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高三文科数学试卷(含答案)经典题


高三文科数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? x x 2 ? 4 , N ? x x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,且 M ? N ? A. ? x x ? ?2 ? B. ? x x ? 3 ? C. ? x ?1 ? x ? 2 ? D. ? x 2 ? x ? 3 ?

?

?

?

?

2.若函数 f ( x) ? log2 x ,则下面必在 f ( x ) 反函数图像上的点是 A. (2 a ,a ) C. ( a, a ) 2

? B. ( , 2)
D. ( ?2, )

1 2

1 2

3.右图为某几何体三视图,按图中所给数据,该几何体的体积为 A.64+16 3 B. 16+

4 3 3

C.16 3

D. 16

4.在各项都为正数的等比数列 {an } 中,首项为 3,前 3 项和为 21,则 a3 ? a4 ? a5 ? ( ) A.33 5. 将函数 y ? sin( 2 x ? A. x ? B.72 C.84 D.189

?
3

) 的图像向右平移 x ?
B. x ?

?
12

个单位后所得的图像的一个对称轴是:

?
6

?
4

C. x ?

?
3

D. x ?

?
2

6. 若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数 m , n 作为点 P 的坐标,则点 P 落在圆

x 2 ? y 2 ? 10 内(含边界)的概率为

A.

1 6

B.

1 4

C.

2 9

D.

7 36

7.下列有关命题的说法正确的是
2 A. x ? 1 ”是“ x ? ?1 ”的充分不必要条件 “

2 B. x ? 2 ”是“ x ? 5x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件. “

C.命题“ ?x ? R , 使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ” “ .
2 2

D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题.

高三文科数学第 1 页(共 4 页)

?x>0 ? 8.在约束条件 ?y ? 1 下,目标函数 z ? 2 x ? y 的值 ? ? ?2x-2y+1 ? 0 ?
A.有最大值 2,无最小值 C.有最小值 9.已知复数 z1 B.有最小值 2,无最大值 D.既无最小值,也无最大值

1 ,最大值2 2

? 2 ? i , z2 ? 1 ? i ,则 z ? z1z2 在复平面上对应的点位于

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10.将 n 个连续自然数按规律排成右表,根据规律,从 2008 到 2010,箭头方向依次是

A

B

C

D

第二卷 非选择题(共 110 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生 只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分. 开始 1 11.若A(-2,3) ,B(3,-2) ,C( ,m)三点共线,

2

则m的值为

. . a=a+1 否

a=1 a=3a+1 a>100? 是 输出 a

12.程序框图(即算法流程图)如图所示,其输出结果是 13. 已知| a |=| b |=| a ? b |=1,则| a + 2b |的值为 .

14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,曲线 ? ? 3 截直线 ? cos(? ? 15. (几何证明选讲选做题) 如图 PT 为圆 O 的切线,T 为切点,?ATM ?

?
4

) ? 1 所得的弦长为



结束

?
3

, O 的面积为 2? , PA ? 圆 则 M T



P

O

A

高三文科数学第 2 页(共 4 页)

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16. (本小题满分12分) 已知 f ( x) ? 2 sin x cos x ? 2 3 cos2 x ? 1 ? 3 , x ? [0, ⑴ 求 f (x) 的最大值及此时 x 的值; ⑵ 求 f (x) 在定义域上的单调递增区间。

?
2

]

17. (本小题满分 12 分) 一工厂生产甲, 乙, 丙三种样式的杯 子,每种样式均有 500ml 和 700ml 两种型 号,某天的产量如右表(单位:个): 按样式分层抽样的方法在这个月生产的 杯子中抽取 100 个,其中有甲样式杯子 25 个. (1) 求 z 的值;
w.w.w. k.s.5.u .c.o.m

型号 500ml 700ml

甲样式 2000 3000

乙样式 z 4500

丙样式 3000 5000

(2) 用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为 5 的样本,从这个样本中任取 2 个杯子,求至少有 1 个 500ml 杯子的概率.

18.(本小题满分 14 分) 如 图 , 已 知 AB ⊥ 平 面 ACD , DE ∥ AB , E B

AD ? AC ? DE ? 2 AB =2 , 且 F 是 CD 的 中
点. AF ? 3 (Ⅰ)求证: AF ∥平面 BCE ; (Ⅱ)求证:平面 BCE⊥平面 CDE ; (III)求此多面体的体积. C

A D

F (18 题图)

高三文科数学第 3 页(共 4 页)

19.(本小题满分 14 分) 设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的左右焦点分别为 F1 、 F2 , A 是椭圆 C 上的一点, a2 2

???? ???? ? ? 1 AF2 ? F1F2 ? 0 ,坐标原点 O 到直线 AF1 的距离为 OF1 . 3
(1)求椭圆 C 的方程; ( 2 ) 设 Q 是 椭 圆 C 上 的 一 点 , N (?1,0) , 连 接 QN 的 直 线 交 y 轴 于 点 M , 若

MQ ? 2 QN ,求直线 l 的斜率.

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? a 2 x 2 ? ax(a ? 0) . (1)当 a ? 1 时,证明函数 f ( x ) 只有一个零点; (2)若函数 f ( x ) 在区间 ?1,?? ? 上是减函数,求实数 a 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分) 已知数列

?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ?

an (n ? N ) . 2an ? 1

(1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2)设:

2 1 ? ? 1 求数列 ?bnbn?1? 的前 n 项的和 Tn ; bn an

(3)已知 P ? (1 ? b1 )(1 ? b3 )(1 ? b5 )?(1 ? b2n?1 ) ,求证: P ? 2n ? 1 . n

高三文科数学第 4 页(共 4 页)

珠海市 2009---2010 学年度第一学期期末学生学业质量监测 高三文科数学试卷(答案及评分标准)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. C 2. C 3. B 4. C 5.A 6. A 7.D 8. A 9.D 10.A

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生 只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分. 11.

1 2

12. 160 13.

7

14. 4 2 15. 3 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解:⑴ f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
3

) ?1

-----------3 分

?0 ? x ? ?

?
2

?
3

? 2x ?

?
?
2 3

?

当 2x ? ⑵由

?
3

4? 3

?

时,即 x ?

?
12

时, y max ? 1

-----------6 分

?
3

? 2x ?

?
3

?

?
2

得0 ? x ?

?
12

? f (x) 在定义域上的单调递增区间 [0,
17. (本小题满分 12 分)

?
12

]

-----------12 分

解: (1).设该厂本月生产的乙样式的杯子为 n 个,在丙样式的杯子中抽取 x 个,由题意得,

25 x ? , ,所以 x=40. 5000 8000
则 100-40-25=35,所以,

-----------2 分

25 35 ? , n=7000, 5000 n
故 z=2500 (2) 设所抽样本中有 m 个 500ml 杯子, 因为用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为 5 的样本, ----------6 分

高三文科数学第 5 页(共 4 页)

所以

2000 m ? , ,解得 m=2 5000 5

-----------9 分

也就是抽取了 2 个 500ml 杯子,3 个 700ml 杯子, 分别记作 S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取 2 个的所有基本事件为 (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3) 共 10 个,其中至少有 1 个 500ml 杯子的基本事件有 7 个基本事件: (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以从中任取 2 个, 至少有 1 个 500ml 杯子的概率为 18.(本小题满分 14 分) , 解: (Ⅰ)取 CE 中点 P,连结 FP、BP, ∵F 为 CD 的中点,

7 . 10

-----------12 分

1 DE . 2 1 又 AB∥DE,且 AB= DE . 2
∴FP∥DE,且 FP= ∴AB∥FP,且 AB=FP, ∴ABPF 为平行四边形,∴AF∥BP. 又∵AF ? 平面 BCE,BP ? 平面 BCE, ∴AF∥平面 BCE ????5 分 ????3 分

(Ⅱ)∵ AF ? 3 ?CD ? 2 ,所以△ACD 为正三角形,∴AF⊥CD ∵AB⊥平面 ACD,DE//AB ∴DE⊥平面 ACD ∴DE⊥AF 又 AF⊥CD,CD∩DE=D ∴AF⊥平面 CDE 又 BP∥AF ∴BP⊥平面 CDE 又∵BP ? 平面 BCE ∴平面 BCE⊥平面 CDE ????10 分 ????8 分 又 AF ? 平面 ACD

(III)此多面体是一个以 C 为定点,以四边形 ABED 为底边的四棱锥,

S ABED ?

(1 ? 2) ? 2 ? 3 , 面ABDE ? 面ADC ? 等边三角形 AD 边上的高就是四棱锥的高 2

高三文科数学第 6 页(共 4 页)

1 VC ? ABDE ? ? 3 ? 3 ? 3 3

????14 分

19. (本小题满分 14 分)
2 2 解: (1)由题设知 F1 (? a ? 2, 0), F2 ( a ? 2, 0), 其中a ?

2
2

由于 AF2 ? F F2 ? 0 ,则有 AF2 ? F F2 ,所以点 A 的坐标为 ( a ? 2, ? ) 1 1 故 AF1 所在直线方程为 y ? ?(

???? ???? ? ?

???? ?

???? ?
x

2 a

1 ? ) a a2 ? 2 a

所以坐标原点 O 到直线 AF1 的距离为

a2 ? 2 a2 ?1
解得: a ? 2

又 OF1 ?

a 2 ? 2 ,所以

a2 ? 2 1 2 ? a ?2 a2 ?1 3

x2 y 2 ? ?1 所求椭圆的方程为 4 2

-----------7 分

(2)由题意可知直线 l 的斜率存在,设直线斜率为 k 直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,则有

M (0, k ) 设 Q( x1 , y1 ) ,由于 Q 、N、 M 三点共线,且 MQ ? 2 QN

2 ? x ?? ? x1 ? ?2 ? 1 ? 3 根据题意得 ( x1 , y1 ? k ) ? ?2( x1 ? 1, y1 ) ,解得 ? 或? ? y1 ? ? k ? y ? k ? 1 3 ?

(?2) 2 (?k ) 2 ? ? 1或 又 Q 在椭圆 C 上,故 4 2

2 k (? ) 2 ( ) 2 3 ? 3 ?1 4 2

解得 k ? 0, k ? ?4 ,综上,直线 l 的斜率为 0 或 ? 4 .-----------14 分

20.(本小题满分 14 分)函数
2 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? ln x ? x ? x ,其定义域是 (0, ??)

∴? f ?( x) ?

1 2x2 ? x ?1 ? 2x ?1 ? ? x x

????2 分

高三文科数学第 7 页(共 4 页)

2 x2 ? x ?1 1 ? 0 ,解得 x ? ? 或 x ? 1 .? x ? 0 , 令 f ?( x) ? 0 ,即 ? 2 x
∴? x ? ? 舍去. 当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 . ∴ 函数 f ( x ) 在区间 ? 0,1? 上单调递增,在区间 ?1,?? ? 上单调递减 ∴ 当 x =1 时,函数 f ( x ) 取得最大值,其值为 f (1) ? ln1 ?12 ? 1 ? 0 . 当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ,即 f ( x) ? 0 . ∴ 函数 f ( x ) 只有一个零点.
2 2

1 2

?????7 分

(Ⅱ)显然函数 f ( x) ? ln x ? a x ? ax 的定义域为 (0, ??) ∴ f ?( x) ?

1 ?2a 2 x 2 ? ax ? 1 ?(2ax ? 1)(ax ? 1) ? 2a 2 x ? a ? ? x x x

???8 分

① 当 a ? 0 时, f ?( x) ?

1 ? 0,? f ( x) 在区间 ?1,?? ? 上为增函数,不合题意??9 分 x

② 当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 ? x ? 0? 等价于 ? 2ax ?1?? ax ?1? ? 0 ? x ? 0? ,即 x ? 此时 f ( x ) 的单调递减区间为 ? , ?? ? .

1 a

?1 ?a

? ?

?1 ? ? 1, 依题意,得 ? a 解之得 a ? 1 . ? a ? 0. ?
综上,实数 a 的取值范围是 [1,??) 法二: ①当 a ? 0 时, f ?( x) ?

???11 分

???14 分

1 ? 0,? f ( x) 在区间 ?1,?? ? 上为增函数,不合题意??9 分 x

②当 a ? 0 时,要使函数 f ( x ) 在区间 ?1,?? ? 上是减函数,只需 f ? ? x ? ? 0 在区间

?1,??? 上恒成立,? x ? 0 ?只要 2a2 x2 ? ax ?1 ? 0 ,且 a ? 0 时恒成立,
? a ?1 ? 解得 a ? 1 ? ? 4a 2 2 ? 2a ? a ? 1 ? 0 ?
综上,实数 a 的取值范围是 [1,??) 21. (本小题满分 14 分) ????14 分

高三文科数学第 8 页(共 4 页)

解: (1)由 an ?1 ?

an 1 1 1 得: ? ? 2 且 ?1, an?1 an 2an ? 1 a1

所以知:数列 ?

?1? ? 是以 1 为首项,以 2 为公差的等差数列, ????2 分 ? an ?
------------4 分

所以

1 1 ; ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1, 得:an ? an 2n ? 1 2 1 2 1 ? ? 1 得: ? 2n ? 1 ? 1 ? 2n,? bn ? , bn n bn an
1 n(n ? 1)
1 1 1 ? ??? 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)
1 n 1 ) n ?1

(2)由

从而: bn bn ?1 ?

------------6 分

则 Tn ? b1b2 ? b2b3 ? ? ? bnbn ?1 ?

= ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ?

1 1 1 1 1 2 2 3 1 n ? 1? ? n ?1 n ?1

1 1 3 4

------------9 分

(3)已知 Pn ? (1 ? b1 )(1 ? b3 )(1 ? b5 )?(1 ? b2n?1 ) ?

? (4n) 2 ? (4n) 2 ? 1,?

2n ? 1 2n ? 2n 2n ? 1 3 5 2n ? 1 设: Tn ? ? ? ? ? ,则 Pn ? Tn 2 4 2n 2 3 4 2n 2n ? 1 2 ? 2n ? 1 ? 从而: Pn ? PnTn ? ? ? ? ? ? 1 2 3 2n ? 1 2n
故:

2 4 6 2n ? ? ?? ? 1 3 5 2n ? 1

Tn ? 2n ? 1

------------14 分

高三文科数学第 9 页(共 4 页)


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