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习文教育高二上学期数学寒假作业 (一)


习文教育高二上学期寒假作业(一) 班级 姓名 学号 一、选择题(12×5=60 分) 1、若 k>0,b<0,直线 y=kx+b 不通过( A、第一象限 B、第二象限 ) C、第三象限 D、第四象限 ) D、a=3,b=6 )

2、如果直线 y=ax+2 与直线 y=3x-b 关于直线 y=x 对称,那么( A、 a ?

1 ,b=6 3

B、 a ?
2

1 ,b=-6 3
2

C、a=3,b=-2

3、若直线 ax+by=1 与圆 C: x ? y ? 1 相交,则点 P(a,b)的位置关系是( A、在圆 C 外
2 2

B、在圆 C 上
2 2

C、在圆 C 内

D、以上均有可能 ) D、四条直线 )

4、方程 ( x ? 4) ? ( y ? 4) ? 0 表示的图形为( A、两个点 B、四个点 C、两条直线

5、过点 P(-2,3)并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是( A、x-y+5=0 C、x+y-1=0 或 3x+2y=0 B、x+y-1=0 D、3x+2y=0 或 x-y+5=0

6、已知直线 2x+y-2=0 和 mx-y+1=0 的夹角为 A、 ?

?
4

,那么 m 的值为(



1 或-3 3

B、

1 或-3 3
2

C、 ?
2

1 或3 3

D、

1 或3 3

7、已知点 A(-1,1)和圆 C: ( x ? 5) ? ( y ? 7) ? 4 ,一束光线从点 A 经过 x 轴反射到圆周 上的最短路程是( A、10 8、 若关于 x 的不等式 A、1 ) B、 6 2 ? 2 C、 4 6 D、8 )

( x ? a )( x ? b) 2)∪[3,+∞), 则 a+b 的值为 ( ? 0 的解集为[-1, x?c
C、-2 D、5

B、2

9、 若直线 2x-y+c=0 按向量 a = (1, -1) 平移后与圆 x2+y2=5 相切, 则 c 的值为 ( A、8 或-2
2 2



B、6 或-4

C、4 或-6

D、2 或-8

10、能够使圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 上恰有三个点到直线 2x+y+c=0 的距离为 1,则 c 的 值为( A、 ? 2 5 ) B、 5 C、 ? 5 D、2 5

11、已知 0 ? x ? 则 t 的值为(

?
2

,t 是大于 0 的常数,且函数 f ( x) ? A、4
2

1 t 的最小值为 9, ? sin x 1 ? sin x
D、10



B、6

C、8

12、 已知:函数 f ( x) ? x ? ax ? 2b ,设 f ( x) ? 0 的两根为 x1、x2, 且 x1∈(0,1), A、(1,4) x2∈(1,2),则

b?2 的取值范围是( a ?1
C、(-4,1) D、(



B、(-1,

1 ) 4

1 ,1) 4

二、填空题(4×4=16 分) 13、将参数方程 ?
2 2

? x ? 1 ? 2 cos ? ( ? 为参数) 化为普通方程为 ? y ? 2 sin ?
2 2

14、圆 x ? y ? 2 x ? 0 和圆 x ? y ? 4 y ? 0 的位置关系是 15、已知 f ( x) ? ?

?1, ( x ? 0) ,则不等式 xf ( x) ? x ? 2 的解集是 ?0, ( x ? 0)
2 2

16、已知圆 C: ( x ? cos ? ) ? ( y ? sin ? ) ? 1 ,直线 l : y ? kx ,下面四个命题: ①对任意实数 k 与 ? ,直线 l 和圆 C 相切 ②对任意实数 k 与 ? ,直线 l 和圆 C 有公共点 ③对任意实数 ? ,必存在实数 k ,使得直线 l 与圆 C 相切 ④对任意实数 k ,必存在实数 ? ,使得直线 l 与圆 C 相切 其中真命题的序号是 三、解答题(74 分) 17、(12 分) 求经过两直线 3x-2y-11=0 和 4x+3y+8=0 的交点且与 直线 l :2x+3y+5=0 (1)垂直的直线 (2)平行的直线 。

18、 (12 分)求经过点 A(3,2)圆心在直线 y=2x 上,与直线 y=2x+5 相切的圆的方程

19、 (12 分)如图设定点 M(-2,2),动点 N 在圆 x ? y ? 2 上运动,以 OM、0N 为两边作
2 2

平行四边形 MONP,求点 P 的轨迹方程 M

y P

N

O

20、(12 分)制定投资计划时,不仅要考虑可能获得盈利,而且要考虑可能出现的亏损。某 投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙两个项目可能的最大的盈利率分别为 100%和 50%, 可能的最大的亏损率分别为 30%和 10%, 投资人计划投资金额不超过 10 万元, 要求确保可能的基金亏损不超过 1.8 万元。问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元, 才能使可能的盈利最大?

21、(12 分)过点 P(2,1)作直线 l 分别交 x 轴、y 轴的正半轴于 A、B 两点。O 为原点。(1) 当|PA| ? |PB|取最小值时,求直线 l 的方程;(2)当△AOB 面积最小值时,求直线 l 的方程。

22、(14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,设二次函数 f ( x) ? x ? 2 x ? b 的图象与两个坐标
2

轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为 C (1)求实数 b 的取值范围 ; (2)求圆 C 的方程; (3)问圆 C 是否经过定点(其坐标与 b 无关)证明你的结论。

习文教育高二上学期寒假作业(一)答案

一、选择题(60 分)
题号 答案 1 B 2 A 3 A 4 B 5 D 6 C 7 D 8 C 9 A 10 C 11 A 12 D

二、填空题(16 分)
13、 ( x ? 1) ? y ? 4 ;14、相交;15、{x|x≤1}; 16、②④
2 2

三、解答题(74 分)
17、(12 分) 求经过两直线 3x-2y-11=0 和 4x+3y+8=0 的交点 A 且与 直线 l :2x+3y+5=0 (1)垂直的直线
【解】 :由 ?

(2)平行的直线
即交点 A(1,-4) ……………2 分

?3 x ? 2 y ? 11 ? 0 ?x ? 1 得? ?4 x ? 3 y ? 8 ? 0 ? y ? ?4

(1)设与 l 垂直的直线 l1 :3x-2y+C1=0,将点 A 代入得 C1=-13 ∴ l1 :3x-2y-13=0 (2)设与 l 平行的直线 l 2 :2x+3y+C2=0,将点 A 代入得 C2=10 ∴ l 2 :2x+3y+10=0 ……………12 分 ……………7 分

18、 (12 分)求经过点 A(3,2)圆心在直线 y=2x 上,与直线 y=2x+5 相切的圆的 方程
【解】 :设圆的方程为: ( x ? a ) ? ( y ? b) ? r
2 2 2

………………1 分

? ? 2 2 2 ?(3 ? a ) ? (2 ? b) ? r ? 依题意得 ?b ? 2a ? 2a ? b ? 5 ? ? r2 ? 2 2 ? (?1) 2 ?

………………6 分

?a ? 2 ? 解之得: ?b ? 4 ? ?r ? 5

4 ? ?a ? 5 ? 8 ? 或 ?b ? 5 ? ?r ? 5 ? ?
2 2

……………10 分

∴所求的圆的方程为: ( x ? 2) ? ( y ? 4) ? 5 或 ( x ? ) ? ( y ? ) ? 5 ………12 分
2 2

4 5

8 5

19、 (12 分)如图设定点 M(-2,2),动点 N 在圆 x 2 ? y 2 ? 2 上运动,以 OM、0N 为两边作平行四边形 MONP,求点 P 的轨迹方程
【解】 : 设 P(x,y),N (x0,y0) ∴ x0 ? y 0 ? 2 ∵平行四边形 MONP
2 2

(*)

……… 2 分
M

P

y



? x x0 ? 2 ? ? ?2 2 ? ? y ? y0 ? 2 ? 2 ?2 ? x0 ? x ? 2 ? ? y0 ? y ? 2
2

N ……………7 分 x

O

……………8 分

代入(*)有 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 2
2

…………………10 分

又∵M、O、N 不能共线 ∴将 y0=-x0 代入(*)有 x0≠±1 ∴x≠-1 或 x≠-3
2 2

…………………… 11 分

∴点 P 的轨迹方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 2 ( x ? ?1且x ? ?3 ) ……12 分

20、(12 分)制定投资计划时,不仅要考虑可能获得盈利,而且要考虑可能出现 的亏损。某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙两个项目可能的 最大的盈利率分别为 100%和 50%,可能的最大的亏损率分别为 30%和 10%,投资 人计划投资金额不超过 10 万元,要求确保可能的基金亏损不超过 1.8 万元。问 投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?
y

【解】 :设投资人分别用 x 万元、y 万元
投资甲、乙两个项目, ………1 分

? x ? y ? 10 ?0.3 x ? 0.1 y ? 1.8 ? 由题意知 ? ?x ? 0 ? ?y ? 0
目标函数 z=x+0.5y

………5 分 O ……6 分 x x+y=10 3x+y=18 y=-2x+2z y=-2x ………………8 分

上述不等式组表示的平面区域如图阴影(含边界)

作直线 l :x+0.5y=0,并作平行于的直线 x+0.5y=z,z ? R 与可行域相交,其 中一条直线经过可行域上的 M 点,且与直线 x+0.5y=0 的距离最大。这里的 M 点 是直线 x+y=10 与直线 0.3x+0.1y=1.8 的交点。 解放程组 ?

? x ? y ? 10 ?x ? 4 得? ?0.3 x ? 0.1 y ? 1.8 ? y ? 6

………………10 分 ………………11 分

此时 z ? 1 ? 4 ? 0.5 ? 6 ? 7 (万元)

答:投资人用 4 万元投资家项目,6 万元投资家项目,才能确保亏损不超过 1.8 万元的前 提下,使可能的盈利最大。 ………………12 分

21、(12 分)过点 P(2,1)作直线 l 分别交 x 轴、y 轴的正半轴于 A、B 两点。O 为 原点(1)当|PA| ? |PB|取最小值时,求直线 l 的方程;(2)当△AOB 面积最小 值时,求直线 l 的方程。 【解】 :(1) 设 l : y-1=k(x-2),(k<0)
令 y=0 得 A(2-

1 ,0);令 x=0 得 B(0,1-2k) k 1 1 ? 1)(4 ? 4k 2 ) ? 8 ? 4(k 2 ? 2 ) ? 4 2 k k

∴|PA|?|PB|= (

上式当且仅当 k =

2

1 时取等号, k2
……………6 分

又 k< 0,∴k=-1 ∴所求直线 l 的方程为:x+y-3=0

1 1 1 |OA|?|OB|= |(2- )|?|(1-2k)| 2 2 k 1 1 = [4 +(-4k+ )] ? 4 2 ?k 1 上式当且仅当-4k= 时取等号 ?k 1 又 k< 0,∴k=- 2 1 ∴所求直线 l 的方程为 y-1=- (x-2),即 x+2y-4=0 2
(2)

?S

△AOB

=

………12 分

22、(14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,设二次函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? b 的图象与两 个坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为 C (1)求实数 b 的取值范围 (2)求圆 C 的方程

(3)问圆 C 是否经过定点(其坐标与 b 无关)证明你的结论
【解】 : (1)①当 b=0 时二次函数 f ( x) ? x ? 2 x ? b 的图象与两个坐标轴只有
2

两个交点(0,0)、(-2,0),与题意不符。 ②当 b≠0 时,依题意有 △=4-4b>0 ∴b<1 ∴实数 b 的取值范围是(-∞,0)∪(0,1) (2)由方程 x ? 2 x ? b =0 得 x ? ?1 ? 1 ? b
2

…………4 分

∴交点三个交点坐标是( ? 1 ? 1 ? b ,0),( ? 1 ? 1 ? b ,0),(0,b) 设圆 C: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,依题意得:
2 2

?(?1 ? 1 ? b ) 2 ? D(?1 ? 1 ? b ) ? F ? 0 ? ? 2 ?(?1 ? 1 ? b ) ? D(?1 ? 1 ? b ) ? F ? 0 ?b 2 ? Eb ? F ? 0 ? ? ?D ? 2 ? 解方程组得: ? E ? ?(b ? 1) ?F ? b ?
∴圆 C: x ? y ? 2 x ? (b ? 1) y ? b ? 0
2 2

………9 分

(3)圆 C 过定点 证明:假设圆 C 过定点(x0,y0)(x0,y0 不依赖于 b) ∴ x0
2

? y0 ? 2x0 ? (b ? 1) y0 ? b ? 0
2

2

∴ x 0 ? y 0 ? 2 x 0 ? y 0 ? b(1 ? y 0 ) ? 0 为了使上述方程对所有满足 b<1(b≠0)的 b 都成立 则?

2

?1 ? y 0 ? 0
2 2 ? x0 ? y 0 ? 2 x0 ? y 0 ? 0

解之得 ?

? x0 ? 0 ? x0 ? ?2 或? ? y0 ? 1 ? y0 ? 1
…………14 分

经验证:点(0,1),(—2,1)均在圆 C 上 ∴圆 C 经过定点


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