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3.12应用空间向量解立体几何问题


空间向量的引入为代数方法处理立体几 何问题提供了一种重要的工具和方法,解题 时,可用定量的计算代替定性的分析,从而 回避了一些严谨的推理论证。求空间角与距 离是立体几何的一类重要的问题,也是高考 的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向 量的办法解决空间角与距离的问题。

建立空间直角坐标系,解立体几何题
一、常用公式:
1、求线段的长度


AB ? AB ? x 2 ? y 2 ? z 2 ?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y2 ? y1 ?2 ? ?z2 ? z1 ?2

2、平行 ?

? a || b ? a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R)

? a1 / b1 ? a2 / b2 ? a2 / b2

3、垂直

? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0

4、求P点到平面 ? 的距离:

d?

| PM ? n | |n|

,(N为垂足,M为斜足, n 为平面

?

的法向量)

5、求直线l与平面 ? 所成的角:

si nθ ?

| PM? n | | PM | ? | n |

,(

PM ? l M ? ?

n



?

的法向量)

6、求两异面直线AB与CD的夹角:

cos ? ?

| AB ? CD | | AB | ? | CD |

7、求二面角的平面角 ? :

cos? ? ?

n1 ? n2 | n1 | ? | n2 |

(

n1

n2

为二面角的两个面的法向量)

8、求二面角的平面角 ? :

S射影 cos? ? S

(射影面积法)


9、求法向量:①找;②求:设 a, b 为平面 ? 内的任意两个向量,

n ? ( x, y, z) 为 ? 的法向量

?a ? n ? 0 ? 可求得法向量 n 则由方程组 ? ?b ? n ? 0 ?

题型一:线线角 异面直线AB与CD所成角: cos ? ?

| AB ? CD | | AB | ? | CD |

例一:Rt? ABC中,?BCA ? 900 , 现将? ABC沿着

平面ABC的法向量平移到?A1B1C1位置,已知

BC ? CA ? CC1, 取A1B1、AC1的中点D1、F1, 1
求BD1与AF1所成的角的余弦值.

F1

C1
D1
C

B1
B

A1

A

题型一:线线角 解:以点C为坐标原点建立空间

z
F11 F

直角坐标系C ? xyz 如图所示,

设 CC1 ? 1 则 A(1,0,0), B(0,1,0), A A11 1 1 1 C F1 ( ,0,1), D1 ( , ,1) 2 2 2 所以: A A ? ? x 1 1 1 AF1 ? (? ,0,1) , BD1 ? ( ,? ,1) 2 2 2? 1 ? | ? ?1| ???? ???? ? | AF1 ? BD1 | 30 4 ? ? ? | cos ? AF1 , BD1 ? | ? ? 10 | AF1 || BD1 | 5 3 4 2

C1 1 D1 1

B11 B
B

y

BD1与 AF1 所成角的余弦值为 30 所以
10

题型一:线线角—两线垂直 例二: 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, = 5,AD ? 8, AB

AA1 ? 4, M 为B1C1上的一点,且B1M ? 2,点N 在线段A1D上,
A1D ? AN .
(1)求证:A1D ? AM .
证明:如图建立坐标系,则

z
A1 B1 M C1

D1

A(0,0,0), A1 (0,0, 4),
???? ? ???? ? AM ? (5, 2, 4), A1D ? (0,8, ?4), ? ? AM ? A1 D ? 0 ? A1D ? AM .

A

D
C

y

D(0,8, 0), M (5, 2, 4)

x

B

例二已知正三棱柱 ABC ? A?B?C ?的各棱长都为1,M 是底

1 面上 BC 边的中点,N 是侧棱 CC ?上的点,且CN ? CC, ? 4 求证:AB? ? MN 。 ??? ? ??? ? ???? ? ? ?
A'

解1:向量解法 设 AB ? a , AC ? b , AA? ? c ,则由已知条件和正三棱柱的性质 ,得
? ? ? ? 1 ? ? ? ? 1? AB? ? a ? c , AM ? (a ? b ), AN ? b ? c 2 ? 1? 4 ? ? ? 1? 1 ? MN ? AN ? AM ? ? a ? b ? c , 2 2 4 ? 1? ? ? ? ? 1? 1 AB? ? MN ? (a ? c ) ? (? a ? b ? c ) 2 2 4 1 ? 2 1 ? 2 1? ? 1? ? 1? ? ? ? | a | ? | c | ? a ?b ? a ?c ? b ?c 2 ? 4 2 ? 4 ?21 ? ? ? ? ? ? ?| a ?| b |?| c |? 1, a ? c ? b ? c ? 0, a ? b ? , 2 ? ? 1 1 1 ? AB ? MN ? ? ? ? ? 0 2 4 4

B'

C'

? c
? a
B M A

? b

N

C

? AB? ? MN . 你能建立直角坐标系解答本题吗?

M 例2 已知正三棱柱ABC ? A?B?C ? 的各棱长都为1, 是底

1 面上 BC 边的中点,N 是侧棱 CC ?上的点,且CN ? CC, ? 4 求证:AB? ? MN 。 解2:直角坐标法 。 取 B?C?的中点G, 由
Z
A'

B'

C'

G

已知条件和正三棱柱的性质,得 AM ? BC, 如图建立坐标系m-xyz。则 1 1 3 1 ?(0,? ,1), M (0,0,0, ), N (0, , ), A(? ,0,0), B 2 4 2 2

? 1 1 3 1 ? MN ? (0, , ); AB? ? ( ,? ,1) 2 4 2 2
A N

? AB? ? MN ? 1 1 ? 0? ? ? 0 4 4

3 1 1 1 ? 0 ? (? ) ? ?1 2 2 2 4

B

M

Y

C

X

? AB? ? MN .

题型二:线面角

例三: 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,AB ? 6, AD ? 8, AA1 ? 6, M 为BC1上的一点,且B1M ? 2, 点N 在线段A1D上, A1 N ? 5

(2)求AD与平面ANM 所成的角.
解:如图建立坐标系A-xyz,则

z

A1 1 B1 M 1

D1 1
NC

C1 1
D D

? ? ? AM ? (6,2,6), AN ? (0,4,3). ? 设平面?的法向量n ? ( x, y, z),由 ?
? AM ? n ? 0 ? ? AN ? n ? 0

A(0,0,0), M (6,2,6) 由A1 N ? 5, 可得 N (0,4,3)

A

y

x

B B

C C



6x ? 2 y ? 6z ? 0 4 y ? 3z ? 0

| sin ? |?

| AD ? n | | AD | ? | n |

题型二:线面角 AB 例三: 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, = 5,AD ? 8, AA1 ? 6, M 为BC1上的一点,且B1M ? 2, 点N 在线段A1D上, A1 N ? 5

(2)求AD与平面ANM 所成的角.
???? ? 4 得n ? (1,1,? ) 又 AD ? (0,8,0), 3 ? ? | AD ? n | ? ? ?| sin ? |?

z

A1 1 B1 M 1

N

D1 1

C1 1
D D

A

y

3 34 AD与平面ANM 所成角的正弦值是 34

| AD || n | | 0 ? 1? 8 ? 0 | 3 34 ? ? , 34 4 2 2 2 8 ? 1 ? 1 ? (? ) 3

x

B B

C C

题型四:二面角
例五、如图,ABCD是一直角梯形,?ABC ? 900 , SA ? 平面ABCD, 1 SA ? AB ? BC ? 1, AD ? , 求面SCD与面SBA 所成的二面角的余弦值。 2

S 1 A ( 0, ,C ( 1, 0) D(0, ,0), S (0, 0,1) 0, 0) - 1, , 2 ? ? 1 易知,面SBA 的法向量n1 ? AD ? (0, ,0), 2 ? ? 1 1 CD ? (1,? ,0), SD ? (0, ,?1) x A 2 2

解: 建立空直角坐系A - xyz如所示,

z

B

C

D y ?? ? ?? ??? ?? ??? ? ? ? ? 设平面 SCD的法向量n2 ? ( x, y, z ), 由n2 ? CD, n2 ? SD, 得:

y ? ? x? ?0 ? ? ? n ?n 6 2 解得:n2 ? (1,2,1) ? cos ? n1 , n2 ?? ?1 ?2 ? , | n1 || n2 | 3 y ?z?0 2 6

即所求二面角的余弦值是

3



题型五:异面直线的距离
例6.已知:直三棱柱ABC ? A1B1C1的侧棱AA1 ? 4, 底面?ABC中, AC ? BC ? 2, ?BCA ? 900 , E为AB的中点。求CE与AB1的距离。 解:如图建立坐标系C ? xyz, 则C(0,0,0), E(1,1,0), A(2,0,0), B1 (0,2,4). ? ? ? CE ? (1,1,0), AB1 ? (2,2,4), z
? ? ? 设CE, AB1的公垂线的方向向量为n ? ( x, y, z ).则 ? ? x? y ?0 n ? CE ? 0 即 ? ? ? 2x ? 2 y ? 4z ? 0 n ? AB1 ? 0
C1 A1 B1

? 取x=1,z则y=-1,z=1,所以 n ? (1,?1,1)

C A B

? 在两直线上各取点C , A,? CA ? (2,0,0). ? ? ? ? | n ? CA | 2 3 ? CE与AB1的距离d ? ? . ? |n| 3

x

E

y


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