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2009届高三数学第一轮复习单元测试


2009 届高三数学第一轮复习单元测试(6)—《直线与圆的方程》 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1 . 2008 年 重 庆 卷) 圆 ( ( )

O 1: x2 ? y2 ? 2x ? 0 和 圆 O 2: x2 ? y2 ? 4 y ? 0 的 位 置 关 系 是<

br />
A. 相离

B. 相交

C. 外切

D. 内切
( )

2.若直线 ax ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 x ? y ? 2 ? 0 互相垂直,那么 a 的值等于

A.1

1 B. 3 ?

2 C. 3 ?
2 2

D. ?2 )

3.设直线过点 (0, a), 其斜率为 1,且与圆 x ? y ? 2 相切,则 a 的值为 ( A. ?4 B. ?2 2 C. ?2 D. ? 2

4.平面 ? 的斜线 AB 交 ? 于点 B ,过定点 A 的动直线 l 与 AB 垂直,且交 ? 于点 C ,则动 点 C 的轨迹是 A.一条直线 B.一个圆 ( ) C.一个椭圆 D.双曲线的一支

?x ? 2 ? y ? tan ? ? cot ? ( ? 为参数)所表示的曲线是 5.参数方程 ?
A.圆 6. 如果直线 B.直线 C.两条射线

( D.线段



l1 , l2 的斜率分别为二次方程 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 的两个根, l1 与 l2 的夹角为 那么 (



? A. 3

? B. 4

? C. 6
2 2

? D. 8

7. (2008 年安徽卷)若过点 A(4, 0) 的直线 l 与曲线 ( x ? 2) ? y ? 1有公共点,则直线 l 的 斜率的取值范围为 A. [? 3, 3] B. (? 3, 3) ( )

[?
C.

3 3 , ] 3 3

(?
D.
2

3 3 , ) 3 3
2

8.一束光线从点 A(?1,1) 出发,经 x 轴反射到圆 C : ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1 上的最短路径是 ( A.4 B.5 ) C. 3 2 ?1 D. 2 6

1 2 ? ax ? 2by ? 2 ? 0(a, b ? 0) 始终平分圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 8 ? 0 的周长, a b 9. 若直线 则

的最小值为 A.1 B.5



) C. 4 2 D. 3 ? 2 2

10.已知平面区域 D 由以 A?1,3? 、 B?5,2? 、 C ?3,1? 为顶点的三角形内部和边界组成.若在区 域 D 上有无穷多个点 ? x, y ? 可使目标函数 z ? x ? my 取得最小值,则 m ? A. ? 2
2 2





B. ? 1
2

C. 1

D.4

11.设圆 ( x ? 3) ? ( y ? 5) ? r (r ? 0) 上有且仅有两个点到直线 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 的距离等 于 1,则圆半径 r 的取值范围是 A. 3 ? r ? 5 B. 4 ? r ? 6 ( ) C. r ? 4 D. r ? 5

12. (2006 年安徽卷)如果实数 A. 2 B. 1

x、 y 满足条件

?x ? y ?1 ? 0 ? ? y ?1 ? 0 ?x ? y ?1 ? 0 ?

,那么 2x ? y 的最大值为 D. ?3

C. ?2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上. 13.已知直线 14.若圆

l1 : x ? y sin ? ?1 ? 0 ,l2 : 2 x sin ? ? y ? 1 ? 0 ,若 l1 // l2 ,则 ? ?



C1 : x2 ? y2 ? 2mx ? m2 ? 4 ? 0 与圆 C2 : x2 ? y2 ? 2x ? 4my ? 4m2 ? 8 ? 0 相交,

2 2

则 m 的取值范围是

15.已知直线 5x ? 12y ? a ? 0 与圆 x ? 2 x ? y ? 0 相切,则 a 的值为________. 16.已知圆 M: (x+cos?)2+(y-sin?)2=1, 直线 l:y=kx,下面四个命题: (A)对任意实数 k 与?,直线 l 和圆 M 相切; (B)对任意实数 k 与?,直线 l 和圆 M 有公共点; (C)对任意实数?,必存在实数 k,使得直线 l 与和圆 M 相切; (D)对任意实数 k,必存在实数?,使得直线 l 与和圆 M 相切. 其中真命题的代号是______________(写出所有真命题的代号). 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)已知 ?ABC 的顶点 A 为(3,-1) ,AB 边上的中线所在直线方程 为 6 x ? 10 y ? 59 ? 0 , ? B 的平分线所在直线方程为 x ? 4 y ? 10 ? 0 ,求 BC 边所在直线的 方程. 18. (本小题满分 12 分)设圆满足:①截 y 轴所得弦长为 2;②被 x 轴分成两段圆弧,其弧

5 长之比为 3:1;③圆心到直线 l : x ? 2 y ? 0 的距离为 5 ,求该圆的方程.

19. (本小题满分 12 分)设 M 是圆 x ? y ? 6x ? 8 y ? 0 上的动点,O 是原点,N 是射线
2 2

OM 上的点,若 | OM | ? | ON |? 150 ,求点 N 的轨迹方程。 20. (本小题满分 12 分)已知过 A(0,1)和 B (4, a ) 且与 x 轴相切的圆只有一个,求 a 的 值及圆的方程. 21. (本小题满分 12 分) (2006 年辽宁卷)已知点
2

A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ( x1 x2 ? 0) 是抛物线

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? OA ? OB ? OA ? OB y ? 2 px( p ? 0) 上的两个动点, O 是坐标原点,向量 OA , OB 满足 .
设圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0

(I) 证明线段 AB 是圆 C 的直径;

2 5 (II)当圆 C 的圆心到直线 X-2Y=0 的距离的最小值为 5 时,求 p 的值。
22. (本小题满分 14 分)已知定点 A(0,1) ,B(0,-1) ,C(1,0) .动点 P 满足:

AP ? BP ? k | PC |2 .
(1)求动点 P 的轨迹方程,并说明方程表示的曲线类型;

??? ??? ? ? k ? 2 时,求 | 2 AP ? BP | 的最大、最小值. (2)当
参考答案(6) 1 B.化成标准方程:

O 1: ( x ?1)2 ? y 2 ? 1, O 2: x2 ?) y ? 2)2 ? 4 ,则

O1 (1, 0) , O2 (0, 2) , | O1O2 |? (1 ? 0) 2 ? (0 ? 2) 2 ? 5 ? R ? r ,两圆相交
2.D.由

A1 A2 ? B1B2 ? 0 可解得.
x ? y ? a ? 0,? 2 ? a 2 ,? a ? ?2

3.C.直线和圆相切的条件应用,

,选 C;

4.A.过点 A 且垂直于直线 AB 的平面与平面 ? 的交线就是点 C 的轨迹,故是一条直线.

?x ? 2 ?? ?| y |? 2 5.C.原方程
6.A.由夹角公式和韦达定理求得.
2 2 7.C.解:设直线方程为 y ? k ( x ? 4) ,即 kx ? y ? 4k ? 0 ,直线 l 与曲线 ( x ? 2) ? y ? 1

有公共点,

d?
圆心到直线的距离小于等于半径

2k ? 4k k 2 ?1

?1


4k 2 ? k 2 ? 1, k 2 ?


1 3 ,选择 C

另外,数形结合画出图形也可以判断 C 正确。 8.A.先作出已知圆 C 关于 x 轴对称的圆 C ' ,问题转化为求点 A 到圆 C ' 上的点的最短路 径,即 | AC ' | ?1 ? 4 . 9.D.已知直线过已知圆的圆心(2,1) ,即 a ? b ? 1 .

1 2 1 2 b 2a ? ? ( ? )(a ? b) ? 3 ? ? ? 3? 2 2 a b a b 所以 a b .
10.C.由 A?1,3? 、 B?5,2? 、 C ?3,1? 的坐标位置知, ?ABC 所在的区域在第一象限,故

x ? 0, y ? 0 .由 z ? x ? my 得

y??

1 z 1 x? ? m m ,它表示斜率为 m .

z 1 1? 3 z ? x ? my 取得最小值,必须使 m 最小,此时需 ? m ? k AC ? 3 ? 1 , (1)若 m ? 0 ,则要使
即 m ? 1;

z 1 1? 2 z ? x ? my 取得最小值,必须使 m 最小,此时需 ? m ? k BC ? 3 ? 5 , (2)若 m ? 0 ,则要使
即 m ? 2,与 m ? 0 矛盾.综上可知, m ? 1. 11.B.注意到圆心 C (3, ?5) 到已知直线的距离为 l

| 4 ? 3 ? 3 ? (?5) ? 21| 42 ? (?3)2

4

?5


结合图形可知有两个极端情形: 其一是如图 7-28 所示的小圆,半径为 4; 其二是如图 7-28 所示的大圆,其半径为 6,故 4 ? r ? 6 . 12.B.当直线 2x ? y ? t 过点(0,-1)时, t 最大,故选 B.

k? ?
13.

?
4

(k ? Z )

. sin ? ? 0 时不合题意;

1 1 2 ? ? ?2sin ? ? sin 2 ? ? ? sin ? ? ? ? ? ? k? ? sin ? ? 0 时由 sin ? 2 2 4, ?
1 ? ?1 sin ? 这时 . (?
14.

12 2 , ? ) ? (0, 2) 5 5 .由 R ? r ? d ? R ? r 解之得.

| 5 ?1 ? 12 ? 0 ? a |
15.8 或-18.

52 ? 122

?1
,解得 a =8 或-18.

16. (B) (D).圆心坐标为(-cos?,sin?)d=

|-k cos ?-sin ? | 1+k 2 =|sin ?+?)? 1 ( |
故填(B) (D) 17.设



1+k 2 |sin ?+?) ( | 1+k 2

B(4 y1 ?10, y1 ) ,由 AB 中点在 6 x ? 10 y ? 59 ? 0 上,
6? 4 y1 ? 7 y ?1 ? 10 ? 1 ? 59 ? 0 2 2 ,y1 = 5,所以 B(10,5) .

可得:

设 A 点关于 x ? 4 y ? 10 ? 0 的对称点为 A '( x ', y ') ,
y? ? 4 ? x? ? 3 ? 2 ? 4 ? 2 ? 10 ? 0 ? ? A?(1,7) ? ? y ? ? 1 ? 1 ? ?1 ? 则有 ? x ? ? 3 4 .故 BC : 2 x ? 9 y ? 65 ? 0 .

18.设圆心为 ( a, b) ,半径为 r,由条件①: r ? a ? 1 ,由条件②: r ? 2b ,从而有:
2 2 2 2

?2b2 ? a 2 ? 1 | a ? 2b | 5 ? ?| a ? 2b |? 1 ? | a ? 2b |? 1 可得: 5 5 2b2 ? a 2 ? 1 .由条件③: ,解方程组 ?
?a ? 1 ?a ? ?1 ? ? 2 2 ?b ? 1 或 ?b ? ?1 , 所 以 r 2 ? 2b2 ? 2 . 故 所 求 圆 的 方 程 是 ( x ?1) ? ( y ?1) ? 2 或
( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 .

? x1 ? ? x ???? ? ???? ? N ( x, y) , M ( x1, y1 ) .由 OM ? ?ON (? ? 0) 可得: ? y1 ? ? y , 19.设

150 x ? ? x1 ? x 2 ? y 2 ? ? 150 ? y ? 150 y | OM | ? | ON |? 150 ? ? ? 2 1 x 2 ? y 2 ,因为点 M 在已知圆上. x ? y 2 .故 ? ? 由
150x 2 150y 2 150x 150y ) ?( 2 ) ? 6? 2 ?8? 2 ?0 2 2 2 2 x ?y x ?y x ?y x ? y2 所以有 , (
化简可得: 3x ? 4 y ? 75 ? 0 为所求. 20 . 设 所 求 圆 的 方 程 为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 . 因 为 点 A 、 B 在 此 圆 上 , 所 以
2 2

E ? F ?1 ? 0 , ①

4 , D ? aE ? F ? a ? 16 ? 0 ②
2 2

③④又知该圆与 x 轴 (直线 y ? 0 )

相 切 , 所 以 由 ? ? 0 ? D ? 4F ? 0 , ③

由①、②、③消去 E、F 可得:

1 (1 ? a) D 2 ? 4 D ? a 2 ? a ? 16 ? 0 4 ,

④ 由题意方程④有唯一解,当 a ?1 时,

D ? ?4, E ? ?5,F ? 4 ;当 a ? 1 时由 ? ? 0 可解得 a ? 0 ,
这时 D ? ?8, E ? ?17, F ? 16 . 综上可知, 所求 a 的值为 0 或 1, a ? 0 时圆的方程为 x ? y ? 8x ?17 y ? 16 ? 0 ; a ? 1 当 当
2 2

时,圆的方程为 x ? y ? 4x ? 5 y ? 4 ? 0 .
2 2

21.(I)证明 1:

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB)2 ? (OA ? OB) 2

??? 2 ??? ??? ??? 2 ??? 2 ??? ??? ??? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? OA ? 2OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB ??? ??? ? ? 整理得: OA ? OB ? 0
? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0
???? ???? 设 M(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点,则 MA ? MB ? 0


( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0

整理得:

x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0

故线段 AB 是圆 C 的直径

证明 2:

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB)2 ? (OA ? OB) 2

??? 2 ??? ??? ??? 2 ??? 2 ??? ??? ??? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? OA ? 2OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB ??? ??? ? ? OA ? OB ? 0 整理得:
? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ……..(1)
设(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上则

y ? y2 y ? y1 ? ? ?1( x ? x1 , x ? x2 ) x ? x2 x ? x1 即
去分母得: 点

( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0

( x1 , y1 ),( x1 , y2 ),( x2 , y1 )( x2 , y2 ) 满足上方程,展开并将(1)代入得:

x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0
故线段 AB 是圆 C 的直径 证明 3:

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB)2 ? (OA ? OB) 2

??? 2 ??? ??? ??? 2 ??? 2 ??? ??? ??? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? OA ? 2OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB ??? ??? ? ? OA ? OB ? 0 整理得:
? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ……(1)
以线段 AB 为直径的圆的方程为

(x ?

x1 ? x2 2 y ? y2 2 1 ) ? (y ? 1 ) ? [( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ] 2 2 4

展开并将(1)代入得:

x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0
故线段 AB 是圆 C 的直径 (II)解法 1:设圆 C 的圆心为 C(x,y),则

x1 ? x2 ? ?x ? 2 ? ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2

? y12 ? 2 px1, y22 ? 2 px2 ( p ? 0)

? x1 x2 ?
又因

y12 y2 2 4 p2

x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0

? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2
y12 y2 2 ?? y1 ? y2 ? 4 p2

? x1 ? x2 ? 0,? y1 ? y2 ? 0

? y1 ? y2 ? ?4 p2
x? x1 ? x2 yy 1 1 ? ( y12 ? y2 2 ) ? ( y12 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ) ? 1 2 2 4p 4p 4p

?

1 2 ( y ? 2 p2 ) p
2 2

所以圆心的轨迹方程为 y ? px ? 2 p

设圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则

1 2 ( y ? 2 p2 ) ? 2 y | | x ? 2y | | y 2 ? 2 py ? 2 p 2 | p d? ? ? 5 5 5p |

?

| ( y ? p) 2 ? p 2 | 5p

p p 2 5 ? 5 当 y=p 时,d 有最小值 5 ,由题设得 5
?p ? 2.
解法 2: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则

x1 ? x2 ? ?x ? 2 ? ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2

? y12 ? 2 px1, y22 ? 2 px2 ( p ? 0)

? x1 x2 ?
又因

y12 y2 2 4 p2

x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0

? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2
y12 y2 2 ?? y1 ? y2 ? 4 p2

? x1 ? x2 ? 0,? y1 ? y2 ? 0

? y1 ? y2 ? ?4 p2
x? x1 ? x2 yy 1 1 ? ( y12 ? y2 2 ) ? ( y12 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ) ? 1 2 2 4p 4p 4p

?

1 2 ( y ? 2 p2 ) p
2 2

所以圆心的轨迹方程为 y ? px ? 2 p

2 5 设直线 x-2y+m=0 到直线 x-2y=0 的距离为 5 ,则
m ? ?2
因为 x-2y+2=0 与 y ? px ? 2 p 无公共点,
2 2

所以当 x-2y-2=0 与 y ? px ? 2 p 仅有一个公共点时,该点到直线 x-2y=0 的距离最小值为
2 2

2 5 5
? x ? 2 y ? 2 ? 0? (2) ? 2 2 ? y ? px ? 2 p ? (3)
将(2)代入(3)得 y ? 2 py ? 2 p ? 2 p ? 0
2 2

?? ? 4 p2 ? 4(2 p2 ? 2 p) ? 0
?p?0 ? p ? 2.
解法 3: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则

x1 ? x2 ? ?x ? 2 ? ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2
圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则

x1 ? x2 ? ( y1 ? y2 ) | 2 d? 5 |

? y12 ? 2 px1, y22 ? 2 px2 ( p ? 0)
? x1 x2 ?
又因

y12 y2 2 4 p2

x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0

? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2
?? y1 ? y2 ? y12 y2 2 4 p2

? x1 ? x2 ? 0,? y1 ? y2 ? 0

? y1 ? y2 ? ?4 p2
1 ( y12 ? y2 2 ) ? ( y1 ? y2 ) | | y 2 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ? 4 p( y1 ? y2 ) ? 8 p 2 | 4p ?d ? ? 1 5 4 5p |

?

( y1 ? y2 ? 2 p)2 ? 4 p 2 4 5p

p p 2 5 ? y ? y2 ? 2 p 时,d 有最小值 5 ,由题设得 5 5 当 1
?p ? 2.

??? ? ??? ? ??? ? P( x, y) ,则 AP ? (x , y ?1) , BP ? ( x, y ? 1) , PC ? (1 ? x, y) .因 22. (1)设动点坐标为
为 AP ? BP ? k | PC | ,所以
2

x2 ? y 2 ?1 ? k[( x ?1)2 ? y 2 ] . (1 ? k ) x2 ? (1 ? k ) y 2 ? 2kx ? k ?1 ? 0 .

若 k ? 1 ,则方程为 x ? 1 ,表示过点(1,0)且平行于 y 轴的直线.

若 k ? 1 ,则方程化为 半径的圆.

(x ?

1 k 2 1 2 k ) ? y2 ? ( ) ( , 0) 1? k 1 ? k .表示以 k ? 1 为圆心,以 |1 ? k | 为

(2)当 k ? 2 时,方程化为 ( x ? 2) ? y ? 1,
2 2

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 2 2 2 AP ? BP ? (3x,3y ?1) ,所以 | 2 AP ? BP |? 9 x ? 9 y ? 6 y ? 1 . 因为

??? ??? ? ? x2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ,所以 | 2 AP ? BP |? 36x ? 6 y ? 26 . 又
因为 ( x ? 2) ? y ? 1,所以令 x ? 2 ? cos ? , y ? sin ? ,
2 2

则 36x ? 6 y ? 26 ? 6 37 cos(? ? ?) ? 46 ?[46 ? 6 37, 46 ? 6 37] .

??? ??? ? ? | 2 AP ? BP | 的最大值为 46 ? 6 37 ? 3 ? 37 , 所以
最小值为

46 ? 6 37 ? 37 ? 3 .


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