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3.1.1倾斜角与斜率


3.1.1 直线的倾斜角与斜率

在平面直角坐标系里
点用坐标表示: 直线如何表示呢?
y
l

y

p ( x, y )

x

o

思考?
一条直线的位置由 哪些条件确定呢?

x


o

问题引入
对于平面直角坐标系内的一条直线 l , 它的位置由哪些条件确定?
y l O

x

问题引入
我们知道,两点确定一条直线.一点能 确定一条直线的位置吗?已知直线 l 经过点 P,直线 l 的位置能够确定吗?
y

l
O P

x

问题引入
过一点P可以作无数条直线l 1, l 2 , l 3 ,…它们都经过点P (组成一个直线 束),这些直线区别在哪里呢? y
l O

P

x

问题引入
容易看出,它们的倾斜程度不同.怎 样描述直线的倾斜程度呢?
y l O

P

x

一、直线的倾斜角
1、直线倾斜角的定义:
当直线L与X轴相交时,我们取X轴作为基 准,X轴正向与直线L向上方向之间所成的角 叫做直线的倾斜角
y
l

x

o

a

注意: (1)直线向上方向; (2)轴的正方向。

练习:
下列四图中,表示直线的倾斜角的是( A )
y y

A
y

a
C D
x x o

x

o

o

a

B
y

a

o

x

a

2、直线倾斜角的范围: 播放
当直线 l 与 x 轴平行或重合时,我 ? 们规定它的倾斜角为 0 ,因此,直线 ? ? 的倾斜角的取值范围为: 0 ? a ? 180

按倾斜角去分类,直线可分几类?
y y

零度角

锐角

直角

钝角

x

x

x

x

o

o

a

y

y

a

o

o

3、直线倾斜角的意义
体现了直线对轴正方向的倾斜程度 在平面直角坐标系中,每一条直线都 有一个确定的倾斜角。
倾斜程度 ? 倾斜角

倾斜角相同能确 定一条直线吗? 相同倾斜角可作无 数互相平行的直线
l3

y

l 2 l1

o

x

4、如何才能确定直线位置?
y

l

一点+倾斜角 ? 确定一条直线
(两者缺一不可)

x

o

a

过一点且倾斜角为 a 能不能确定一条直线?



问题引入
日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?

升高量 坡度(比) ? 前进量

升 高 量 前进量

问题引入
例如,“进2升3”与“进2升2”比较,前者 更 陡一些,因为坡度(比)
升 高

3 2 ? . 2 2

升高量 坡度(比)? 前进量

?

前进

二、直线的的斜率
设直线的倾斜程度为K
BC k AC ? AB BD k AD ? AB
D
C 升

? tan ?

? tan?
A

? ?
前进量

高 量

B

1、直线斜率的定义:
我们把一条直线的倾斜角 条直线的斜率 用小写字母 k 表示,即:

a 的正切值叫做这

k ? tan a
?

例如: 3 ? ? a ? 30 ? k ? tan30 ? 3
?

a ? 45 ? k ? tan45 ? 1 ? ? a ? 60 ? k ? tan60 ? 3

当a ? 90?时 k ??

y

o

x

思考:当直线与 x 轴垂直时, 直线的倾斜角是多少?

a ? 90 ? tana(不存在)
?

即k不存在

3、探究:由两点确定的直线的斜率 k ? tan ?

锐角
y
y2
y1

能不能构造 一个直角三 如图,当 α为锐角时, 角形去求? P2 ( x2 , y2 )

?
P 1 ( x1 , y1 )

? ? ?P2 P 1Q,

Q( x2 , y1 )

且x1 ? x2 , y1 ? y2

QP2 y2 ? y1 k ? tan? ? tan?P2 P ? 1Q ? P x2 ? x1 1Q

o

?

x1

x2

x

在Rt?P2 P 1Q中

?0

钝角
y
y2 y1
P2 ( x2 , y2 )

如图,当α为钝角时, ? ? ? 180 ? ? , 且x1 ? x2 , y1 ? y2 tan? ? tan( 180? ? ? )
P 1 ( x1 , y1 )

?
Q( x2 , y1 )

o

x1

x2

?

x

y2 ? y1 y2 ? y1 ? k ? tan? ? ? ? x1 ? x2 x2 ? x1

? ? tan? 在Rt?P2QP 中 1 P2Q y2 ? y1 ? tan? ? x1 ? x2 P 1Q

?0

思考?

2、当直线平行于x轴,或与 x轴重合时, ? k ? tan0 ? 0 上述公式还适用吗?为什么?

? ?0

?

y
P 1 ( x1 , y1 )

P2 ( x2 , y2 )

y2 ? y1 k? x2 ? x1

x1 o

x2

x

答:成立,因为 分子为0,分母不 为0,K=0

思考?
1、当直线平行于y轴,或与y轴重合时, k不存在 上述公式还适用吗?为什么?

? ? 90 , tan90 (不存在)
? ?

y

y2

P2 ( x2 , y2 )
P 1 ( x1 , y1 )

y2 ? y1 k? x2 ? x1

y1

o

x

答:不成立, 因为分母为0。

4、直线的斜率公式:
综上所述,我们得到经过两点 P 1 ( x1, y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )的直线斜率公式:

y2 ? y1 y1 ? y2 k? (或k ? ) x2 ? x1 x1 ? x2
P2
P1 P1

P2

例1。标出下列图中直线的倾斜角,并说出各自斜率符号? Y Y

p
O

?

.

p

.

?
X

X (1)

O

k>0
Y

(2)k<0

Y

p

.

? ? 90
X

o

p ? ? 0o
X

.

O

O

(3)k不存在

(4) K=0

B(b1 , b2 ) ,运 2、已知直线上两点 A(a1 , a2 ) 、 用上述公式计算直线AB的斜率时,与A、 B的顺序有关吗?

b2 ? a2 k AB ? b1 ? a1

?

a2 ? b2 kBA ? a1 ? b1

答:与A、B两点的顺序无关。

例1、如图,已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2),求

直线AB、BC、CA的斜率,并判断这 些直线 的倾斜角是什么角? y. 解: B . A 2?2 . . . . . . . ?0 直线AB的斜率 k AB ? o x ?8? 4 . ?2?2 ?4 1
直线BC的斜率 kBC ? 直线CA的斜率 kCA
0 ? (?8) ? 8 ?? 2

C

∵ k AB ? 0 ∴直线AB的倾斜角为零度角。 ∵ kBC ? 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角。 ∵ kCA ? 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角

2 ? (?2) 4 ? ? ?1 4?0 4

典型例题
例2 在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率 分别为1,-1,2及-3的直线 l1 , l2 , l3 及 l4 . l y l A 解:取 l1上某一点为 1 的 A 坐标是 ( x1 , y1 ),根据斜率公式 A 有: y1 ? 0 x 1? , A x1 ? 0 l
3
3

1

1

2

4

即 x1 ? y1 .

A4

l2

设 x1 ? 1 ,则 y1 ? 1 ,于是 A1的坐标是 (1,1) .过 原点及 A1 (1,1) 的直线即为 l1 . l2是过原点及 A2 ( x2 , y2 ) 的直线,l3 是过原点及 A3 ( x3 , y3 )的直线, l4 是过原点及 A4 ( x4 , y4 ) 的直线.

例3,已知三点A(a,2),B(5,1),

C(-4,2a)在同一直线上,求a的值

例4,直线的斜率为 K,倾斜角为?, ( 1 )若 ?〈 1 K〈1,求?的范围 ? 3? (2)若 〈?〈 ,求K的范围 4 4

例5,过点P(2,-1)作直线L与 线段AB有公共点,A(-3,4) B(3,2) (1)求直线L的斜率K的范围 (2)求直线L倾斜角的范围

三、小结:
1、直线的倾斜角定义及其范围: 0? ? ? ? 180? ? 2、直线的斜率定义: k ? tan a (a ? 90 ) 3、斜率k与倾斜角 ? 之间的关系:

y2 ? y1 y1 ? y2 4、斜率公式:k ? (或k ? ) x2 ? x1 x1 ? x2

?a ? 0? ? k ? tan0? ? 0 ? ? ? 0 ? a ? 90 ? k ? tan a ? 0 ? ? ? ?a ? 90 ? tan a(不存在) ? k不存在 ?90? ? a ? 180? ? k ? tana ? 0 ?


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