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第9章-9.3(15-1)2012-12-10(2学时)


第9章

内容
§9.1 质点系的动量和动量矩 §9.2 质点系的动量和动量守恒定律 §9.3 质点系的质心运动定理 §9.4 质点系的动量矩定理 §9.5 质点系的动量矩定理守恒定律 §9.6 动量原理在碰撞问题中的应用

第9.3节

§9.3

质点系的质心运动定理
<

br />质心运动定理 质心运动守恒定律

9.3.1

质心运动定理

( maC = FRe ) —质心运动定理: 质系的质量与质心加速度的
乘积等于作用于质系上外力主向量
( ? ma C t = FRte ) ? (e ma C n = FRn ) ? ? (e 0 = FRb ) ?
e ?maCx = FR(x ) ? e maCy = FR(y ) ? ? e maCz = FR(z ) ?

dp ( = FRe ) dt
( m = const)

? m xC = F ? ? e m y C = F R( y ) ? ? e m z C = F R( z ) ? ?

(e ) Rx

? msC = F ? ? 2 (e msC / ρ = FRn) ? ? (e 0 = FRb) ? ?

(e) Rt

p = mvC

( maC = FRe )
(e ) R

n个刚体组成的系统

∑ma
i =1 i

n

Ci

=F

式中mi :第i个刚体 a 的质量;Ci :第i个刚 体质心的加速度

9.3.2

质心运动守恒定律

质心运动守恒定律
( ? FRe) ≡ 0 ? ? ? vC t = t 0 = 0 ?
(e ? FRx) ≡ 0 ? ? ? vCx t = t0 = 0 ?

rC = 常矢量

∑ m ?r
i =1 i
n i

n

Ci

=0

xC = const

∑m ?x
i =1

Ci

=0

质心运动 守恒定律

mrC = ∑ mi rCi = ∑ mi ( rCi + ? rCi )
i =1 i =1

n

n

∑ m ?r
i =1 i

n

Ci

=0

例题9.8.a

图示系统中,A,B, 三角块的质量分别为mA=2m ,mB=m,mΔ=3m,不计滑 轮质量,接触面均面光滑。 系统静止,当A相对三角块 滑下距离 s 时,求三角块的 速度和位移。
?x ? = 1+ 2 3 s 12
A
B

30

60

x

例题9.8.b

研09(25分)图示系统处于同一铅垂平面内,可沿光滑 水平滑道滑动的质量为m1 = 2m的直杆GH,通过光滑 圆柱铰链A连接一质量为m,长度为 l = 2 3r的均质细 长直杆AB,一刚度系数为 k = 弹簧,其两端分别与杆AB的中点C和杆GH上的点D 相连,且AD = r,系统于图示直立位置处 于平衡状态。因受到微小扰动,杆AB 向右侧倒下,试求杆AB发生60?转角的 瞬时:杆GH的位移和杆AB的 角速度。
1 ?x A = ? r , ω = 2 3 g 5r

3m g ,原长为l0 = 2r的 4r

B C A D

G

H

例题9.9 杆重G,长为l,已知图示瞬时的ω、α,求该瞬时O点的约 束反力。
Fn

解: 已知运动求约束力问题 1o 研究杆OA,受外力如图 2o 运动分析 l l 2 aCt = α , aCn = ω 2 2 2o 动力学分析
l maCt = ∑ Ft , m α = Ft + G sin ? 2 l maCn = ∑ Fn , m ω 2 = Fn ? G cos ? 2

O

O
n aC

Ft
t aC

?

ω ,α

G

A

Ft = ?G sin ? + 1 Glα 2g Fn = G cos ? + 1 Glω 2 2g

例题9.10 电动机机座和定子的质量是 m1,其质心通过O1 。转子的质 量是 m2,因制造和安装误差,其质心O2对转轴有一个很小 的偏心距 O1 O2= e。转子以匀角速度ω转动,电机机座置于 光滑水平基础上未加固定。 试求电机机座法向约束力和电动机外壳的水平运动。
y

FN = (m1 + m2 ) g + m2 eω 2 cos ω t (↑)
ω O1

O mg? 2
1

m2 g
O x

m2 e sin ω t x=? m1 + m2
x

FN

例题9.11

均质圆柱的质量为m,半径r,只能在半径为 R的圆槽内作纯滚,初始 ?=?0 静止。求任意瞬时 圆槽受到的约束力。
FN = mg (7 cos ? ? 4 cos ? 0 ) 3

R

?

α
C

mg Ff = sin ? 3

第9.4节

§9.4

质点系的动量矩定理

质点的动量矩定理 质点系的动量矩定理

9.4.1

质点的动量矩定理

质点对任一点的动量矩定理
d L ( mv ) + v × mv = M ( F ) A A dt A
d rAD d d d × mv + rAD × ( mv ) LA ( mv ) = ( rAD × mv ) = dt dt dt dt d = (v ? v A ) × mv + rAD × ( mv ) dt

= ? v A × mv + rAD × d ( mv ) = ?vA × mv + rAD × ma dt
= ?vA × mv + rAD × F
= ?vA × mv + M A (F )

9.4.1

质点的动量矩定理

质点对固定点的动量矩定理
d L ( mv ) = M ( F ) O dt O
质点对固定点的动量矩定理: 质点对某一固定点的动量矩对时间的一阶导数, 等于作用于其上的合力对同一点的矩.

注意

点O为惯性空间的不动点

9.4.1

质点的动量矩定理

质点对固定点的动量矩定理
? d L ( mv ) = M ( F ) x ? dt x ?d ? ? dt Ly ( mv ) = M y ( F ) ? ? d L ( mv ) = M ( F ) z ? dt z ?
?? d d ? ?? LO (mv ) ? = Lx (mv ) ,i , j , k = 常矢量 ? x dt ?? dt ? ?

d L ( mv ) = M ( F ) O dt O

Oxyz为定系!

LO (mv ) = Lx (mv )i + Ly (mv ) j + Lz (mv )k
MO (F) = Mx (F)i + My (F) j + Mz (F)k

质点对定轴的动量矩对时间的一阶导数等于 定轴 作用于质点的合力对同轴的合力矩

9.4.2

质点系的动量矩定理

质点系对任一点的动量矩定理 d LA (e) + vA × p = M A dt 任意质点 Di ( i = 1, 2,
, n ),其质量为m i



所受外力的合力Fi( e) ,内力的合力 Fi(i)
d L ( m v ) + v × m v = M ( F ( i ) ) + M ( F ( e ) ) ( i = 1, 2, , n ) A i A i A i i dt A i i


i =1

n

? d ? LA ( m i v i ) + v A × m i v i ? = ?dt ? ?
n
n


i =1

n

M A Fi

(

(i)

) + ∑ M (F ( ) )
n e i =1
n

A

i



∑ ( M A Fi ( ) ) = 0
i i =1

d L ( m v ) + vA × p = dt ∑ A i i i =1

∑M
i =1

A

(F( ) ) = M( )
e i

e A

9.4.2

质点系的动量矩定理

质点系对任一点的相对动量矩定理 d LrA (e) = M A + rAC × (?maA ) dt 动系 Ax′y′z′ :与A为同规律平移系
(e) ∵ LA = LrA + rAC × ( mv A ) d LA + v A × p = M A

dt

∴ d ? LrA + rAC × ( mv A ) ? + v A × p = M ? dt ?

(e) A

d (mvA ) d LrA d rAC + × ( m v A ) + rAC × + vA × p = M dt dt dt
d LrA + ( v C ? v A ) × ( m v A ) + rAC × m a A + v A × p = M dt

(e) A

(e) A

9.4.2

质点系的动量矩定理
? d L = M (e) x ? dt x ? d ? L y = M (ye ) ? dt ? ? d L = M (e) z ? dt z ?

质点系对固定点的动量矩定理
d L = M (e) O dt O

注意

点O为惯性空间的不动点 内力不改变质系的动量矩 对平面问题,矢量方程退化为代数方程: d L = M (e) L M 的符号根据转向定. O, O O O

dt

9.4.2

质点系的动量矩定理

质点系对质心 的动量矩定理
d LC d LrC (e) = = MC dt dt

质点系的动量矩定理? 质点系对其质心的动量 矩对时间的一阶导数,等于作用于其上的外力 系对质心的主矩

9.4.2

质点系的动量矩定理

具有质量对称面的一般平面运动刚体的 动量矩定理的表达式
(e) J Aα = M A + rAC × (?maA )

d LrA (e) ∵ = M A + rAC × (?maA ) dt
∵ LrA = J Aω
(e) J Aα = M A + rAC × (?maA )

9.4.2

质点系的动量矩定理

具有质量对称面的一般平面运动刚体的 动量矩定理的表达式
(e) J Aα = M A + rAC × (?maA )

点A取为不动点O
(e) JOα = MO

点A取为质心C
(e) JCα = MC

点A取为速度瞬心P,且速度瞬心P到质心距离始终不变
(e) J Pα = M P

点A取为加速度瞬心P*

(e) J P? α = M P?

9.4.2

质点系的动量矩定理

刚体的运动微分方程
(e ? mxC = FRx ) ? ? (e myC = FRy ) 平移 ? ? (e mzC = FRz ) ? ?

(e) JO? = MO 转动

(e ? mxC = FRx ) 平面 ? my = F (e ) ? C Ry 运动 ? (e ) ? J C? = M C

本章作业
第一次, P378 :9.1(b) 第二次, P378 :9.2(a) ,9.5 ,9.8 第三次, P380 :9.11 ,9.13,9.14 9.13,


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