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补课资料:函数单调性2


函数单调性 2 1.若 f(x)=x +2(a-1)x+2 在区间(-∞,4)上是减函数,则实数 a 的取值范围是 ( ) A.a<-3 C.a>-3 1 1 2.已知 0<t≤ ,那么 -t 的最小值是( 4 t A. 15 4 B.a≤-3 D.a≥-3 ) B. 63 8
2

C.2

D.-2

3.下列函数满足“对? x1,x2∈(0,+∞)且 x1≠x2 时恒有 ( ) 1 A.f(x)=

f? x2? -f? x1? <0”的是 x2-x1

x
x

B.f(x)=(x-1)

2

C.f(x)=e

D.f(x)=ln(x+1)
2

4.函数 y=x +bx+c(x∈[0,+∞))是单调函数,则 b 的取值范围是( A.b≥0 C.b>0 B.b≤0 D.b<0

)

5.已知奇函数 f(x)对任意的正实数 x1,x2(x1≠x2),恒有(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>0, 则一定正确的是( A.f(4)>f(-6) C.f(-4)>f(-6) 6.函数 f(x)=1- 1 ) B.f(-4)<f(-6) D.f(4)<f(-6)

x-1

(

)

A.在(-1,+∞)上单调递增 B.在(1,+∞)上单调递增 C.在(-1,+∞)上单调递减 D.在(1,+∞)上单调递减 1 2 7.(2012·武汉模拟)若函数 f(x)=loga(x -ax+ )有最小值,则实数 a 的取值范围是 2 ( ) A.(0,1) C.(1, 2) B.(0,1)∪(0, 2) D.[ 2,+∞)

8.(2012·哈师大附中)已知定义域为 D 的函数 f(x),若对任意 x∈D,存在正数 M,都 有|f(x)|≤M 成立,则称函数 f(x)是定义域 D 上的“有界函数”.已知下列函数:①f(x)
用心 爱心 专心 1

=sinx·cosx+1;②f(x)= 1-x ;③f(x)=1-2 ;④f(x)=lg 的个数是( A.1 C.3 9.给出下列命题 1 ①y= 在定义域内为减函数; ) B.2 D.4

2

x

1-x .其中“有界函数” 1+x

x

②y=(x-1) 在(0,+∞)上是增函数; 1 ③y=- 在(-∞,0)上为增函数;

2

x

④y=kx 不是增函数就是减函数. 其中错误命题的个数有________. 10.函数 f(x)=|logax|(0<a<1)的单调递增区间是________. 2x+3,x≤0, ? ? 11.函数 y=?x+3,0<x≤1, ? ?-x+5,x>1, 12.若函数 f(x)= 13.已知 f(x)=

的值域是________.

4x 在区间(m,2m+1)上是单调递增函数,则 m∈________. x2+1

x (x≠a). x-a

(1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,求 a 的取值范围. 14. 函数 f(x)对任意的 a、 b∈R, 都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1, 并且当 x>0 时, f(x)>1. (1)求证:f(x)是 R 上的增函数;(2)若 f(4)=5,解不等式 f(3m -m-2)<3. 15.已知函数 f(x)自变量取值区间 A,若其值域区间也为 A,则称区间 A 为 f(x)的保值 区间. (1)求函数 f(x)=x 形如[n,+∞)(n∈R)的保值区间; (2)g(x)=x-ln(x+m)的保值区间是[2,+∞),求 m 的取值范围.
2 2

1.函数 f(x)=log0.5(x+1)+log0.5(x-3)的单调递减区间是( A.(3,+∞) C.(-∞,1) 1 2.设函数 f(x)=2x+ -1(x<0),则 f(x)( B.(1,+∞) D.(-∞,-1)

)

x

)
2

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A.有最大值 C.是增函数

B.有最小值 D.是减函数

1 3.已知 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f(| |)<f(1)的实数 x 的取值范围是(

x

)

A.(-1,1) C.(-1,0)∪(0,1) 4.函数 f(x)=

B.(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) (x∈R 且 x≠1)的单调增区间是______.

x2

x-1

5.在给出的下列 4 个条件中,
?0<a<1 ? ①? ?x∈? -∞,0? ? ?0<a<1 ? ②? ?x∈? 0,+∞? ?

③?

? ?a>1 ?x∈? ?

-∞,0?

④?

? ?a>1 ?x∈? ?

0,+∞?

1 能使函数 y=loga 2为单调递减函数的是________.

x

6 . f(x) =? ( )

?ax-1,x≤2, ? ?loga? ?

x-1? +3,x>2,

是定义域上的单调函数,则 a 的取值范围是

A.(1,+∞) C.(1,2)

B.[2,+∞) D.(1,2]

故 1<a≤2.

1.若函数 f(x)是 R 上的增函数,对实数 a、b,若 a+b>0,则有( A.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b) B.f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b) C.f(a)-f(b)>f(-a)-f(-b) D.f(a)-f(b)<f(-a)-f(-b)

)

2.若函数 y=ax 与 y=- 在(0,+∞)上都是减函数,则 y=ax +bx 在(0,+∞)上是 ( ) A.增函数 C.先增后减 B.减函数 D.先减后增

b x

2

3.(2012·烟台调研)设函数 y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义,对于给定的正数 K,定
用心 爱心 专心 3

义函数: fK(x)=?

?f? ?

x? ,f? x? ≤K, x? >K.
)

?K,f? ?

取函数 f(x)=a

-|x|

1 (a>1), 则当 K= 时, 函数 fK(x)

a

在下列区间上单调递减的是( A.(-∞,0) C.(-∞,-1)

B.(-a,+∞) D.(1,+∞)

4.已知函数 f(x)的定义域为 A,若其值域也为 A,则称区间 A 为 f(x)的保值区间.若

g(x)=-x+m+ex 的保值区间为[0,+∞),则 m 的值为(
A.1 C.e
? ?x +1,x≥0 5.已知函数 f(x)=? ? ?1,x<0
2

)

B.-1 D.-e ,则满足不等式 f(1-x )>f(2x)的 x 的取值范围是
2

________.

1.答案

B

解析 对称轴 x=1-a≥4.∴a≤-3. 2.答案 A

1 1 1 解析 令 f(t)= -t,t>0 时,f(t)为减函数,∴0<t≤ 时,f(t)的最小值为 f( ), t 4 4 15 即 . 4 1 3.答案 A 解析 条件即 f(x)在(0,+∞)为减函数,只有 符合条件.

x

4.答案

A

解析 由- ≤0,得 b≥0. 2 5.答案 解析 C

b

该题考查抽象函数的运算,显然(4-6)(f(4)-f(6))>0? f(4)<f(6),结合奇函

数的定义,得-f(4)=f(-4),-f(6)=f(-6).故 f(-4)>f(-6). 6.答案 B

1 解析 f(x)可由- 沿 x 轴向左平移一个单位,再向上平移一个单位得,如图.

x

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4

7.答案

C ? 1<a< 2.

?a>1 ? 1 2 解析 x -ax+ 有最小值,f(x)也有最小值,∴? 2 ?Δ <0 ?

8. 答案 B 1 1 3 3 解析 对于①, f(x)= sin2x+1∈[ ,], 因此有|f(x)|≤ , 该函数是“有界函数”. 对 2 2 2 2 于②,f(x)= 1-x ∈[0,1],因此有|f(x)|≤1,该函数是“有界函数”.对于③,f(x) =1-2 ∈(-∞,1),此时|f(x)|的值可无限的大,因此该函数不是“有界函数”.对于④, 函数 f(x)的定义域是(-1,1), 且当 x∈(-1,1)时, y= 1-x 2 =-1+ 的值域是(0, +∞), 1+x 1+x
x
2

因此函数 f(x)的值域是 R,此时|f(x)|的值可无限的大,因此该函数 f(x)的值域是 R,此时 |f(x)|的值可无限的大,因此该函数不是“有界函数”.综上所述,其中是“有界函数”的 共有 2 个,选 B. 9.答案 3

解析 ①②④错误,其中④中若 k=0,则命题不成立. 10.答案 [1,+∞) 解析 函数图像如图

11.答案 (-∞,4]
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解析 作出图像. 12.答案 (-1,0] 4? 1-x ? 解析 ∵f′(x)= 2 2, ? x +1? 令 f′(x)>0 得-1<x<1, ∴f(x)的增区间为(-1,1). 又∵f(x)在(m,2m+1)上单调递增,
? ?m≥-1, ∴? ?2m+1≤1, ?
2

∴-1≤m≤0.

∵区间(m,2m+1), ∴隐含 2m+1>m,即 m>-1. 综上,-1<m≤0. 13.解析 (1)证明 任设 x1<x2<-2, 则 f(x1)-f(x2)=

x1 x2 2? x1-x2? - = . x1+2 x2+2 ? x1+2? ? x2+2?

∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增. (2)解 任设 1<x1<x2,则

x1 x2 a? x2-x1? f(x1)-f(x2)= - = . x1-a x2-a ? x1-a? ? x2-a?
∵a>0,x2-x1>0, ∴要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立,∴a≤1. 综上所述知 0<a≤1. 14.解 (1)证明:设 x1,x2∈R,且 x1<x2, 则 x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1.

f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)
=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0. ∴f(x2)>f(x1). 即 f(x)是 R 上的增函数.
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(2)∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5, ∴f(2)=3, ∴原不等式可化为 f(3m -m-2)<f(2), ∵f(x)是 R 上的增函数, 4 2 ∴3m -m-2<2,解得-1<m< , 3 4 故 m 的解集为{m|-1<m< }. 3 15.答案 (1)[0,+∞)或[1,+∞) (2)-1
2

解析 (1)若 n<0,则 n=f(0)=0,矛盾. 若 n≥0,则 n=f(n)=n ,解得 n=0 或 1, 所以 f(x)的保值区间为[0,+∞)或[1,+∞). (2)因为 g(x)=x-ln(x+m)的保值区间是[2,+∞), 所以 2+m>0,即 m>-2, 令 g′(x)=1- 1
2

x+m

>0,得 x>1-m,

所以 g(x)在(1-m,+∞)上为增函数, 同理可得 g(x)在(-m,1-m)上为减函数. 若 2≤1-m 即 m≤-1 时, 则 g(1-m)=2 得 m=-1 满足题意. 若 m>-1 时,则 g(2)=2,得 m=-1,矛盾. 所以满足条件的 m 值为-1.

1.答案

A
? ?x+1>0, ?x-3>0, ?

解析 由已知易得?

即 x>3,又 0<0.5<1,

∴f(x)在(3,+∞)上单调递减. 2.答案 A

1 1 解析 当 x<0 时, -x>0, -(2x+ )=(-2x)+(- )≥ 2

x

x

?

1 -2x? ·? - ?

x

=2 2,

1 1 1 即 2x+ ≤-2 2,2x+ -1≤-2 2-1,即 f(x)≤-2 2-1,当且仅当-2x=- ,即 x

x

x

x

=-

2 时取等号,此时函数 f(x)有最大值,选 A. 2

用心 爱心 专心

7

3.答案

C

1 解析 由已知得:| |>1? -1<x<0 或 0<x<1,故选 C.

x

4.答案

(-∞,0)和(2,+∞) 1 变形为 y=(x-1)+ +2 x-1 x-1

解析 将原函数 y=

x2

显然 x-1 在区间(-∞,-1)和(1,+∞)内取值时,函数单调递增,即得 x 在区间(- ∞,0)和(2,+∞)内取值时,函数单调递增. 5.(把你认为正确的条件编号都填上). 答案 ①④ 解析 利用复合函数的性质,①④正确. 6.答案 D

1.答案

A

解析 ∵a+b>0,∴a>-b,b>-a, ∴f(a)>f(-b),f(b)>f(-a),∴选 A. 2.答案 B

解析 由题意知 a<0,b<0,选 B. 3.答案 解析 D
-|x|

函数 f(x)=a

1 (a>1)的图像为下图中实线部分,y=K= 的图像为下图中虚线

a

部分,fK(x)的图像为实线和虚线中靠下方的部分,知 fK(x)在(1,+∞)上为减函数,故选 D.

4.答案

B
x

解析 由定义知,g(x)=-x+m+e 保值区间[0,+∞), 又∵g′(x)=-1+e ≥0,∴g(x)为在[0,+∞)上的增函数. ∴当 x=0 时,g(0)=0,即 m+1=0,∴m=-1.
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x

5.答案

(-1, 2-1)解析

?x +1,x≥0 ? 画出 f(x)=? ? ?1,x<0

2

?1-x >0 ? 2 的图像, 由图像可知, 若 f(1-x )>f(2x), 则? 2 ? ?1-x >2x

2



?-1<x<1 即? ?-1- 2<x<-1+ 2
得 x∈(-1, 2-1).



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9


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