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抛物线及其标准方程教案


关岭自治县民族高级中学课堂教学案
学科 教学内 容 课型 课标要 求
新授课 法制渗透 内容

数 学

任课教师

上课班级

上课时间

2016.12

抛物线及其标准方程
课时 1

1、掌握抛物线的定义

及焦点、准线的概念。 2、会求简单的抛物线的方程;会由抛物线方程求焦点,准线等。 1.经历从具体情景中抽象出抛物线几何特征的过程;2.掌握抛物线的几何图形,定义和标准方程;3.进一步巩固

三维目 圆锥曲线的研究方法,体会类比法,直接法,待定系数法和数形结合思想在数学中的应用;4.感受抛物线的 标
广泛应用和文化价值,体会学习数学的乐趣和数学美。

教学重 点 教学难 点

1.掌握抛物线的定义与相关概念;2.掌握抛物线的标准方程; 从抛物线的画法中抽象概括出抛物线的定义。 1.类比学习椭圆的过程和方法去学习抛物线. 2.鉴于抛物线的画法比较复杂,用教具难以操作,因此我们运用动画(或几何画板)来演示画抛物线的过 程。另外,画法中所隐含的抛物线的本质特征不是特别明显,对学生的抽象能力要求比较高为此,设置了问 题,为学生发现抛物线的几何特征作铺垫。

教学方 法及突 3.学生在抽象概括抛物线定义时,容易忽略抛物线定义中“点 不在直线 上”这个条件。为了加深学 破重难 点的措 生对这个条件的理解,教学中通过启发(或几何画板的展示)来引导学生逐步完善抛物线的定义。 另外,在建系、推导抛物线标准方程的过程中,教师引导学生选择建系方式,并进行归纳。得出抛物线 施

的标准方程。 求曲线方程的步骤明确抛物线标准方程的四种形式,类比椭圆的对称性也可得到抛物线的四种形式,以加深 学生对抛物线标准方程的理解。

教学用 具

多媒体
2.4.1 抛物线及其标准方程

板 书 设 计

1、 抛物线的定义: 定点 :焦点 焦点到准线的距离

定直线 :准线

教学 时间 一、课堂导入 1.生活中的抛物线:

教学过程与方法

教师 活动 通过生活 中的抛物线 引入使学生 认识到学习 抛物线的必

学生 活动

2.数学中的抛物线:

要性。 通过问题引 入引发学生 的认知冲突, 激发学生的 学习欲望。

二次函数的图象是一条抛物线。 二、抛物线的定义 1.抛物线的画法 分析作图过程 提出问题:在作图过程中,直尺,三角板,笔尖,点 F 中,哪些 没有动?哪些动了?

抛物线的画法 比较复杂, 让学 生自己画抛物 线, 操作起来很 困难, 学生很难 完成.因此我运 用多媒体信息 技术来演示画 抛物线的过程.

提出问题:在作图过程中,绳长, 哪些量没有变?哪些量变了? 结论 动点 满足的几何关系是: 动点







中,
通过两个问题 的设置, 为学生 从画法中发现 抛物线的几何

到定点 F 的距离等于它到直尺

特征奠定基础.

的距离. 2.抛物线的定义 问题 1:你能给抛物线下个定义吗?
加深学

抛物线的定义:平面内与一个定点

和一条定直线 ( 不过



生对抛物线定

教学 时间

教学过程与方法 的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.

教师 活动
义中的条件“ 不过 解. ”的理

学生 活动

问题 2:为什么定点 轨迹为过定点

不能在定直线 上?若点

在直线 上,则
这是教材的第 一个思考交流, 目的是对抛物 线定义的应用, 同时也给出了 课堂导入时所 给问题的一种 解决方法.

垂直于直线 的直线 .

3.抛物线的相关概念:

定点

:抛物线的焦点.定直线 :抛物线的准线。





焦点到准线的距离。

抛物线的对称轴与抛物线的交点

:抛物线的顶点

三、抛物线的方程 1.方程推导 (1)建系

教材只给 出了一种建系 方式, 但学生在 建系时可能不

教学 时间

教学过程与方法 请同学们将抛物线画在草稿纸上,自己建立平面直角坐标系. (2)推导

教师 活动
只一种.为了体 现学生的主体 地位, 这里先让

学生 活动

教师 问题 3: 以下三种建系方式, 你认为哪种建系方式最好?请说明理 学生建系,

由.

再汇总学生的 结果, 并用投影 仪展示。

通过问题 3,让学生分工 求出三种建系 下的方程, 为标 准方程的理解 奠定基础.

提示:设

,先将抛物线的焦点坐标和准线方程求出

部分学生 在推导方程时 存在困难,故给

来,再来求抛物线的方程.

三种建系方式下的抛物线方程分别为: ,



出提示.

.不难得出,第二种建系方式下的抛物线

方程最简洁,因此第二种建系方式最好.

:焦点到准线的距离. 3.思考交流

教学 时间

教学过程与方法 问题 4:你能否分别写出开口向左、向上、向下,顶点在原点,焦 点在坐标轴上的抛物线的标准方程?

教师 活动

学生 活动

具体要求: 以顶点在原点, 焦点在 轴正半轴上的抛物线的标准方 程为基础,分别写出开口向左、向上、向下,顶点在原点,焦点 这是教材 在坐标轴上的抛物线的标准方程,不要求写过程。学生先独立思 考,再小组合作交流. 的第二个思考
交流, 目的是让 学生认识到抛

图像

物线的标准方 程一共有四种 形式, 加深学生 对抛物线标准 方程的理解.

标准 方程 (P>0) (P>0) (P>0) (P>0)

大部分学生解 决问题 4 所用 的方法都是图 象变换法。

抛物线的标准方程是指顶点在坐标原点,焦点在坐标轴上的抛物 线的方程,一共有四种形式。 ▲如何确定各曲线的焦点位置? 椭 圆:看 x2 与 y2 分母大小 双曲线:看 x2 与 y2 的符号 抛物线:1.看一次项变量(x 或 y)定焦点 2. 一次项系数正负定开口方向 4.例题分析

变式活跃学 生思维,启发 学生深层次 的思考。

教学 时间

教学过程与方法 例 1.已知抛物线的标准方程是 y = 6x, 求它的焦点坐标和准线 方程; 解 : 因为 P=3 ,所以抛物线的焦点是( 3/2,0 ),准线方程式 x=-3/2。 类似的你能编个题来给别人做吗?y=4x2 呢? 例 2.已知抛物线的焦点坐标是 F(0,-2),求它的标准方程。
2

教师 活动

学生 活动

解: 因为焦点在 y 的负半轴上, 所以设所求的标准方程为 x2= -2py 由题意得 p/2=2 , 即 p=4 ∴所求的标准方程为 x2= -8y 你能类比着编个题来做吗?已知抛物线过(3,2),求它的标准方 培 养 学 生 梳 理知识点,总 程。 结知识内容, 建构知识体 四、课堂小结 系的能力. 这节课你学到了什么?请谈谈你的收获。 五、课后延伸 1.课后作业 书,P73,A 组,1 题,2 题 2.课后思考 课本 P66 思考:二次函数 y=a x2 (a≠0) 的图象为什么是抛物线?指出它的焦点坐标、准线方程。 3.课后延展 (1)卫星. 提出问题:我们知道卫星天线是根据抛物线原理来制造的.在制造 卫星时利用了抛物线的哪些性质?
是对这节 课所学方法的 巩固和对初中 所学相关内容 的同化, 也是为 下节课作好铺 垫.

感受抛物 线的广泛应用 和文化价值, 激 发学生学习数

对此感兴趣或者学有余力的学生,可以在课后收集相关资料进行 学的兴趣和研 学习,并作进一步的探讨。
究问题的热情。

教学 时间

教学过程与方法

教师 活动

学生 活动

教学 时间

教学过程与方法

教师 活动

学生 活动

教 学 反 思

通过本节课的学习,学生不仅能掌握抛物线的几何特征,定义和标准方程,为后面学习抛物线的性 质及其在实际问题中的应用打好基础.而且有助于学生观察分析能力与抽象概括能力的培养, 有助于学生 运算技能的训练与提高, 对学生进一步理解解析法和数形结合思想有很好的作用.也进一步巩固了圆锥曲 线的学习流程与研究方法.


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