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1.1 空间几何体结构


息息相关……

从古老的金字塔,到法国罗浮宫……

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几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置 关系的数学学科,空间几何体是几何学的重要组成 部分,它在土木建筑、机械设计、航海测绘等大量 实际问题中都有广泛的应用。 走进立体几何的世界,从另一个角度感受数学 ……

如果我们只研究物体的形状和大小,而不 考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来 的空间图形就叫做空间几何体

空间几何体的结构
——多面体与旋转体

构成空间几何体的基本元素
一个几何体是由点、线、面构成的,点、线、面是 构成几何体的基本元素。



线





你能把这些几 何体分成两类 吗?有什么区 别特征?















多面体的概念
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多面体:由若干个平面多边形围成的空间图形
– – – – 多面体的面:围成多面体的各个多边形 多面体的棱:两个面的公共边 多面体的顶点:棱和棱的公共点 多面体的对角线:连结不在同一面上的两个顶点 的线段

凸多面体:把一个多面体的任一个面伸展成平 面,如果其余的面都位于这个平面的同一侧 ? 一个多面体至少有四个面,按照它的面数进行 命名
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多面体的概念
面 对角线



顶点

凹多面体

旋转体的概念
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旋转体:一个平面图形绕它所在平面内的一条定直 线旋转所形成的封闭几何体。 – 旋转体的轴:这条定直线

空间几何体的结构
——柱、锥、台、球的结构特征

棱柱的概念
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E’ F’ A’

D’ B’

C’

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棱柱:一个多面体有两个面互 底 相平行,其余每相邻两个面的 侧棱 面 交线互相平行 E D 棱柱的底面:两个互相平行的 C F 面 A B 侧面 顶点 棱柱的侧面:其余各面 高 棱柱的侧棱:两侧面的公共边 棱柱的高:两个底面所在平面 的公垂线段(的长度) 命名:用表示底面各顶点的字 母表示棱柱 棱柱ABCDEF ? A?B?C ?D?E ?F ?

棱柱的分类
E’ F’ A’ D’

B’

C’

思考:倾斜后的几 何体还是棱柱吗?

E

?

D C B
?

F
A

按侧棱与底面是否垂直分: – 直棱柱:侧棱垂直底面 – 斜棱柱:侧棱不垂直底面 按底面多边形的边数分: 三棱柱、四棱柱……

棱柱分类1:按底面边数
棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形…… 我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五 棱柱……

棱柱的分类2:按侧棱是否垂直底面
侧棱垂直 于底面

侧棱不 垂直于 底面

棱柱 斜棱柱
底面 是正 多边 形

直棱柱
正棱柱 其它直棱柱

棱锥的概念
(1) 一个面是多边形 S

棱锥只有一个顶点 棱锥的顶点 棱锥的侧棱 D E O A B 棱锥的侧面 C 棱锥的底面

(2) 其余各面是有一个 公共顶点的三角形
棱锥的高

棱锥的表示方法

棱锥S ? ABCDE 棱锥S ? AC 五棱锥S ? AC

棱锥的分类

三棱锥 (四面体)

四棱锥

五棱锥

正棱锥

你能否由正棱柱的概念出发,猜 想怎样的棱锥称为正棱锥?

(1)底面是正多边形

(2)顶点在底面的射影是底面的中心
这样的棱锥是正棱锥. S

正三棱锥
特 殊 D

正四面体
四个面都是全等的 正三角形

E
A

O B

C

棱台的概念

用一个平行于棱锥底面的平面去截 棱锥,底面与截面之间的部分叫作 棱台。 上底面 侧棱

侧面
高 顶点 你能说说什么 是正棱台吗? 下底面 用正棱锥截得的 棱台叫作正棱台

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圆柱:以矩形的一边所在直线为旋 圆柱的概念 转轴,其余三边旋转形成的面所围 成的旋转体 A’ O’ 圆柱的轴:旋转轴 B’ 轴 圆柱的底面:垂直于轴的边旋转而 母 成的圆面 侧 线 面 圆柱的侧面:平行于轴的边旋转而 成的曲面 O A 底面 圆柱的母线:无论旋转到什么位置, B 不垂直于轴的边都叫圆柱侧面的母 线 棱柱与圆 圆柱的高:两个底面所在平面的公 柱统称为 垂线段(的长度) 柱体 命名:用表示轴的字母表示 圆柱OO’

圆锥的概念
顶点
S

以直角三角形的一条直角边 所在直线为旋转轴,其余两边 旋转形成的曲面所围成的旋 转体叫做圆锥

母 线
A O B

轴 侧 面 底面

棱锥与圆 锥统称为 锥体

圆锥SO

圆台的概念
上底面 母线
O’ O

用一个平行于圆锥底面的 平面去截圆锥,底面与截面 之间的部分是圆台. 如果从旋转的角度 去定义圆台,应该 怎样表述?

侧面
下底面

棱台与圆 台统称为 台体

球的概念
以半圆的直径所在的直线为旋转轴,将半圆旋转一周所 形成的曲面叫作球面,球面所围成的几何体叫作球体, 简称球。

直径
O

球心 半径
球O

思考:类比平面几何中圆的定义,能否用集合形式给 出球面和球体的定义?
球体:与定点的距离等于或小于定长的点 的集合,简称球 球面:与定点距离等于定长的点的集合

思考:用一个平面去截一个球,截面是什么?
截面是圆面 球面被经过球心的平面 截得的圆叫做大圆。 O

球面被不过球心的截面 截得的圆叫球的小圆。

思考:球、圆柱、圆锥、圆台过轴的截面分别是什么 图形?

思考:柱、锥、台三者之间关系如何?当底面发生变 化时,它们能否互相转化?

简单几何体

简单旋转体

简单多面体



圆 柱

圆 锥

圆 台

棱 柱

棱 锥

棱 台

空间几何体的结构
——简单组合体的结构特征
由简单几何体组合而成 的几何体

简单组合体
日常生活中我们常用到的日用品,比如:消毒液、暖瓶、 洗洁精等的主要几何结构特征是什么? 圆柱 圆台

圆柱

由柱、锥、台、球这些简单几何体组成(拼接 或截去)的几何体叫做简单组合体.

随处可见的简单组合体

它们的几 何结构特 征是什么?

居民的住宅又有什么主要几何结构特征?

你能从旋转体的概念说说天坛 是由什么图形旋转而成的吗? 你能想象这条曲线绕轴旋 转而成的几何图形吗?

数学,源于现实生活,服务于现 实生活,并不断推动着各个学科 的发展,从而推动着人类社会的 发展……


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