ -3 -1

21. B. 解:特征多项式 f(λ)=|

-1 λ-3

|=(λ-3)2-1=λ2-6λ+8(3 分)

由 f(λ)=0,解得 λ1=2,λ 2=4(6 分)
?-x-y=0, ? 将 λ1=2 代入特征方程组,得? ? ?-x-y=0

?x+y=0,可取?

?1 ? ?为属于特征值 λ1=2 的一个特征向量(8 分) ?-1?

? ?x-y=0, 同理,当 λ2=4 时,由? ?x-y=0, ?-x+y=0 ?

?1? 所以可取? ?为属于特征值 λ2=4 的一个特征向量. ?1? ? 2 1 ?有两个特征值 λ =2,λ =4; 综上所述,矩阵? ? 1 2 ? 1 2 ?

属于 λ1=2 的一个特征向量为?

?1 ? ?1? ?,属于 λ1=4 的一个特征向量为? ?,(10 分) ?1? ?-1?

π 21. C. 解:由 ρsin?θ - ?=3,可得: 3? ? 1 3 ρ ? sinθ - cosθ ?=3 2 ?2 ? 所以 y- 3x=6 即: 3x-y+6=0(3 分)
? ?x=2cosθ 由? 得 x2+y2=4,圆的半径为 r=2(6 分) ?y=2sinθ ?

6 所以圆心到直线 l 的距离 d= =3(8 分) 2 所以,P 到直线 l 的距离的最大值为 d+r=5.(10 分) 4 4 21. D. 证明:x-y+ 2 (3 分) 2=(x-y)+ x -2xy+y (x-y)2 = x-y x-y 4 + + ,(5 分) 2 2 (x-y)2

因为 x>y,x-y>0, x-y x-y 4 所以 + + 2 2 (x-y)2 ≥3 3 x-y x-y 4 × × =3, 2 2 (x-y)2

x-y x-y 4 当且仅当 = = 取等号,此时 x-y=2.(10 分) 2 2 (x-y)2 22. 解:(1) 以 D 为原点,建立空间直角坐标系 Dxyz,如图所示,

(第 22 题图) → 则 A(3,0,0),C1(0,3,3),AC1=(-3,3,3), → B(3,3,0),E(3,0,2),BE=(0,-3,2). (2 分) → → AC1·BE -9+6 39 → → 所以 cos〈AC1,BE1〉= = =- , 39 → → 3 3× 13 |AC1||BE|

故两条异面直线 AC1 与 BE 所成角的余弦值为

39 .(5 分) 39

→ → (2) B(3,3,0),BE=(0,-3,2),D1E=(3,0,-1). 设平面 BED1F 的一个法向量为 n=(x,y,z), → ? D1E=0, ? ?n· ?3x-z=0, 由? 得? ?-3y+2z=0, → ? BE=0, ? ?n·
? ?y=2x, 所以? 则 n=(x,2x,3x),不妨取 n=(1,2,3), ?z=3x ?

设直线 BB1 与平面 BED1F 所成角为 α,则 9 3 14 → sinα =|cos〈BB1,n〉|=| |= .(9 分) 14 3× 14 3 14 所以直线 BB1 与平面 BED1F 所成角正弦值为 (10 分) 14 23. 证明:(1) 当 n=1 时,能被 8 整除,(2 分) (2) 假设当 n=k,(k≥2,k∈N*,结论成立,)(2 分) - - 则 5k+2· 3k 1+1 能被 8 整除,设 5k+2· 3k 1+1=8m,m∈N*, + - - 当 n=k+1 时,5k 1+2· 3k+1=5(5k+2· 3k 1+1)-4· 3k 1-4 - - =5(5k+2· 3k 1+1)-4· (3k 1+1)(7 分) - 而当 k≥2,k∈N*时 3k 1+1 显然为偶数,设为 2t,t∈N*, - - 故=5(5k+2· 3k 1+1)-4· (3k 1+1)=40m-8t(m,t∈N*), 也能被 8 整除,故当 n=k+1 时结论也成立; - 由(1)(2)可知对一切正整除 n,5n+2· 3n 1+1 能被 8 整除.(10 分)


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