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微积分竞赛试题答案


湖州师范学院高等数学(微积分)竞赛试题答案 (数学专业) 一、 计算题(每小题 15 分,满分 60 分)

1.

x2 ?1? 1? x2 2 计算: lim 2 x ?0 (cos x ? e x ) sin x 2
解:



1? x2 ? 1?

x2 x4

? ? 0( x 4 ), 2 8

x2 1 ? 1 ? 1 ? x 2 ? x 4 ? 0( x 4 ) 。 2 8


cos x ? e x ? [1 ?
4

1 2 3 x ? 0( x 2 )] ? [1 ? x 2 ? 0( x 2 )] ? ? x 2 ? 0( x 2 ) , 2 2



x2 ?1? 1? x2 lim 2 2 x ?0 (cos x ? e x ) sin x 2

1 0( x 4 ) 1 4 ? 4 x ? 0( x 4 ) 1 x2 x2 1 8 8 x ? lim ? 2? ? lim ? ?? 2 2 2 x ?0 x ?0 3 12 x sin x 3 0( x ) sin x ? x 2 ? 0( x 2 ) ? ? 2 2 2 x

n? 2.设 lim ? ? 2006,试求 ? , ? 的值。 n?? n ? (n ? 1) ?
n? 解: ? n ? (n ? 1) ?
=

n? ?? n? ?? n ? ? ? ?1 ? ? 1 ? ? 1 1 1 ? (1 ? ) 1 ? (1 ? ? 0( )) ? ? n ? 0( ) n n n n



??, ? n ?1 显然由条件知 ? ? 0 ,而 lim ?? , n ?? 1 ? ? n ? 0( ) ? ? n ?0, ?
? ? ? ?1

? ? ? ? 1 ? 0, ? ? ? ? 1 ? 0, ? ? ? ? 1 ? 0,

因此有 ?

? ? ? 1 ? 0, 且
?

1

?

? 2006,故 ? ? ?

2005 1 ,? ? 2006 2006

3.

求积分
?

?

0

x sin x dx 1 ? cos 2 x
?

解:

?

0

? x sin x x sin x x sin x dx = ? 2 dx + ?? dx 2 2 2 0 1 ? cos x 1 ? cos x 2 1 ? cos x

令 x ??
? ?

? t ,有
?

0 (? ? t ) sin(? ? t ) x sin x (? ? t ) sin t ?2 1 ? cos2 x dx ? ???2 1 ? cos2 (? ? t ) dt ? ?02 1 ? cos2 t dt

=?

?

?

2 0

sin x x sin x dx ? ? 2 dx 2 0 1 ? cos2 x 1 ? cos x
?

?

所以

?

?

0

? x sin x sin x ?2 dx = ? ? 2 dx ? ??arctg(cos x) |02 ? 0 1 ? cos2 x 1 ? cos 2 x 4

4.计算二重积分

?? e
D

max( x 2 , y 2 }

dxdy ,其中 D ? {( x, y) | 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1} 。

解:令 x

2

? y 2 ,得知直线 y=x 将 D 划分为两个区域:

D1 ? {( x, y) | 0 ? x ? 1,0 ? y ? x}, D2 ? {( x, y) | 0 ? x ? 1, x ? y ? 1} 。
于是,原式=
max( x ?? e D1
2

, y2}

dxdy ? ?? e max(x
D2

2

, y2}

dxdy = ?? e x dxdy ? ?? e y dxdy
2 2

D1

D2

=

?

1

0

dx? e x dy ? ? dy? e y dx ? ? xe x dx ? ? ye y dy ? e ? 1。
2 2 2 2

x

1

y

1

1

0

0

0

0

0

二、 (本题满分 20 分)设曲线 点的直线与曲线

y ? ax2 (a ? 0, x ? 0) 与 y ? 1 ? x 2 交于 A 点,过坐标原点 O 和 A

y ? ax2 (a ? 0, x ? 0) 围成一平面图形。问 a 为何值时,该图形绕 x 轴旋转一周

所得旋转体积最大?最大体积是多少? 解:当 x

? y ? ax2 ? ? 0 时,由 ? ?y ? 1? x2 ?

解得 x

?

1 1? a

,y ?

a . 1? a

故直线 OA 的方程为

y?

ax 1? a

. 旋转体的体积

V ???

1 1? a

0

(

a2 x2 2? ? a 2 x 4 )dx ? 1? a 15

a2
5

(1 ? a) 2

dV ? (4a ? a 2 ) ? 7 da 2 15(1 ? a)


dV ? 0, da

并由 a

? 0 得唯一的驻点 a=4.。

故 a=4 时旋转体的体积最大,且最大体积为

V?

2? 16 32 5 ? ? 15 5 1875 52

三、 (本题满分 20 分)计算曲线积分
2

?

AMO

(e x sin y ? my )dx ? (e x cos y ? m)dy ,其中 AMO 为

由点 A(a,0)至点 O(0,0)的上半圆周 x

? y 2 ? ax 。

解:在 Ox 轴上连结 O(0,0)与点 A(a,0), 这样,便构成了封闭的半圆形 AmOA,且在线段 OA 上。

?

OA

(e x sin y ? my )dx ? (e x cos y ? m)dy ? 0
从而

?

AmOA

??

AmO

??

OA

??

AmO

另一方面,利用格林公式可得

?

AmOA

(e x sin y ? m y)dx ? (e x cos y ? m)dyA m dxdy?

?

x 2 ? y 2 ? ax

??

?m a2
8

于是

?

AMO

(e x sin y ? m y)dx ? (e x cos y ? m)dy ?

?m a2
8
1 2 0

四、 (本题满分 20 分)设函数

f (x) 在[0,1]上可导,且 f (1) ? 2? xf ( x)dx ? 0 ,试证明存在


? ? (0,1) ,使得 f ' (? ) ? ?
证明:令 F ( x)

f (? )

?

? xf ( x) ,

则有 F (0) 其中?

? 0, F (1) ? f (1) ? 2? 2 xf ( x)dx ? ?f (? ) ? 2? 2 dx ? ?f (? ) ? F (? )
0 0

1

1

1 ? (0, ) , 2

在 [? ,1] 上用罗尔定理知 ?? 即

? (? ,1) ,使得 F ' (? ) ? 0 ,

f (? ) ? ?f ' (? ) ? 0 ,
f ' (? ) ? ? f (? )


所以

?

五、 (本题满分 15 分)设函数

f ' ( x) 在[a,b]上连续,且 f(a)=0,试证明:

?

b a

f 2 ( x)dx ?

(b ? a) 2 2

?

b a

( f ' ( x))2 dx

证明:因为

f 2 ( x) ? ( f ( x) ? f ( a )) 2 ? ( ? f ' (t ) dt ) 2
a

x

(柯西不等式) ?

? (f
a

x

'

(t ))2 dt( x ? a) ? ( x ? a)? ( f ' (t ))2 dt
a
b

b

所以

?

b a

f 2 ( x)dx ? ? ( x ? a) ? ( f ' (t ))2 dt ?
a a

b

(b ? a) 2 2

? (f
a

b

'

( x))2 dx 。

六、 (本题满分 15 分)判别级数

?| sin
n ?1

?

p

n ? 1? |
2

收敛的条件并证明,其中 p>0。

解:因为 sin

n2 ? 1 ? = (?1) n cosn? sin n 2 ? 1 ? ? (?1) n sin( n 2 ? 1 ? n)?
? (?1) n sin

?
n ?1 ? n
2

所以 | sin

n 2 ? 1 ? | p ?| sin

?
n ?1 ? n
2

|p ,

(sin
因为 lim
n ??

?
n ?1 ? n
2

)p ? 1,

(

?

n2 ?1 ? n
2

)
p

p

所以

?| sin n ? 1 ? |
n ?1

?

的敛散性与

?|
n ?1

?

?
n2 ? 1 ? n

|p

的敛散性相同,

即与

?n
n ?1

?

1
p

的敛散性一致。

所以当

p ? 1 时收敛,当 p ? 1 时发散。


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