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数列的通项与求和答案


2015 届暑假网络授课(高三数学)

第六讲

数列的通项与求和

昆山震川高级中学 王阳 【复习要求】熟练掌握数列通项与求和的基本类型和常见方法,掌握基本的数列递推关系. 【复习重难点】科学分析题意,准确把握特征,迅速切入题干. 【基础训练】 1. 已知数列{ an }各项依次为 3 1 ? 5 1 ? 7 1 ?

9 1 ? …,试写出这个数列的一个通项公式 an ?

4
.

8

16

32

,

前 n 项和 Sn ? 【答案】 2n ? 1 ?

1 ; n (n ? 2) ? 1 ? 1 n ? 1 2 2n ? 1 2

2. 已知数列 {an } 满足 an ? 1 ? 2 ? 22 ? 【答案】2n+1-n-2 3. 数列{ n ? 3 }的前 n 项和为
n

? 2n?1 ,则 {an } 的前 n 项和 Sn =

.

.

【答案】

(2n ? 1)3n ? 1 3 ? 4 4
1 }的前 n 项和为 4 ? 则 n 的值为 a a 25 n n ?1
.

4. 等差数列{ an }中 ? a3 ? 8? a7 ? 20? 若数列{ 【答案】16 5. 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S n ? 【答案】 3
n ?1

3 1 an ? ,则 an ? 2 2

.

2 2 6. 已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 1 ? 2an ,则使不等式 a1 ? a2 ?

2 ? an ? 5? 2n?1 成立的 n 的

最大值为 【答案】 4 【范例精析】



例 1.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ,满足: Sn ? 2an ? 2n(n ? N ) .
*

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项 an ; (Ⅱ)若数列 {bn } 的满足 bn ? log2 (an ? 2) , Tn 为数列 {
-1-

1 bn } 的前 n 项和,求证: Tn ? . 2 an ? 2

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例 2. 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 an 是 Sn 和 1 的等差中项,等差数列 {bn } 满足 b1 ? a1 , b4 ? S3 . (1)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (2)设 cn ?

1 1 1 ,数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn ,证明: ? Tn ? . 3 2 bn bn ?1

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例 3.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 5 , (1)若 an ? 2an?1 ?1( n ? 2 且 n ? N ) ,求数列 {an } 的通项公式.
?

-3-

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(2)若 an ? 2an?1 ? 2n (n ? 2 且 n ? N ? ) ,求数列 {an } 的通项公式. (3)若 an ? 2an?1 ? 2n ?1( n ? 2 且 n ? N ? ) ,求数列 {an } 的通项公式. 【答案】 (1) an ? 2n?1 ? 1 ; (2) an ? (2n ? 3) ? 2n?1 ; (3) an ? (n ? 1) ? 2n ? 1 【解析】 (1)由题意: an ? 1 ? 2(an?1 ? 1) , an ?1 ? 4 所以, an ?1 ? 4 ? 2n?1 ,故 an ? 2n?1 ? 1 .

an an ?1 a 5 ? n ?1 ? 1 , 1 ? n 2 2 2 2 an 5 3 所以, n ? ? ( n ? 1) ? n ? ,故 an ? (2n ? 3) ? 2n?1 . 2 2 2 a ?1 a 1 ?1 a ?1 ? 1 ,又 1 1 ? 2 , (3)由题意: an ?1 ? 2(an?1 ?1) ? 2n ,从而 n n ? n ?n ?1 2 2 2 a ?1 所以, n n ? 2 ? ( n ? 1) ? n ? 1 ,故 an ? (n ? 1) ? 2n ? 1 . 2
(2)由题意: 【巩固反馈】 1. 若数列{ an }是正项数列,且 a1 ? a2 ? … ? an ? n2 ? 3n(n ? N )? 则 1 ? 2 ? …?
?

a

a

2

3

a n ? n ?1

.

【答案】 2n ? 6n
2

2.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2n ,则 a10 ? 【答案】 1023

.

n 1 4 12 * , 2 ? an ?1 ? ,则 =__________. n? N ? ? ? 3 an ? 6 i ?1 ai n 2 6 2 1 6 3 1 1 1 1 1 2 ? 3n ? n ? 2 【答案】 . ? ?1, ? ? ? , ? ? 3( ? ) ,? ? ? 4 an?1 an an ?1 2 an 2 an?1 4 an 4 i ?1 ai

3. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

4. 设等比数列{ an }的前 n 项和为 S n ,已知对任意的 n ? N ? ,点 (n, Sn ) ,均在函数 y ? 2 ? r 的图像上.
x

(Ⅰ)求 r 的值; (Ⅱ)记 bn

? log2 2a1 ? log2 2a2 ? ?? log2 2an 求数列 ? ? 的前 n 项和 T n .

?1? ? bn ?

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5.在数列 ?an ? 中,已知 a1 ?

2 2an?1 , an ? . 3 2an?1 ? 1

(1)求 a2 、 a3 并判断 ?an ? 能否为等差或等比数列;
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(2)令 bn ?

1 ,求证: ?bn ? 2? 为等比数列; an

(3)求数列 ?

? n ? 2n ? ? 的前 n 项和 Sn . ? an ?

6.数列 {an } 的各项均为正数, Sn 为其前 n 项和,对于任意的 n ? N ,总有 an , Sn , an2 成等差数列.
*

(1)求 a1 ; (2)求数列 {an } 的通项公式; (3)设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,且 bn ?

1 ,求证:对任意正整数 n ,总有 Tn ? 2 an 2

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