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高考数学(文科)压轴大题突破练(直线与圆锥曲线【2】)(含答案)


压轴大题突破练——直线与圆锥曲线(二) 1.如图,已知点 A(1, 2)是离心率为 2 x2 y2 的椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)上的 2 b a 一点,斜率为 2的直线 BD 交椭圆 C 于 B、D 两点,且 A、B、D 三点互不 重合. (1)求椭圆 C 的方程; (2)△ABD 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在, 请说明理由.

(3)求证:直线 AB、AD 的斜率之和为定值. c 2 1 2 (1)解 由题意,可得 e= = , 2+ 2=1,a2=b2+c2, a 2 b a 解得 a=2,b= 2,c= 2, x2 y2 所以椭圆 C 的方程 + =1. 2 4 (2)解 设直线 BD 的方程为 y= 2x+m,D(x1,y1),B(x2,y2), ?y= 2x+m, 由? 2 2 得 4x2+2 2mx+m2-4=0, ?2x +y =4, 所以 Δ=-8m2+64>0?-2 2<m<2 2, x1+x2=- x1x2= 2 m,① 2 m2-4 .② 4 6 · 8-m2. 2 所以|BD|= 1+? 2?2|x1-x2|= 设 d 为点 A 到直线 BD:y= 2x+m 的距离, 所以 d= |m| . 3 1 2 所以 S△ABD= |BD|· d= · ?8-m2?m2≤ 2,当且仅当 8-m2=m2,即 m=± 2 时取等号. 2 4 因为± 2∈(-2 2,2 2),所以当 m=± 2 时,△ABD 的面积最大,最大值为 2. (3)证明 设直线 AB、AD 的斜率分别为 kAB、kAD, 则 kAD+kAB= y1- 2 y2- 2 2x1+m- 2 2x2+m- 2 x1+x2-2 + = + =2 2+m· , (*) x1-1 x2-1 x1-1 x2-1 x1x2-?x1+x2?+1 将(2)中①、②式代入(*)式, 整理得 2 2+m? ? x1+x2-2 ?=0, ? ?x1x2-?x1+x2?+1? 即 kAB+kAD=0(定值). 2.在平面直角坐标系 xOy 中,动点 M 到两定点 F1(0,- 3),F2(0, 3)的距离之和为 4,设 动点 M 的轨迹为曲线 C.已知直线 l 与曲线 C 交于 A(x1, y1), B(x2, y2)两点, 向量 m=(2x1, y1), n=(2x2,y2),且 m⊥n. (1)若直线 l 过曲线 C 的焦点 F(0,c)(c 为半焦距),求直线 l 的斜率 k 的值; (2)△AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由. 解 (1)由题意知,|MF1|+|MF2|=4>|F1F2|=2 3, 根据椭圆的定义,知动点 M 的轨迹是以 F1(0,- 3),F2(0, 3)为焦点,长轴长为 4 的椭圆, y2 x2 设该椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 则 a=2,c= 3,∴a2=4,c2=3,b2=a2-c2=1, y2 ∴曲线 C 的方程为 +x2=1. 4 ? ?y=kx+ 3 设 l 的方程为 y=kx+ 3,由?y2 2 ,消去 y 得, ? 4 +x =1 ? (k2+4)x2+2 3kx-1=0,Δ=(2 3k)2+4(k2+4)>0, -2 3k -1 且 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . k +4 k +4 ∵m⊥n,∴m· n=0, -1 ∴ 4x1x2 +y1y2 = 4x1x2+ (kx1+ 3)(kx2 + 3) = (4 +k2)x

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