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高一函数单调性总结


函数单调性问题的求解策略
一、 掌握几种常见初等函数的单调性和图像。如一次函数、二次函数、反比例函数、指、 对数函数、幂函数、对勾函数及三角函数的单调性和图像。 例1、 函数 f ( x) ? x ?

4 在 [ a, a ? 1] 上是单调增函数,求 a 的范围 x

例2、 已知函数 f ( x) ? ? x 2 ? mx

? 1 ,在 [1,2] 是单调函数,求 m 的范围。 二、 对常见初等函数的变化。如加绝对值、平移、伸缩、翻转
2 例3、 求函数 f ( x ) ? x ? 2 x ? 3 的单调区间。

例4、 求函数 f ( x ) ?

x?2 单调区间 3 ? 2x

三、 对二次复合函数单调性的判定。主要是“同”增“异”减。 例5、 已知 f ( x) ? lg x , g ( x) ? x 2 ? 2 x ,求 f ( g ( x)) 和 g ( f ( x)) 的单调区间 例6、 已知 y ? f (x) 是 R 上增函数,求函数 y ? f (1 ? x 2 ) 的单调区间。 四、 用单调性定义(作差法)判定单调性。 例7、 已知函数 f ( x) ? 求 a 的范围。 例8、 讨论函数 f ( x) ?

x 2 ? 1 ? ax ,(1) a ? 1 时,求单调性(2)若 f (x) 在 [1,??) 递增,
ax , a ? 0 的单调性 x ?1

五、 抽象函数单调性的证明。 例 9、已知函数 f (x) 对任意的 m, n ? R ,都有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ? 1 ,并且当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 。
2 (1)证明。此函数是增函数(2)若 f (3) ? 4 ,解不等式 f (a ? a ? 5) ? 2

例 10、设 f (x) 是定义在 R 上的增函数,且 f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) (1)证明 f (1) ? 0, f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) (2)若 f (2) ? 1, 解 f ( x) ? f (

?

x y

1 )?2 x?3

六、 单调性的应用和性质。 函数单调性可用于证明不等式,解不等式,求函数最值,比较大小等作用。奇函数在 两个对称的区间上具有相同单调性, 偶函数在对称的区间上具有相反的单调性, 互为反函数 的两个函数具有相同的单调性。


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