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第4讲 集合与逻辑


集合与简易逻辑

教 师:苗金利

第4讲
【本章知识结构】 ? ? ? 概念 ? 元素、集合 ? ? ?子集与真子集 ? ? 交集 ? ? ? 集合 ? 运算 ? 并集 ? ? 补集 ? ? ? ? 解一元二次不等式 ? ? ? 应用 ? 解含绝对值不等式 ? 解简单分式不等式 ? ? ? 一、知识要点与基本方法 (一)集合的概念

集合与简易逻辑

? 逻辑联结词 ? 简易逻辑 ?四种命题 ? 充要条件 ?

(二)集合的运算

(三)逻辑联结词和四种命题

(四)充分条件与必要条件

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二、典型例题 例 1.设 A、B 是两个集合,对于 A ? B ,下列说法正确的是( A.存在 x0 ∈ A ,使 x0 ∈ B C.B 不可能为空集



B. B ? A 一定不成立 D. x0 ∈ A 是 x0 ∈ B 的充分条件

例 2.设集合 M = { x x ? m ≤ 0} , N = y y = 2 x ? 1, x ∈ R ,若 M ∩ N = φ ,则实数 m 的取值范围是 ( ) A.m≥-1 B.m>-1 C.m≤-1 D.m<-1 )

{

}

例 3.集合 M={x││x│=1},N={ x│ax=1},M∪N=M,则实数 a 的所有可能值的集合为( A.{1,-1} B.{1} C.{0,1} D.{-1,0,1}
2 2

例 4.设集合 A = { p + 11 | p ∈ N }, B = {q + 20 | q ∈ N } . 若 A ∩ B = M ,则 M 中元素的个数为 ( ) A.0

B.1
2

C.2

D.至少 3

例 5.已知 x ∈ R , y ∈ R + ,集合 A = {x + x + 1,? x,? x ? 1}, B = {? y,? 的值是( A.5 ) B.4
2

y , y + 1} ,若 A=B,则 x 2 + y 2 2
D.10

C.25
2

例 6. 设集合 A = {x | x ? 3 x + 2 = 0}, B = { y | y = x ? 2 x + 3, x ∈ A} , 定义对于任意两个集合 M、 N 的运算: M ? N = {x | x ∈ M , x ∈ N , x ? M ∩ N } ,则 A ? B ( A. {1, 2} B. {2, 3} C. {1, 3}
2



D. {1, 2, 3}

例 7. [ x] 表示不大于 x 的最大整数, 设 集合 A = {x | x ? 2[ x] = 3} ,B = {x | ___________.

1 < 2 x < 8} , A ∩ B = 则 8

例 8.若曲线 y = a | x | 与曲线 y = x + a 有两个不同的公共点,则 a 的取值范围是___________. 例 9.在集合 {1, 2,3,

, n} 中,任意取出一个子集,计算它的元素之和,则所有各个子集元素之和的

总和是___________.
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例 10.对集合 A = {1, 2,3,

, n} 的每一个非空子集,定义一个唯一确定的“交替和”如下:按递减的次

序重新排列该子集的元素,然后从最大的数开始,交替地减或加后继的数所得的结果. 例如, 集合 {1, 2, 4,7,10} 的交替和为 10 ? 7 + 4 ? 2 + 1 = 6 , 集合 {7,10} 的交替和为 10 ? 7 = 3 , 集合 {5} 的交替和为 5,等等. 求 n=2010 时,集合 A 的所有子集的交替和的总和___________. 例 11.已知 A = x x = m + n 2 , m , n ∈ Z , (1)设 x1 =

{

}

1 , x2 = 9 ? 4 2 , x3 = (1 ? 3 2) 2 ,试判断 x1 , x2 , x3 与 A 之间的关系; 3?4 2

(2)任取 x1 , x2 ∈A,试判断 x1 + x2 , x1 ? x2 与 A 之间的关系; (3)能否找到 x0 ∈ A , 使

1 ∈ A且x0 ≠ ±1 . x0

例 12.下列 4 个命题

?1? ?1? p1 : ?x ∈ (0, +∞), ? ? < ? ? ? 2? ? 3?
x

x

x

p2 : ?x ∈ (0,1), log 1 x > log 1 x
2 3

?1? p3 : ?x ∈ (0, +∞), ? ? > log 1 x ?2? 2
其中的真命题是( A. p1 , p3 例 13. (1)设集合 A = {x | ) B. p1 , p4

? 1? ?1? p4 : ?x ∈ ? 0, ? , ? ? > log 1 x ? 3? ? 2? 3

x

C. p2 , p3

D. p2 , p4

x ?1 ) < 0}, B={x| |x-1|<a},若“a=1”是“A∩B≠?”的( x +1 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2 (2)设 p:x1,x2 是方程 x +5x-6=0 的两根,q:x1+x2=-5,则 p 是 q 的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

例 14.当集合 S ? N*,且满足命题“如果 x∈S,则 8-x∈S”时,回答下列问题: (1)试写出只有一个元素的集合 S;
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(2)试写出元素个数为 2 的 S 的全部. (3)满足上述条件的集合 S 总共有多少个?

例 15.设 S 为满足下列两个条件的实数所构成的集合: ①1?S,②若 a∈S,则

1 ∈ S ,求解下列问题: 1? a

(I)若数列{2·(-1)n}中的项都在 S 中,求 S 中所含元素个数最少的集合 S*; (II)在 S*中任取 3 个元素 a、b、c,求使 abc=-1 的概率; (III)S 中所含元素个数一定是 3n (n∈N*)个吗?若是请给出证明;若不是,试说明理由.

综合练习 (一)集合 知识要点: ①正确理解集合、元素的含义及相关概念,正确使用有关符号; ②集合中元素的三个特性; ③子集、真子集的概念; ④集合的运算 1.已知集合 A 含有 10 个元素,求 A 的含有偶数个元素的不同非空真子集的个数. 2.若集合 A 中有元素 m 个,集合 B 中有元素 n 个,且 m < n ,则满足条件 A ? C ? B 的集合 C 有 多少个? 3.设 A = 2, a 2 ? 2a,6 , B = 2, 2a 2 ,3a ? 6 , 若 A ∩ B = {2,3} ,求 A ∪ B .

{

}

{

}

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4.设全集 U = { x ∈ N * x ≤ 8} ,若 A ∩

U

B = {1,8} ,

U

( A ∪ B ) = {2,6} , A ∩ B = {3} ,求 A, B .

5.设 f ( x), g ( x) 是一次函数,全集为 R, M = { x | f ( x) ≠ 0} , N = { x | g ( x) ≠ 0} ,试用 M,N 表示集合

{ x | f ( x) g ( x) = 0}

6.设 A = {x | x = cos

mπ (2n ? 3)π , n ∈ Z } ,试确定集合 A、B 的关系. , m ∈ Z } , B = {x | x = sin 6 3

7.设 A = x | x 2 ? 2 x ? 8 < 0 , B = x | x 2 + 2 x ? 3 > 0 , C = x | x 2 ? 3ax + 2a 2 < 0 , (1)若 C ? A ∩ B ,求实数 a 的取值范围; (2)若 C ? ( R A) ∩ ( R B) ,求实数 a 的取值范围.

{

}

{

}

{

}

(二)简易逻辑 知识要点: ①命题,量词,简单命题与复合命题; ②逻辑连接词“或”、“且”、“非”; ③含有一个量词的否定; ④原命题、逆命题、否命题、逆否命题; ⑤四种条件

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8.若命题:“p 或 q”为真命题,命题“p 且 q”为假命题,则( A.命题 p 和命题 q 都是真命题 B.命题 p 和命题 q 都是假命题 C.命题 p 和命题 q 一个是真命题,一个是假命题 D.命题 p 和命题 q 的真假无法判断



9.命题“若 m > 0, ,则关于 x 的方程 x 2 + x ? m = 0 有实根”的逆命题,否命题,逆否命题中假命题的 个数是( A.0 ) B.1

C.2

D.3

10.已知集合 P、M、N,若“ x ∈ P ”是“ x ∈ M 或 x ∈ N ”的充要条件,那么“ x ∈ M ”是“ x ∈ P ” 的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分且必要条件 D.既非充分且非必要条件 11.下列各组命题中 (1)甲:四边形对角线互相平分 (2)甲:c=0 (3)甲:方程 ax 2 + bx + c = 0 有一根是 1 (4)甲: A

乙:四边形是矩形 乙:抛物线 y = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) 过原点 乙: a + b + c = 0(a, b, c ∈ R) 乙: S B

B?S

S

A

(5)甲: A = x | ax 2 ? x + 1 = 0 非空

{

}

乙:方程 ax 2 ? x + 1 = 0 必有一根在 (0, 2] 内

满足甲是乙的充要条件的题号是___________. 12. (1) x 2 + y 2 ≤ 1 是 | x | + | y |≤ 1 的___________条件;

?α > 2 ?α + β > 4 是? 的___________条件. (2) ? ? β > 2 ? αβ > 4

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参考答案
典型例题 例 1.D 例 7. ?1, 例 11. (1) x1 =
1 3? 4 2 =? 3 4 2?A ? 23 23

例 2.C

例 3.D

例 4.C

例 5.A 例 9. 2n ? 2 n(n + 1)

例 6.C 例 10. 22010 × 1005

{

7

}

例 8. a < ?1或a > 1

x2 = 9 ? 2 8 = 8 ? 2 8 + 1 = 8 ? 1 = 2 2 ? 1 ∈ A

x3 = (1 ? 3 2)2 = 19 ? 6 2 ∈ A (2) ?x1 , x2 ∈ A ,设 x1 = m1 + n1 2, x2 = m2 + n2 2(m1 , n1 , m2 , n2 ∈ Z )

x1 + x2 = (m1 + m2 ) + (n1 + n2 ) 2 ∈ A x1 ? x2 = (m1m2 + 2n1n2 ) + (m1n2 + m2 n1 ) 2 ∈ A
(3)设存在 x0 ∈ A 且

1 ∈ A ( x0 ≠ ±1) x0

令 x0 = m0 + n0 2(m0 , n0 ∈ Z )



?n m 1 1 = = 2 0 2 + 2 0 2 2∈A x0 m0 + n0 2 m0 ? 2n0 m0 ? 2n0

2 2 只需 m0 ? 2n0 = ±1

只需 m0 = n0 = 1 即 x0 = 1 + 2 ,故存在 x0 ∈ A 且 例 12.D 例 14.(1){4} 例 13.(1)A

1 ∈A 。 x0
(3)15 个

(2)B

(2){1,7},{2,6},{3,5}

例 15.(1)由题 2 ∈ S , 则

1 1 1 1 ∈ S , ∴ ?1 ∈ S , 则 ∈ S , 即 ∈ S ,则 ∈ S .即2 ∈ S . 1 1? 2 1+1 2 1? 2

? 2 ∈ S, 则

1 1 1 3 1 ∈ S, ∴ ∈ S, 则 ∈ S , 即 ∈ S ,则 ∈ S即-2 ∈ S . 1 3 1+ 2 3 2 1? 1? 3 2
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元素个数最少的集合 S*={2,?1,

1 1 3 ,?2, , } 2 3 2

(2)从 S*中任取 3 个元素共有 C3 种等可能事件. 6 满足积为?1 的有两种.∴ P =

2 1 = . 3 C6 10

(3)card(S)=3n(n∈ N*) 1 1 1 1 ∈ S. 又 ∈ S .又 ∈ S. 即 设 x ∈ S .∴ ∈ S. 即 x ∈ S. 1 1? x 1? x ? 1? 1? 1 ? ?1 ? ? 1? x x? ? 假设 x = ∴x ≠ 综合练习 (一)集合
2 4 6 8 1. C10 + C10 + C10 + C10 = 510

1 ∴x2?x+1=0.∴ Δ1 = ?3 < 0 (无实根) 1? x 1 同理 x ≠ 1 ? , x 1? 1 1 ≠ x 1? x

1 1? x

2.2n?2m+1 3.A∩B={2,3}∴ 3 ∈ A且3 ∈ B.
∴ a 2 ? 2a = 3.a = 3或 ? 1. 当 a = ?1 时,2a2=2 不合题意. 当 a = 3 时,A={2,3,6}, ∴A∪B={2,3,6,18} 4. ∪ = {1, 2,3, 4,5,6,7,8}. 利用图示法可得 A={1,3,8}.

B={2,18,3}

B={3,4,5,7}

5.{x | f(x)g(x)=0}={x | f(x)=0 或 g(x)=0} =CRM∪CRN. 1 1 1 1 6.A={1, , ? , ?1 },B={ 1, , ? , ?1 } 2 2 2 2
∴A=B.

7.(1) A = {x | ?2 < x < 4}

B = {x | x < ?3或x > 1} C ? A ∩B.

A∩B={x|1<x<4}.

C = {x | ( x ? a )( x ? 2a) < 0}

当 a=0 时 C = {x | x 2 < 0} = ? ? A ∩ B 当 a>0 时 C = {x | a < x < 2a} ? A ∩ B
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当 a<0 时 C = {x | 2a < x < a}

A∩B

?a ≥ 1 ∴? ? 2a ≤ 4

∴1≤a≤2

综上 a 的取值范围是 1≤a≤2 或 a=0.

?2a < ?3 (2)(CRA)∩(CRB)=[?3,?2] ? C , 则 a < 0 ,C=(2a, a) ∴ ? ?a > ?2
∴ ?2 < a < ?

3 2

(二)简易逻辑

8.C

9.C

10.A

11.(2)(3)(4)

12.(1)必要不充分 (2)充分不必要

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