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2014数学自主招生试题


2013 年高中自主招生数学试题 一.选择题(共 6 小题) 1.已知函数 A .0 B.1 ,若使 y=k 成立的 x 值恰好有三个,则 k 的值为( C .2 =( C.﹣2a ) D.﹣2x D.3 )

2.如果|x﹣a|=a﹣|x|(x≠0,x≠a) ,那么 A.2a B.2x

3.a,b,c 为有理数,且等式 A.1999 B.2000 4. (2013?莒南县一模)如图,两个反比例函数 y=

成立,则 2a+999b+1001c 的值是( ) C.2001 D.不能确定 和 y= (其中 k1>k2>0)在第一象限内的图象依次是 C1 和

C2,设点 P 在 C1 上,PC⊥x 轴于点 C,交 C2 于点 A,PD⊥y 轴于点 D,交 C2 于点 B,则四边形 PAOB 的面积为 ( )

A.k1+k2

B.k1﹣k2

C.k1?k2

D.

5.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,等腰梯形 ABCD 的顶点坐标分别为 A(1,1) ,B(2,﹣1) ,C(﹣2,﹣1) , D(﹣1,1) .y 轴上一点 P(0,2)绕点 A 旋转 180°得点 P1,点 P1 绕点 B 旋转 180°得点 P2,点 P2 绕点 C 旋转 180° 得点 P3,点 P3 绕点 D 旋转 180°得点 P4,…,重复操作依次得到点 P1,P2,…,则点 P2010 的坐标是( ) A.(2010,2) B.(2010,﹣2) C.(2012,﹣2) 6.如图,在半径为 1 的⊙O 中,∠AOB=45°,则 sinC 的值为( ) A. 二.填空题(共 7 小题) 7.三个数 a、b、c 的积为负数,和为正数,且 ,则 ax +bx +cx+1 的值是
3 2

D.(0,2)

B.

C.

D.

_________ . 8.如图正方形 ABCD 中,E 是 BC 边的中点,AE 与 BD 相交于 F 点,△ DEF 的面积是 1,那么正方形 ABCD 的 面积是 _________ .

9. (2013?沐川县二模)如图,点 A1,A2,A3,A4,…,An 在射线 OA 上,点 B1,B2,B3,…,Bn﹣1 在射线 OB 上, 且 A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An﹣1Bn﹣1,A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn﹣1,△ A1A2B1,△ A2A3B2,…,△ An﹣1AnBn 若△ A2B1B2, △ A3B2B3 的面积分别为 1、 4, 则△ A1A2B1 的面积为 _________ ; 面积小于 2011 ﹣1 为阴影三角形, 的阴影三角形共有 _________ 个.

10.你见过像 以化简, 如



,…这样的根式吗?这一类根式叫做复合二次根式.有一些复合二次根式可 . 请用上述方法化简: = _________ .

11.不等式组

有六个整数解,则 a 的取值范围为 _________ .

12.小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学,一天他在解方程 x =﹣1 时,突发奇想:x =﹣1 在实数范 2 2 2 围内无解,如果存在一个数 i,使 i =﹣1,那么若 x =﹣1,则 x=±i,从而 x=±i 是方程 x =﹣1 的两个根.据此可知: 3 2 2011 2 ①i 可以运算,例如:i =i ?i=﹣1×i=﹣i,则 i = _________ ,②方程 x ﹣2x+2=0 的两根为 _________ (根用 i 表示) 13. (2013?日照)如右图,直线 AB 交双曲线 于 A、B,交 x 轴于点 C,B 为线段 AC 的中点,过点 B 作 BM⊥x

2

2

轴于 M,连结 OA.若 OM=2MC,S△ OAC=12.则 k 的值为 _________ .

三.解答题(共 7 小题) 14.在“学科能力”展示活动中,某区教委决定在甲、乙两校举行“学科能力”比赛,为此甲、乙两学校都选派相同人 数的选手参加,比赛结束后,发现每名参赛选手的成绩都是 70 分、80 分、90 分、l00 分这四种成绩中的一种,并 且甲、乙两校的选手获得 100 分的人数也相等.现根据甲、乙两校选手的成绩绘制如下两幅不完整统计图:

(1)甲校选手所得分数的中位数是 _________ ,乙校选手所得分数的众数是 _________ ; (2)请补全条形统计图; (3)比赛后,教委决定集中甲、乙两校获得 100 分的选手进行培训,培训后,从中随机选取两位选手参加市里的 决赛,请用列表法或树状图的方法,求所选两位选手来自同一学校的概率. 2 15. (2012?兰州)若 x1、x2 是关于一元二次方程 ax +bx+c(a≠0)的两个根,则方程的两个根 x1、x2 和系数 a、b、 c 有如下关系: x1+x2=﹣ , x1?x2= . 把它称为一元二次方程根与系数关系定理. 如果设二次函数 y=ax +bx+c (a≠0)
2

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的图象与 x 轴的两个交点为 A(x1,0) ,B(x2,0) .利用根与系数关系定理可以得到 A、B 两个交点间的距离为: AB=|x1﹣x2|= = = = ;

参考以上定理和结论,解答下列问题: 2 设二次函数 y=ax +bx+c(a>0)的图象与 x 轴的两个交点 A(x1,0) ,B(x2,0) ,抛物线的顶点为 C,显然△ ABC 为等腰三角形. (1)当△ ABC 为直角三角形时,求 b ﹣4ac 的值; 2 (2)当△ ABC 为等边三角形时,求 b ﹣4ac 的值.
2

16. (2013?威海)如图,在平面直角坐标系中,直线 y= x+ 与直线 y=x 交于点 A,点 B 在直线 y= x+ 上, ∠BOA=90°.抛物线 y=ax +bx+c 过点 A,O,B,顶点为点 E. (1)求点 A,B 的坐标; (2)求抛物线的函数表达式及顶点 E 的坐标; (3)设直线 y=x 与抛物线的对称轴交于点 C,直线 BC 交抛物线于点 D,过点 E 作 FE∥x 轴,交直线 AB 于点 F, 连接 OD,CF,CF 交 x 轴于点 M.试判断 OD 与 CF 是否平行,并说明理由. 17. (2012?内江)如果方程 x +px+q=0 的两个根是 x1,x2,那么 x1+x2=﹣p,x1.x2=q,请根据以上结论,解决下 列问题: 2 (1)已知关于 x 的方程 x +mx+n=0, (n≠0) ,求出一个一元二次方程,使它的两个根分别是已知方程两根的倒数; (2)已知 a、b 满足 a ﹣15a﹣5=0,b ﹣15b﹣5=0,求
2 2 2 2

的值;

(3)已知 a、b、c 满足 a+b+c=0,abc=16,求正数 c 的最小值. 18. (2013?钦州)如图,在 Rt△ ABC 中,∠A=90°,O 是 BC 边上一点,以 O 为圆心的半圆与 AB 边相切于点 D, 与 AC、BC 边分别交于点 E、F、G,连接 OD,已知 BD=2,AE=3,tan∠BOD= . (1)求⊙O 的半径 OD; (2)求证:AE 是⊙O 的切线; (3)求图中两部分阴影面积的和.

19. (2013?益阳)如图 1,在△ ABC 中,∠A=36°,AB=AC,∠ABC 的平分线 BE 交 AC 于 E. (1)求证:AE=BC; (2)如图(2) ,过点 E 作 EF∥BC 交 AB 于 F,将△ AEF 绕点 A 逆时针旋转角 α(0°<α<144°)得到△ AE′F′, 连结 CE′,BF′,求证:CE′=BF′;
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(3)在(2)的旋转过程中是否存在 CE′∥AB?若存在,求出相应的旋转角 α;若不存在,请说明理由.

20. (2013?昭通)如图 1,已知 A(3,0) 、B(4,4) 、原点 O(0,0)在抛物线 y=ax +bx+c (a≠0)上. (1)求抛物线的解析式. (2)将直线 OB 向下平移 m 个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个交点 D,求 m 的值及点 D 的坐标. (3)如图 2,若点 N 在抛物线上,且∠NBO=∠ABO,则在(2)的条件下,求出所有满足△ POD∽△NOB 的点 P 的坐标(点 P、O、D 分别与点 N、O、B 对应)

2

答案:

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2014 年 3 月 1931151022 的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共 6 小题) 1. (2011?随州)已知函数 A .0 B.1 ,若使 y=k 成立的 x 值恰好有三个,则 k 的值为( C .2 D.3 )

考点: 二次函数的图象. 专题: 压轴题;数形结合. 分析: 首先在坐标系中画出已知函数
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的图象,利用数形结合的方法即可找到使

y=k 成立的 x 值恰好有三个的 k 值. 解答: 解:函数 的图象如图:

根据图象知道当 y=3 时,对应成立的 x 有恰好有三个, ∴k=3. 故选 D.

点评: 此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题,解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找 交点的问题.

2.如果|x﹣a|=a﹣|x|(x≠0,x≠a) ,那么 A.2a B.2x C.﹣2a

=(

) D.﹣2x

考点: 二次根式的性质与化简;绝对值;完全平方公式;含绝对值符号的一元一次方程. 专题: 计算题. 分析: 由绝对值的定义可知,一个数的绝对值要么等于它本身,要么等于它的相反数,根据已知条件|x﹣a|=a﹣|x|,
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得出|x|=x 且 x≤a.再根据完全平方公式及二次根式的性质 得出结果. 解答: 解:∵|x﹣a|=a﹣|x|, ∴|x|=x 且 x≤a. ∴a﹣x>0,a+x>0.

=|a|进行化简,最后去括号、合并同类项即可

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∴ = ﹣

=|a﹣x|﹣|a+x| =a﹣x﹣(a+x) =a﹣x﹣a﹣x =﹣2x. 故选 D. 点评: 本题考查了绝对值的定义,完全平方公式,二次根式的性质,二次根式的化简及整式的加减运算,难度中 等,其中根据绝对值的定义,结合已知条件得出|x|=x 且 x≤a 是解题的关键. 3.a,b,c 为有理数,且等式 A.1999 B.2000 成立,则 2a+999b+1001c 的值是( ) C.2001 D.不能确定

考点: 二次根式的性质与化简. 分析: 将已知等式右边化简,两边比较系数可知 a、b、c 的值,再计算式子的值. 解答: 解:∵ = = ,
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∴a+b +c = , ∴a=0,b=1,c=1, 2a+999b+1001c=2000. 故选 B. 点评: 本题考查了二次根式的性质与化简,将复合二次根式化简并比较系数是解题的关键.

4. (2013?莒南县一模)如图,两个反比例函数 y=

和 y=

(其中 k1>k2>0)在第一象限内的图象依次是 C1 和

C2,设点 P 在 C1 上,PC⊥x 轴于点 C,交 C2 于点 A,PD⊥y 轴于点 D,交 C2 于点 B,则四边形 PAOB 的面积为 ( )

A.k1+k2

B.k1﹣k2

C.k1?k2

D.

考点: 反比例函数系数 k 的几何意义. 专题: 压轴题;数形结合. 分析: 四边形 PAOB 的面积为矩形 OCPD 的面积减去三角形 ODB 与三角形 OAC 的面积,根据反比例函数
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k 的几何意义,其面积为 k1﹣k2. 解答: 解:根据题意可得四边形 PAOB 的面积=S 矩形 OCPD﹣SOBD﹣SOAC, 由反比例函数 故选 B. 点评: 主要考查了反比例函数 中 k 的几何意义, 即过双曲线上任意一点引 x 轴、 y 轴垂线, 所得矩形面积为|k|,
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中 k 的几何意义,可知其面积为 k1﹣k2.

是经常考查的一个知识点. 5. (2012?南开区一模)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,等腰梯形 ABCD 的顶点坐标分别为 A(1,1) ,B(2, ﹣1) ,C(﹣2,﹣1) ,D(﹣1,1) .y 轴上一点 P(0,2)绕点 A 旋转 180°得点 P1,点 P1 绕点 B 旋转 180°得点 P2,点 P2 绕点 C 旋转 180°得点 P3,点 P3 绕点 D 旋转 180°得点 P4,…,重复操作依次得到点 P1,P2,…,则点 P2010 的坐标是( )

A.(2010,2)

B.(2010,﹣2)

C.(2012,﹣2)

D.(0,2)

考点: 坐标与图形变化-旋转;等腰梯形的性质. 专题: 规律型. 分析: 由 P、A 两点坐标可知,点 P 绕点 A 旋转 180°得点 P1,即为直线 PA 与 x 轴的交点,依此类推,点 P2 为直 线 P1B 与 y 轴的交点,由此发现一般规律. 解答: 解:由已知可以得到,点 P1,P2 的坐标分别为(2,0) , (2,﹣2) . 记 P2(a2,b2) ,其中 a2=2,b2=﹣2. 根据对称关系,依次可以求得:P3(﹣4﹣a2,﹣2﹣b2) ,P4(2+a2,4+b2) ,P5(﹣a2,﹣2﹣b2) ,P6(4+a2, b2 ) . 令 P6(a6,b2) , 同样可以求得,点 P10 的坐标为(4+a6,b2) ,即 P10(4×2+a2,b2) , 由于 2010=4×502+2,所以点 P2010 的坐标为(2010,﹣2) . 故选 B. 点评: 本题考查了旋转变换的规律.关键是根据等腰梯形,点的坐标的特殊性,寻找一般规律.
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6. (2013?荆门)如图,在半径为 1 的⊙O 中,∠AOB=45°,则 sinC 的值为(



A.

B.

C.

D.

考点: 圆周角定理;勾股定理;锐角三角函数的定义. 专题: 压轴题. 分析: 首先过点 A 作 AD⊥OB 于点 D,由在 Rt△ AOD 中,∠AOB=45°,可求得 AD 与 OD 的长,继而可得 BD 的长,然后由勾股定理求得 AB 的长,继而可求得 sinC 的值. 解答: 解:过点 A 作 AD⊥OB 于点 D, ∵在 Rt△ AOD 中,∠AOB=45°,
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∴OD=AD=OA?cos45°=

×1=



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∴BD=OB﹣OD=1﹣ ∴AB= =

, ,

∵AC 是⊙O 的直径, ∴∠ABC=90°,AC=2, ∴sinC= 故选 B. .

点评: 此题考查了圆周角定理、三角函数以及勾股定理.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合 思想的应用. 二.填空题(共 7 小题) 7.三个数 a、b、c 的积为负数,和为正数,且 1 . 考点: 代数式求值;绝对值. 专题: 计算题. 分析: 由三个数 a、b、c 的积为负数,可知三数中只有一个是负数,或三个都是负数;又三数的和为正,故 a、b、 c 中只有一个是负数,根据对称轮换式的性质,不妨设 a<0,b>0,c>0,求 x 的值即可. 解答: 解:∵abc<0, ∴a、b、c 中只有一个是负数,或三个都是负数; 又∵a+b+c>0, ∴a、b、c 中只有一个是负数. 不妨设 a<0,b>0,c>0, 则 ab<0,ac<0,bc>0, x=﹣1+1+1﹣1﹣1+1=0, 当 x=0 时, 3 2 ax +bx +cx+1=0a+0b+0c=0+1=1. 故本题答案为 1. 点评: 观察代数式 ,交换 a、b、c 的位置,我们发现代数式不改变,这样的
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,则 ax +bx +cx+1 的值是

3

2

代数式成为轮换式,我们不用对 a、b、c 再讨论.有兴趣的同学可以在课下查阅资料,看看轮换式有哪些 重要的性质. 8.如图正方形 ABCD 中,E 是 BC 边的中点,AE 与 BD 相交于 F 点,△ DEF 的面积是 1,那么正方形 ABCD 的面 积是 6 .

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考点: 面积及等积变换. 分析: 先设△ BEF 的面积是 x,由于 E 是 BC 中点,那么 S△ DBE=S△ DCE,易求 S 正方形=4(1+x) ,又四边形 ABCD 是正方形,那么
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AD∥BC,AD=BC,根据平行线分线段成比例定理的推论可得△ BEF∽△DAF,于是 S△ BEF:S△ DAF=(
2



,E 是 BC 中点可知 BE:AD=1:2,于是 S△ DAF=4x,进而可得 S 正方形 =S△ ABF+S△ BEF+S△ ADF+S△ DEF+S△ DCE=1+x+4x+1+1+x, 等量代换可得 4 (1+x)=1+x+4x+1+1+x,解可求 x, 进而可求正方形的面积. 解答: 解:如右图,设△ BEF 的面积是 x, ∵E 是 BC 中点, ∴S△ DBE=S△ DCE, ∴S△ BCD=2(1+x) , ∴S 正方形=4(1+x) , ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AD∥BC,AD=BC, ∴△BEF∽△DAF, ∴S△ BEF:S△ DAF=( ∵E 是 BC 中点, ∴BE=CE, ∴BE:AD=1:2, ∴S△ DAF=4x, ∵S△ ABE=S△ BED, ∴S△ ABF=S△ DEF=1, ∴S 正方形=S△ ABF+S△ BEF+S△ ADF+S△ DEF+S△ DCE=1+x+4x+1+1+x, ∴4(1+x)=1+x+4x+1+1+x, 解得 x=0.5, ∴S 正方形=4(1+x)=4(1+0.5)=6. ),
2

点评: 本题考查了面积以及等积变换、相似三角形的判定和性质,解题的关键是找出正方形面积的两种表示方式. 9. (2013?沐川县二模)如图,点 A1,A2,A3,A4,…,An 在射线 OA 上,点 B1,B2,B3,…,Bn﹣1 在射线 OB 上, 且 A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An﹣1Bn﹣1,A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn﹣1,△ A1A2B1,△ A2A3B2,…,△ An﹣1AnBn

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﹣1

为阴影三角形,若△ A2B1B2,△ A3B2B3 的面积分别为 1、4,则△ A1A2B1 的面积为

;面积小于 2011 的阴

影三角形共有 6 个.

考点: 相似三角形的判定与性质;平行线的性质;三角形的面积. 分析: 根据面积比等于相似比的平方,可得出 = , = ,再由平行线的性质可得出
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=

= ,

=

= ,从而可推出相邻两个阴影部分的相似比为 1:2,面积比为 1:4,先利用等底三角形的面

积之比等于高之比可求出第一个及第二个阴影部分的面积,再由相似比为 1:2 可求出面积小于 2011 的阴 影部分的个数. 解答: 解:由题意得,△ A2B1B2∽△A3B2B3, ∴ = = , = = ,

又∵A1B1∥A2B2∥A3B3, ∴ = = = , = = ,

∴OA1=A1A2,B1B2= B2B3 继而可得出规律:A1A2= A2A3= A3A4…;B1B2= B2B3= B3B4… 又△ A2B1B2,△ A3B2B3 的面积分别为 1、4, ∴S△ A1B1A2= ,S△ A2B2A3=2, 继而可推出 S△ A3B3A4=8,S△ A,4B4A5=32,S△ A5B5A6=128,S△ A6B6A7=512,S△ A7B7A8=2048, 故可得小于 2011 的阴影三角形的有: △ A1B1A2,△ A2B2A3,△ A3B3A4, △ A4B4A5,△ A5B5A6, △ A6B6A7, 共 6 个. 故答案是: ;6. 点评: 此题考查了相似三角形的判定与性质及平行线的性质,解答本题的关键是掌握相似比等于面积比的平方, 及平行线分线段成比例,难度较大,注意仔细观察图形,得出规律. 10.你见过像 以化简,如 , ,…这样的根式吗?这一类根式叫做复合二次根式.有一些复合二次根式可 .请用上述方法化简: = .

考点: 二次根式的性质与化简.

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分析: 因为 5=2+3=( )2+( 得出答案即可. 解答: 解: =

) ,且 2

2

=2×

×

,由此把原式改为完全平方式,进一步因式分解,化简

=

=

+



故答案为: + . 点评: 此题考查活用完全平方公式,把数分解成完全平方式,进一步利用公式因式分解化简,注意在整数分解时 参考后面的二次根号里面的数值.

11.不等式组

有六个整数解,则 a 的取值范围为

<a≤



考点: 一元一次不等式组的整数解. 分析: 先求出不等式组的解集,再根据整数解有六个得到关于 a 的不等式组,然后解不等式组即可求解. 解答: 解:解不等式组 ,得﹣4<x≤5﹣4a.
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由题意,知此不等式组的六个整数解为﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2, 则 2≤5﹣4a<3,解得 <a≤ . 故答案为 <a≤ . 点评: 本题考查了一元一次不等式组的解法及整数解的确定.求不等式组的解集,应遵循以下原则:同大取较大, 同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了. 12.小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学,一天他在解方程 x =﹣1 时,突发奇想:x =﹣1 在实数范 2 2 2 围内无解,如果存在一个数 i,使 i =﹣1,那么若 x =﹣1,则 x=±i,从而 x=±i 是方程 x =﹣1 的两个根.据此可知: 3 2 2011 2 ①i 可以运算,例如:i =i ?i=﹣1×i=﹣i,则 i = ﹣i. ,②方程 x ﹣2x+2=0 的两根为 1±i. (根用 i 表示) 考点: 一元二次方程的应用. 专题: 新定义. 分析: (1)根据题中规律可知 i1=1,i2=﹣1,i3=﹣i,i4=1,可以看出 4 个一次循环,可以此求解. 2 2 (2)把方程 x ﹣2x+2=0 变形为(x﹣1) =﹣1,根据题目规律和平方根的定义可求解. 2011 502×4+3 解答: 解: (1)i =i =﹣i. 2 (2)x ﹣2x+2=0 2 (x﹣1) =﹣1 x﹣1=±i x=1+i 或 x=1﹣i. 故答案为:﹣i;1±i. 点评: 本题考查了用配方法解一元二次方程以及找出题目中的规律,从而求得解.
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2

2

13. (2013?日照)如右图,直线 AB 交双曲线

于 A、B,交 x 轴于点 C,B 为线段 AC 的中点,过点 B 作 BM⊥x

轴于 M,连结 OA.若 OM=2MC,S△ OAC=12.则 k 的值为 8 .

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考点: 反比例函数与一次函数的交点问题. 专题: 压轴题. 分析: 过 A 作 AN⊥OC 于 N,求出 ON=MN=CM,设 A 的坐标是(a,b) ,得出 B(2a, b) ,根据三角形 AOC
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的面积求出 ab=8,把 B 的坐标代入即可求出答案. 解答: 解:过 A 作 AN⊥OC 于 N, ∵BM⊥OC ∴AN∥BM, ∵,B 为 AC 中点, ∴MN=MC, ∵OM=2MC, ∴ON=MN=CM, 设 A 的坐标是(a,b) , 则 B(2a, b) , ∵S△ OAC=12. ∴ ?3a?b=12, ∴ab=8, ∵B 在 y= 上, ∴k=2a? b=ab=8, 故答案为:8.

点评: 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题和三角形的面积的应用,主要考查学生的计算能力. 三.解答题(共 7 小题) 14.在“学科能力”展示活动中,某区教委决定在甲、乙两校举行“学科能力”比赛,为此甲、乙两学校都选派相同人 数的选手参加,比赛结束后,发现每名参赛选手的成绩都是 70 分、80 分、90 分、l00 分这四种成绩中的一种,并 且甲、乙两校的选手获得 100 分的人数也相等.现根据甲、乙两校选手的成绩绘制如下两幅不完整统计图:
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(1)甲校选手所得分数的中位数是 90 分 ,乙校选手所得分数的众数是 80 分 ; (2)请补全条形统计图; (3)比赛后,教委决定集中甲、乙两校获得 100 分的选手进行培训,培训后,从中随机选取两位选手参加市里的 决赛,请用列表法或树状图的方法,求所选两位选手来自同一学校的概率. 考点: 条形统计图;扇形统计图;中位数;众数;列表法与树状图法. 分析: (1)先设甲学校学生获得 100 分的人数为 x,根据甲、乙两学校参加数学竞赛的学生人数相等,可得出方 程,解出 x 的值,继而可得出甲校选手所得分数的中位数,及乙校选手所得分数的众数; (2)列出树状图后,求解即可得出所选两位选手来自同一学校的概率. 解答: 解: (1)先设甲学校学生获得 100 分的人数为 x,
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由题意得,x=(x+2+3+5)×



解得:x=2,即获得 100 分的人数有 2 人. 故可得甲校选手所得分数的中位数是 90 分;乙校选手所得分数的众数 80 分. (2)

则两位选手来自同一学校的概率=

= .

点评: 本题考查了条形统计图及扇形统计图的知识,要求同学们有一定的读图能力,能在条形统计图及扇形统计 图中得到解题需要用到的信息,有一定难度. 15. (2012?兰州)若 x1、x2 是关于一元二次方程 ax +bx+c(a≠0)的两个根,则方程的两个根 x1、x2 和系数 a、b、 c 有如下关系: x1+x2=﹣ , x1?x2= . 把它称为一元二次方程根与系数关系定理. 如果设二次函数 y=ax +bx+c (a≠0) 的图象与 x 轴的两个交点为 A(x1,0) ,B(x2,0) .利用根与系数关系定理可以得到 A、B 两个交点间的距离为: AB=|x1﹣x2|= 参考以上定理和结论,解答下列问题: = = = ;
2 2

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设二次函数 y=ax +bx+c(a>0)的图象与 x 轴的两个交点 A(x1,0) ,B(x2,0) ,抛物线的顶点为 C,显然△ ABC 为等腰三角形. (1)当△ ABC 为直角三角形时,求 b ﹣4ac 的值; 2 (2)当△ ABC 为等边三角形时,求 b ﹣4ac 的值.
2

2

考点: 抛物线与 x 轴的交点;根与系数的关系;等腰三角形的性质;等边三角形的性质. 专题: 压轴题. 分析: (1)当△ ABC 为直角三角形时,由于 AC=BC,所以△ ABC 为等腰直角三角形,过 C 作 CE⊥AB 于 E,则
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AB=2CE. 根据本题定理和结论, 得到 AB= 列出方程,解方程即可求出 b ﹣4ac 的值;
2

, 根据顶点坐标公式, 得到 CE=|

|=



(2)当△ ABC 为等边三角形时,解直角△ ACE,得 CE=
2

AE=

,据此列出方程,解方程即可求出

b ﹣4ac 的值. 解答: 解: (1)当△ ABC 为直角三角形时,过 C 作 CE⊥AB 于 E,则 AB=2CE. ∵抛物线与 x 轴有两个交点, ∴△=b ﹣4ac>0,则|b ﹣4ac|=b ﹣4ac. ∵a>0,∴AB= ,
2 2 2

又∵CE=|

|=











∴ ∵b ﹣4ac>0, 2 ∴b ﹣4ac=4;
2



(2)当△ ABC 为等边三角形时, 由(1)可知 CE= ,

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∴ ∵b ﹣4ac>0, 2 ∴b ﹣4ac=12.
2



点评: 本题考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质,抛物线与 x 轴的交点及根与系数的关系定理,综合性较 强,难度中等.

16. (2013?威海)如图,在平面直角坐标系中,直线 y= x+ 与直线 y=x 交于点 A,点 B 在直线 y= x+ 上, ∠BOA=90°.抛物线 y=ax +bx+c 过点 A,O,B,顶点为点 E. (1)求点 A,B 的坐标; (2)求抛物线的函数表达式及顶点 E 的坐标; (3)设直线 y=x 与抛物线的对称轴交于点 C,直线 BC 交抛物线于点 D,过点 E 作 FE∥x 轴,交直线 AB 于点 F, 连接 OD,CF,CF 交 x 轴于点 M.试判断 OD 与 CF 是否平行,并说明理由.
2

考点: 二次函数综合题. 专题: 压轴题. 分析: (1)由直线 y= x+ 与直线 y=x 交于点 A,列出方程组
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,通过解该方程组即可求得点 A 的坐标;

根据∠BOA=90°得到直线 OB 的解析式为 y=﹣x,则

,通过解该方程组来求点 B 的坐标即可;

(2)把点 A、B、O 的坐标分别代入已知二次函数解析式,列出关于系数 a、b、c 的方程组,通过解方程 组即可求得该抛物线的解析式; (3)如图,作 DN⊥x 轴于点 N.欲证明 OD 与 CF 平行,只需证明同位角∠CMN 与∠DON 相等即可. 解答: 解: (1)由直线 y= x+ 与直线 y=x 交于点 A,得

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解得,



∴点 A 的坐标是(3,3) . ∵∠BOA=90°, ∴OB⊥OA, ∴直线 OB 的解析式为 y=﹣x. 又∵点 B 在直线 y= x+ 上,





解得,



∴点 B 的坐标是(﹣1,1) . 综上所述,点 A、B 的坐标分别为(3,3) , (﹣1,1) . (2)由(1)知,点 A、B 的坐标分别为(3,3) , (﹣1,1) . ∵抛物线 y=ax +bx+c 过点 A,O,B,
2





解得,



∴该抛物线的解析式为 y= x ﹣ x,或 y= (x﹣ ) ﹣ . ∴顶点 E 的坐标是( ,﹣ ) ;

2

2

(3)OD 与 CF 平行.理由如下: 由(2)知,抛物线的对称轴是 x= . ∵直线 y=x 与抛物线的对称轴交于点 C, ∴C( , ) . 设直线 BC 的表达式为 y=kx+b(k≠0) ,把 B(﹣1,1) ,C( , )代入,得



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解得,



∴直线 BC 的解析式为 y=﹣ x+ . ∵直线 BC 与抛物线交于点 B、D, ∴﹣ x+ = x ﹣ x, 解得,x1= ,x2=﹣1. 把 x1= 代入 y=﹣ x+ ,得 y1= , ∴点 D 的坐标是( , ) . 如图,作 DN⊥x 轴于点 N. 则 tan∠DON= = .
2

∵FE∥x 轴,点 E 的坐标为( ,﹣ ) . ∴点 F 的纵坐标是﹣ . 把 y=﹣ 代入 y= x+ ,得 x=﹣ ∴点 F 的坐标是(﹣ ∴EF= + = . ,﹣ ) , ,

∵CE= + = , ∴tan∠CFE= = ,

∴∠CFE=∠DON. 又∵FE∥x 轴, ∴∠CMN=∠CFE, ∴∠CMN=∠DON, ∴OD∥CF,即 OD 与 CF 平行.

点评: 本题考查了二次函数综合题.其中涉及到的知识点有:待定系数法求二次函数解析式,一次函数与二次函 数交点问题,平行线的判定以及锐角三角函数的定义等知识点.此题难度较大.

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17. (2012?内江)如果方程 x +px+q=0 的两个根是 x1,x2,那么 x1+x2=﹣p,x1.x2=q,请根据以上结论,解决下 列问题: (1)已知关于 x 的方程 x +mx+n=0, (n≠0) ,求出一个一元二次方程,使它的两个根分别是已知方程两根的倒数; (2)已知 a、b 满足 a ﹣15a﹣5=0,b ﹣15b﹣5=0,求
2 2 2

2

的值;

(3)已知 a、b、c 满足 a+b+c=0,abc=16,求正数 c 的最小值. 考点: 根与系数的关系;根的判别式. 专题: 压轴题. 分析: (1)先设方程 x2+mx+n=0, (n≠0)的两个根分别是 x1,x2,得出
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+

=﹣ ,

?

= ,再根据这个一

元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数,即可求出答案. 2 2 2 (2)根据 a、b 满足 a ﹣15a﹣5=0,b ﹣15b﹣5=0,得出 a,b 是 x ﹣15x﹣5=0 的解,求出 a+b 和 ab 的值, 即可求出 的值. ,a、b 是方程 x +cx+
2

(3)根据 a+b+c=0,abc=16,得出 a+b=﹣c,ab= 即可求出 c 的最小值.

=0 的解,再根据 c ﹣4?

2

≥0,

2 解答: 解: (1)设方程 x +mx+n=0, (n≠0)的两个根分别是 x1,x2,

则:

+ =

=

=﹣ , = ,

?

若一个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数, 则这个一元二次方程是:x + x+ =0;
2 2 2

(2)∵a、b 满足 a ﹣15a﹣5=0,b ﹣15b﹣5=0, 2 ∴a,b 是 x ﹣15x﹣5=0 的解, 当 a≠b 时,a+b=15,ab=﹣5, = = = =﹣47.

当 A=B 时,原式=2; (3)∵a+b+c=0,abc=16, ∴a+b=﹣c,ab=
2

, =0 的解,

∴a、b 是方程 x +cx+ ∴c ﹣4? c﹣
2 2

≥0,

≥0,

∵c 是正数, 3 3 ∴c ﹣4 ≥0, 3 3 c ≥4 , c≥4,
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∴正数 c 的最小值是 4. 点评: 本题考查了根与系数的关系,将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法. 18. (2013?钦州)如图,在 Rt△ ABC 中,∠A=90°,O 是 BC 边上一点,以 O 为圆心的半圆与 AB 边相切于点 D, 与 AC、BC 边分别交于点 E、F、G,连接 OD,已知 BD=2,AE=3,tan∠BOD= . (1)求⊙O 的半径 OD; (2)求证:AE 是⊙O 的切线; (3)求图中两部分阴影面积的和.

考点: 切线的判定与性质;扇形面积的计算. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (1)由 AB 为圆 O 的切线,利用切线的性质得到 OD 垂直于 AB,在直角三角形 BDO 中,利用锐角三角函 数定义,根据 tan∠BOD 及 BD 的值,求出 OD 的值即可; (2)连接 OE,由 AE=OD=3,且 OD 与 AE 平行,利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形,根据 平行四边形的对边平行得到 OE 与 AD 平行,再由 DA 与 AE 垂直得到 OE 与 AC 垂直,即可得证; (3)阴影部分的面积由三角形 BOD 的面积+三角形 ECO 的面积﹣扇形 DOF 的面积﹣扇形 EOG 的面积, 求出即可. 解答: 解: (1)∵AB 与圆 O 相切, ∴OD⊥AB,
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在 Rt△ BDO 中,BD=2,tan∠BOD= ∴OD=3; (2)连接 OE, ∵AE=OD=3,AE∥OD, ∴四边形 AEOD 为平行四边形, ∴AD∥EO, ∵DA⊥AE, ∴OE⊥AC, 又∵OE 为圆的半径, ∴AE 为圆 O 的切线; (3)∵OD∥AC, ∴ = ,即 = ,

= ,

∴AC=7.5, ∴EC=AC﹣AE=7.5﹣3=4.5, ∴S 阴影=S△ BDO+S△ OEC﹣S 扇形 FOD﹣S 扇形 EOG = ×2×3+ ×3×4.5﹣ =3+ ﹣

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=



点评: 此题考查了切线的判定与性质,扇形的面积,锐角三角函数定义,平行四边形的判定与性质,以及平行线 的性质,熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键. 19. (2013?益阳)如图 1,在△ ABC 中,∠A=36°,AB=AC,∠ABC 的平分线 BE 交 AC 于 E. (1)求证:AE=BC; (2)如图(2) ,过点 E 作 EF∥BC 交 AB 于 F,将△ AEF 绕点 A 逆时针旋转角 α(0°<α<144°)得到△ AE′F′, 连结 CE′,BF′,求证:CE′=BF′; (3)在(2)的旋转过程中是否存在 CE′∥AB?若存在,求出相应的旋转角 α;若不存在,请说明理由.

考点: 旋转的性质;等腰三角形的性质;等腰梯形的判定. 专题: 压轴题. 分析: (1)根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质得出对应角之间的关系进而得出答案; (2)由旋转的性质可知:∠E′AC=∠F′AB,AE′=AF′,根据全等三角形证明方法得出即可; (3)分别根据①当点 E 的像 E′与点 M 重合时,则四边形 ABCM 为等腰梯形,②当点 E 的像 E′与点 N 重合时,求出 α 即可. 解答: (1)证明:∵AB=BC,∠A=36°, ∴∠ABC=∠C=72°, 又∵BE 平分∠ABC, ∴∠ABE=∠CBE=36°, ∴∠BEC=180°﹣∠C﹣∠CBE=72°, ∴∠ABE=∠A,∠BEC=∠C, ∴AE=BE,BE=BC, ∴AE=BC.
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(2)证明:∵AC=AB 且 EF∥BC, ∴AE=AF; 由旋转的性质可知:∠E′AC=∠F′AB,AE′=AF′, ∵在△ CAE′和△ BAF′中 ,

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∴△CAE′≌△BAF′, ∴CE′=BF′. (3)存在 CE′∥AB, 理由:由(1)可知 AE=BC,所以,在△ AEF 绕点 A 逆时针旋转过程中,E 点经过的路径(圆弧)与过点 C 且与 AB 平行的直线 l 交于 M、N 两点, 如图:①当点 E 的像 E′与点 M 重合时,则四边形 ABCM 为等腰梯形, ∴∠BAM=∠ABC=72°,又∠BAC=36°, ∴α=∠CAM=36°. ②当点 E 的像 E′与点 N 重合时, 由 AB∥l 得,∠AMN=∠BAM=72°, ∵AM=AN, ∴∠ANM=∠AMN=72°, ∴∠MAN=180°﹣2×72°=36°, ∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=72°. 所以,当旋转角为 36°或 72°时,CE′∥AB.

点评: 此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质和等腰梯形的性质等知识,根据数形结合熟练掌握相关 定理是解题关键. 20. (2013?昭通)如图 1,已知 A(3,0) 、B(4,4) 、原点 O(0,0)在抛物线 y=ax +bx+c (a≠0)上. (1)求抛物线的解析式. (2)将直线 OB 向下平移 m 个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个交点 D,求 m 的值及点 D 的坐标. (3)如图 2,若点 N 在抛物线上,且∠NBO=∠ABO,则在(2)的条件下,求出所有满足△ POD∽△NOB 的点 P 的坐标(点 P、O、D 分别与点 N、O、B 对应)
2

考点: 二次函数综合题. 专题: 压轴题.

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分析: (1)利用待定系数法求二次函数解析式进而得出答案即可; (2)首先求出直线 OB 的解析式为 y=x,进而将二次函数以一次函数联立求出交点即可; (3)首先求出直线 A′B 的解析式,进而由△ P1OD∽△NOB,得出△ P1OD∽△N1OB1,进而求出点 P1 的 坐标,再利用翻折变换的性质得出另一点的坐标. 2 解答: 解: (1)∵A(3,0) 、B(4,4) 、O(0,0)在抛物线 y=ax +bx+c (a≠0)上. ∴ ,

解得:


2

故抛物线的解析式为:y=x ﹣3x; (2)设直线 OB 的解析式为 y=k1x( k1≠0) , 由点 B(4,4)得 4=4 k1, 解得 k1=1. ∴直线 OB 的解析式为 y=x,∠AOB=45°. ∵B(4,4) , ∴点 B 向下平移 m 个单位长度的点 B′的坐标为(4,0) , 故 m=4. ∴平移 m 个单位长度的直线为 y=x﹣4. 解方程组

解得:



∴点 D 的坐标为(2,﹣2) . (3)∵直线 OB 的解析式 y=x,且 A(3,0) . ∵点 A 关于直线 OB 的对称点 A′的坐标为(0,3) . 设直线 A′B 的解析式为 y=k2x+3,此直线过点 B(4,4) . ∴4k2+3=4, 解得 k2= . ∴直线 A′B 的解析式为 y= x+3. ∵∠NBO=∠ABO,∴点 N 在直线 A′B 上, 设点 N(n, n+3) ,又点 N 在抛物线 y=x ﹣3x 上, ∴ n+3=n ﹣3n. 解得 n1=﹣ ,n2=4(不合题意,舍去) , ∴点 N 的坐标为(﹣ , ) .
2 2

如图,将△ NOB 沿 x 轴翻折,得到△ N1OB1,
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则 N1 (﹣ ,﹣

) ,B1(4,﹣4) .

∴O、D、B1 都在直线 y=﹣x 上. 过 D 点做 DP1∥N1B1, ∵△P1OD∽△NOB, ∴△P1OD∽△N1OB1, ∴P1 为 O N1 的中点. ∴ = = ,

∴点 P1 的坐标为(﹣ ,﹣

) .

将△ P1OD 沿直线 y=﹣x 翻折,可得另一个满足条件的点到 x 轴距离等于 P1 到 y 轴距离,点到 y 轴距离等 于 P1 到 x 轴距离, ∴此点坐标为: ( , ) . )和( , ) .

综上所述,点 P 的坐标为(﹣ ,﹣

点评: 此题主要考查了翻折变换的性质以及待定系数法求一次函数和二次函数解析式以及相似三角形的判定与性 质等知识,利用翻折变换的性质得出对应点关系是解题关键.

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