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高考数学难点04


高中数学重难点 4

三个“二次”及关系

三个 “二次” 即一元二次函数、 一元二次方程、 一元二次不等式是中学数学的重要内容, 具有丰富的内涵和密切的联系,同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试 题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及 联系,掌握函数、方程及不等式的思想和方法. ●

难点磁场 已知对于 x 的所有实数值,二次函数 f(x)=x2-4ax+2a+12(a∈R)的值都是非负的,求关 于 x 的方程

x =|a-1|+2 的根的取值范围. a?2

●案例探究 [例 1]已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 和一次函数 g(x)=-bx,其中 a、b、c 满足 a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R). (1)求证:两函数的图象交于不同的两点 A、B; (2)求线段 AB 在 x 轴上的射影 A1B1 的长的取值范围. 命题意图:本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力.属于★★★★★题 目. 知识依托:解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合. 错解分析:由于此题表面上重在“形” ,因而本题难点就是一些考生可能走入误区,老 是想在“形”上找解问题的突破口,而忽略了“数”. 技巧与方法:利用方程思想巧妙转化.

? y ? ax 2 ? bx ? c (1)证明:由 ? 消去 y 得 ax2+2bx+c=0 y ? ?bx ?
Δ =4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac=4(a2+ac+c2)=4[(a+ ) 2 ? ∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0 ∴

c 2

3 2 c] 4

3 2 c >0,∴Δ >0,即两函数的图象交于不同的两点. 4 2b c ,x1x2= . a a

(2)解:设方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1 和 x2,则 x1+x2=- |A1B1|2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2

2b 2 4c 4b 2 ? 4ac 4( ?a ? c) 2 ? 4ac ) ? ? ? a a a2 a2 c c c 1 3 ? 4[( ) 2 ? ? 1] ? 4[( ? ) 2 ? ] a a a 2 4 ∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0 c 1 ∴a>-a-c>c,解得 ∈(-2,- ) 2 a c c c c 1 ∵ f ( ) ? 4[( ) 2 ? ? 1] 的对称轴方程是 ? ? . a a a a 2 c 1 ∈(-2,- )时,为减函数 2 a ? (?
∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈( 3,2 3 ).

[例 2]已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围. 命题意图:本题重点考查方程的根的分布问题,属★★★★级题目. 知识依托:解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义. 错解分析:用二次函数的性质对方程的根进行限制时,条件不 严谨是解答本题的难点. 技巧与方法: 设出二次方程对应的函数, 可画出相应的示意图, 然后用函数性质加以限制. 解: (1)条件说明抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在 区间(-1,0)和(1,2)内,画出示意图,得

1 ? ?m ? ? 2 ? f (0) ? 2m ? 1 ? 0, ? ? f ( ?1) ? 2 ? 0, ?m ? R , ? ? ?? 1 ? ? f (1) ? 4m ? 2 ? 0, ?m ? ? 2 , ? f ( 2 ) ? 6m ? 5 ? 0 ? ? ?m ? ? 5 ? 6 ?
∴?

5 1 ?m?? . 6 2

? f (0) ? 0, ? f (1) ? 0, ? (2)据抛物线与 x 轴交点落在区间(0,1)内,列不等式组 ? ?? ? 0, ?0 ? ? m ? 1 ?

1 ? ?m ? ? 2 , ? 1 ? ? ?m ? ? , 2 ? ?m ? 1 ? 2或m ? 1 ? 2 , ?? 1 ? m ? 0. ?
(这里 0<-m<1 是因为对称轴 x=-m 应在区间(0,1)内通过) ●锦囊妙计 1.二次函数的基本性质 (1)二次函数的三种表示法: y=ax2+bx+c;y=a(x-x1)(x-x2);y=a(x-x0)2+n. (2)当 a>0,f(x)在区间[p,q]上的最大值 M,最小值 m,令 x0=

1 (p+q). 2

b <p,则 f(p)=m,f(q)=M; 2a b b 若 p≤- <x0,则 f(- )=m,f(q)=M; 2a 2a
若-

若 x0≤- 若-

b b <q,则 f(p)=M,f(- )=m; 2a 2a

b ≥q,则 f(p)=M,f(q)=m. 2a

2.二次方程 f(x)=ax2+bx+c=0 的实根分布及条件. (1)方程 f(x)=0 的两根中一根比 r 大,另一根比 r 小 ? a·f(r)<0;

?? ? b 2 ? 4ac ? 0, ? ? b (2)二次方程 f(x)=0 的两根都大于 r ? ?? ? r, ? 2a ?a ? f ( r ) ? 0 ?
?? ? b 2 ? 4ac ? 0, ? ? p ? ? b ? q, ? (3)二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内有两根 ? ? 2a ?a ? f ( q ) ? 0, ? ?a ? f ( p ) ? 0; ?
(4)二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内只有一根 ? f(p)·f(q)<0,或 f(p)=0(检验)或 f(q)=0(检验) 检验另一根若在(p,q)内成立.

?a ? f ( p ) ? 0 (5)方程 f(x)=0 两根的一根大于 p,另一根小于 q(p<q) ? ? . ?a ? f ( q ) ? 0
3.二次不等式转化策略 (1) 二 次 不 等 式 f(x)=ax2+bx+c ≤ 0 的 解 集 是 : ( - ∞ , α ] ) ∪ [ β ,+ ∞ ) ? a<0 且 f(α )=f(β )=0; (2)当 a>0 时,f(α )<f(β ) ? |α + |β +

b b b |<|β + |,当 a<0 时,f(α )<f(β ) ? |α + |> 2a 2a 2a

b |; 2a
1.(★★★★)若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0 对一切 x∈R 恒成立,则 a 的取值范围是 ) A.(-∞,2 ] B. [ -2,2 ] C.(-2,2 ] D.(-∞,-2)

(

2.(★★★★)设二次函数 f(x)=x2-x+a(a>0),若 f(m)<0,则 f(m-1)的值为( ) A.正数 B.负数 C.非负数 D.正数、负数和零都有可能 二、填空题 3.(★★★★★)已知二次函数 f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1,若在区间[-1,1]内至少 存在一个实数 c,使 f(c)>0,则实数 p 的取值范围是_________. 4.(★★★★★)二次函数 f(x)的二次项系数为正,且对任意实数 x 恒有 f(2+x)=f(2-x),若 f(1-2x2)<f(1+2x-x2),则 x 的取值范围是_________. 三、解答题 t y 5.(★★★★★)已知实数 t 满足关系式 loga 3 ? loga 3 (a>0 且 a≠1) a a x (1)令 t=a ,求 y=f(x)的表达式;

(2)若 x∈(0,2 ] 时,y 有最小值 8,求 a 和 x 的值. 6.(★★★★)如果二次函数 y=mx2+(m-3)x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的 右侧,试求 m 的取值范围. 7.(★★★★★)二次函数 f(x)=px2+qx+r 中实数 p、q、r 满足 m>0,求证: (1)pf(

p q r ? ? =0,其中 m ? 2 m ?1 m

m )<0; m ?1

(2)方程 f(x)=0 在(0,1)内恒有解. 8.(★★★★)一个小服装厂生产某种风衣,月销售量 x(件)与售价 P(元/件)之间的关系为 P=160-2x,生产 x 件的成本 R=500+30x 元. (1)该厂的月产量多大时,月获得的利润不少于 1300 元? (2)当月产量为多少时,可获得最大利润?最大利润是多少元? 参考答案 难点磁场 解:由条件知Δ ≤0,即(-4a)2-4(2a+12)≤0,∴- (1)当-

3 ≤a≤2 2

3 1 25 ≤a<1 时,原方程化为:x=-a2+a+6,∵-a2+a+6=-(a- )2+ . 2 2 4 3 9 1 25 ∴a=- 时,xmin= ,a= 时,xmax= . 2 4 2 4 9 25 ∴ ≤x≤ . 4 4 3 1 (2)当 1≤a≤2 时,x=a2+3a+2=(a+ )2- 2 4
∴当 a=1 时,xmin=6,当 a=2 时,xmax=12,∴6≤x≤12. 综上所述,

9 ≤x≤12. 4

歼灭难点训练 一、1.解析:当 a-2=0 即 a=2 时,不等式为-4<0,恒成立.∴a=2,当 a-2≠0 时,则 a

?a ? 2 ? 0 满足 ? ,解得-2<a<2,所以 a 的范围是-2<a≤2. ?? ? 0
答案:C 2.解析:∵f(x)=x2-x+a 的对称轴为 x= ∴m-1<0,∴f(m-1)>0. 答案:A 二、3.解析:只需 f(1)=-2p2-3p+9>0 或 f(-1)=-2p2+p+1>0 即-3<p< <1.∴p∈(-3,

1 ,且 f(1)>0,则 f(0)>0,而 f(m)<0,∴m∈(0,1), 2

3 1 或- <p 2 2

3 ). 2

答案:(-3,

3 ) 2

4.解析:由 f(2+x)=f(2-x)知 x=2 为对称轴,由于距对称轴较近的点的纵坐标较小, ∴|1-2x2-2|<|1+2x-x2-2|,∴-2<x<0. 答案:-2<x<0

t y ? logt 3 得 logat-3=logty-3logta 3 a a loga y 3 由 t=ax 知 x=logat,代入上式得 x-3= ? ,? x x
三、5.解:(1)由 loga ∴logay=x2-3x+3,即 y=a x (2)令 u=x2-3x+3=(x-
2

?3 x ? 3

(x≠0).

3 2 3 )+ (x≠0),则 y=au 2 4

①若 0<a<1,要使 y=au 有最小值 8,

3 2 3 ) + 在(0,2 ] 上应有最大值,但 u 在(0,2 ] 上不存在最大值. 2 4 3 3 ②若 a>1,要使 y=au 有最小值 8,则 u=(x- )2+ ,x∈(0,2 ] 应有最小值 2 4
则 u=(x-

3 3 ∴当 x= 时,umin= ,ymin= a 4 2 4
3

3

由 a 4 =8 得 a=16.∴所求 a=16,x=

3 . 2

6.解:∵f(0)=1>0 (1)当 m<0 时,二次函数图象与 x 轴有两个交点且分别在 y 轴两侧,符合题意.

?? ? 0 ? (2)当 m>0 时,则 ? 3 ? m 解得 0<m≤1 ? m ?0 ?
综上所述,m 的取值范围是{m|m≤1 且 m≠0}. 7.证明:(1) pf (

m m 2 m ) ? p[ p( ) ? q( ) ? r] m ?1 m ?1 m ?1

? pm[

pm q r pm p ? ? ] ? pm[ ? ] 2 2 m ?1 m m?2 ( m ? 1) ( m ? 1) m( m ? 2) ? ( m ? 1) 2 ] ( m ? 1) 2 ( m ? 2)

? p 2 m[

? pm 2

?1 m ,由于 f(x)是二次函数,故 p≠0,又 m>0,所以,pf( )<0. 2 ( m ? 1) ( m ? 2) m ?1

(2)由题意,得 f(0)=r,f(1)=p+q+r ①当 p<0 时,由(1)知 f(

m )<0 m ?1

m m )<0,所以 f(x)=0 在(0, )内有解; m ?1 m ?1 p r p r 若 r≤0,则 f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(- ? )+r= ? >0, m?2 m m?2 m m m 又 f( )<0,所以 f(x)=0 在( ,1)内有解. m ?1 m ?1
若 r>0,则 f(0)>0,又 f( ②当 p<0 时同理可证. 8.解:(1)设该厂的月获利为 y,依题意得? y=(160-2x)x-(500+30x)=-2x2+130x-500 由 y≥1300 知-2x2+130x-500≥1300 ∴x2-65x+900≤0,∴(x-20)(x-45)≤0,解得 20≤x≤45 ∴当月产量在 20~45 件之间时,月获利不少于 1300 元. (2)由(1)知 y=-2x2+130x-500=-2(x-

65 2 ) +1612.5 2

∵x 为正整数,∴x=32 或 33 时,y 取得最大值为 1612 元, ∴当月产量为 32 件或 33 件时,可获得最大利润 1612 元.


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