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第23课时解析几何中的定点定值问题(1)


埭头中学 2013 届高三数学备课组

成功与失败最终取决于意志的较量,谁能坚持到最后谁就能成功!

主备:徐锡华

第 23 课时

解析几何中的定点定值问题(1)

所以 C (?4, 0) 到 FG 的距离为 d ?

15 , 2
2

>
……………………………………7 分 ……………………………9 分

一.高考要求:定点、定值与最值问题历来是高考的重点,又是高考的热点问题,常考常新. 二.课前预习:
1.已知直线 l1 : x ? ay ? 6 ? 0和l2 : (a ? 2) x ? 3 y ? 2a ? 0, 则l1 // l2 的充要条件是 a= .

直线 FG 被圆 C 截得的弦长为 2 16 ? ( 15 2) ?7 (Ⅲ)设 P(s,t),G(x0,y0),则由

2 | GF | 1 ( x0 ? 6) 2 ? y0 1 ? ,得 | GP | 2 ( x0 ? s ) 2 ? ( y0 ? t ) 2 2

2. 若 直 线 l : y ? kx ? 3 与 直 线 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 的 交 点 位 于 第 一 象 限 , 则 l 的 倾 斜 角 的 取 值 范 围 ______ . 3.若直线 y ? x ? m 和曲线 y ? 1 ? x 仅有一公共点,则 m 的取值范围是
2
2 2

整理得 3(x02+y02)+(48+2s)x0+2ty0+144-s2-t2=0. ① ………………11 分 2 2 2 2 又 G(x0,y0)在圆 C:(x+4) +y =16 上,所以 x0 +y0 +8x0=0 ② ②代入①,得(2s+24)x0+2ty0+144-s2-t2=0. ……………………………………13 分 又由 G(x0,y0)为圆 C 上任意一点可知, ?2t ? 0
?2 s ? 24 ? 0 ? ?144 ? s 2 ? t 2 ? 0 ?

…………………………14 分



4.若圆 x ? y ? 4x ? 4 y ?10 ? 0 上至少有三个不同点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 ,则直线 l 的斜率的取值范围是 .

解得:s= -12, t=0. …………………………………………………………………15 分 所以在平面上存在一定点 P,其坐标为(-12,0) . …………

三.例题讲解
x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F ,左准线与 x 轴的交点是圆 C 的圆心, 24 12

例 2: (南通市 2013 届高三期末)已知左焦点为 F(-1,0)的椭圆过点 E(1, 2 3 ).过点 P(1,1)分别作 3 斜率为 k1,k2 的椭圆的动弦 AB,CD,设 M,N 分别为线段 AB,CD 的中点. (1)求椭圆的标准方程; (2)若 P 为线段 AB 的中点,求 k1; (3)若 k1+k2=1,求证直线 MN 恒过定点,并求出定点坐标. 解:依题设 c=1,且右焦点 F ? (1,0).
? ? 所以,2a= EF ? EF ? = (1 ? 1) 2 ? ? 2 3 ? ? 2 3 ? 2 3 ,b2=a2-c2=2, 3 3 ? ?
2 y2 ?1. 故所求的椭圆的标准方程为 x ? 3 2
2

例 1:已知双曲线 E :

圆 C 恰好经过坐标原点 O ,设 G 是圆 C 上任意一点. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 FG 与直线交于点 T ,且 G 为线段 FT 的中点,求直线 FG 被圆 C 所截得的弦长; GF 1 (Ⅲ) 在平面上是否存在定点 P , 使得对圆 C 上任意的点 G 有 求出点 P 的坐标; ? ?若存在, GP 2 若不存在,请说明理由. x2 y 2 ? 1 ,得: x ? ?4 , C (?4, 0) , F (?6, 0) .……2 分 解: (Ⅰ)由双曲线 E: ? 24 12 又圆 C 过原点,所以圆 C 的方程为 ( x ? 4) ? y ? 16 .
2 2 2 2

……………………4 分

………………………………4 分

(Ⅱ)由题意,设 G (?5, yG ) ,代入 ( x ? 4) ? y ? 16 ,得 yG ? ? 15 ,…………5 分 所以 FG 的斜率为 k ? ? 15 , FG 的方程为 y ? ? 15( x ? 6) .………………6 分

(2)设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),则 ②-①,得

x12 y12 x2 y 2 ? ? 1 ①, 2 ? 2 ? 1 ②. 3 2 3 2

( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ) ( y 2 ? y1 )( y 2 ? y1 ) ? ? 0. 3 2

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所以,k1=

y2 ? y1 2( x2 ? x1 ) 4x ?? ?? P ??2 . x2 ? x1 3( y2 ? y1 ) 6 yP 3

……………………………9 分

的焦距为 2,且过点 ( 2 , (1) (2)

6 ). 2

(3)依题设,k1≠k2. 设 M( xM , yM ),直线 AB 的方程为 y-1=k1(x-1),即 y=k1x+(1-k1),亦即 y=k1x+k2, 代入椭圆方程并化简得 于是, xM ? 同理, xN ?
2 (2 ? 3k12 ) x 2 ? 6k1k2 x ? 3k2 ? 6 ? 0.

求椭圆 E 的方程; 若点 A , B 分别是椭圆 E 的左、右顶点,直线 l 经过点 B 且垂直于 x 轴,点 P 是椭圆上异于 A ,

B 的任意一点,直线 AP 交 l 于点 M .
(ⅰ)设直线 OM 的斜率为 k 1 , 直线 BP 的斜率为 k 2 ,求证: k 1 k 2 为定值; (ⅱ)设过点 M 垂直于 PB 的直线为 m . 求证:直线 m 过定点,并求出定点的坐标.

?3k1k2 2k 2 , yM ? . 2 2 ? 3k1 2 ? 3k12 ?3k1k2 2k1 , yN ? . 2 2 2 ? 3k2 2 ? 3k2

………………………………11 分

y P A
O

M

当 k1k2≠0 时, 直线 MN 的斜率 k=
2 4 ? 6(k2 ? k2 k1 ? k12 ) 10 ? 6k2 k1 yM ? y N = .………………13 分 ? ?9k2 k1 (k2 ? k1 ) xM ? xN ?9k2 k1

B
x
l

2k 2 10 ? 6k2 k1 ?3k1k2 ? (x ? ), 直线 MN 的方程为 y ? 2 ? 9 k k 2 ? 3k1 2 ? 3k12 2 1

m

即 亦即

y?

10 ? 6k2 k1 10 ? 6k 2 k1 3k1k 2 2k 2 x?( ? ? ), 2 ?9k2 k1 ?9k2 k1 2 ? 3k1 2 ? 3k12
10 ? 6k2 k1 x? 2 . ?9k2 k1 3

y?

⑴由题意得 2c ? 2 ,所以 c ? 1 ,又

此时直线过定点 (0, ? 2 ) . ………………………………………………………15 分 3 当 k1k2=0 时,直线 MN 即为 y 轴,此时亦过点 (0, ? 2 ) . 3 综上,直线 MN 恒过定点,且坐标为 (0, ? 2 ) . 3 ……………………………16 分

2 3 + 2 ? 1 ,…………………………………2 分 2 a 2b 1 消去 a 可得, 2b4 ? 5b2 ? 3 ? 0 ,解得 b2 ? 3 或 b2 ? ? (舍去) ,则 a 2 ? 4 , 2 2 2 x y ? ? 1 .……………………………………………………4 分 所以椭圆 E 的方程为 4 3
⑵(ⅰ)设 P( x1 , y1 )( y1 ? 0) , M (2, y0 ) ,则 k1 ?

五.巩固练习及作业:
1.已知圆 C : x ? ( y ?1) ? 5 ,直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0
2 2

y1 y0 , k2 ? , x1 ? 2 2

因为 A, P, B 三点共线,所以 y0 ?

y0 y1 4 y12 4 y1 ? , 所以, k1k2 ? ,8 分 x1 ? 2 2( x1 ? 2) 2( x12 ? 4)

(1) 求证:对 m ? R ,直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点 A、B; (2) 求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程,并说明其轨迹是什么曲线; (3) 若定点 P(1,1)满足 PB ? 2 AP ,求直线 l 的方程. 2. (徐州、 淮安、 宿迁市 2013 届高三期末) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 E :
x2 a2 ? y2 b2 ? 1(a ? b ? 0)

因为 P( x1 , y1 ) 在椭圆上,所以 y12 ? (4 ? x12 ) ,故 k1k2 ?

3 4

4 y12 3 ? ? 为定值.10 分 2 2( x1 ? 4) 2

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(ⅱ)直线 BP 的斜率为 k2 ?

y1 2 ? x1 ,直线 m 的斜率为 km ? , x1 ? 2 y1

y0+1 . x0

………………2 分

又点 P 在椭圆上,所以 则直线 m 的方程为 y ? y0 ?

2 ? x1 ( x ? 2) ,…………………………………………12 分 y1

x0 2 ? y0 2 ? 1 (x0≠0) ,从而有 4

y?

2 ? x1 2( x12 ? 4) ? 4 y12 2 ? x1 2 ? x1 2(2 ? x1 ) 4 y1 ( x ? 2) ? y0 ? x? ? ? x? y1 y1 y1 x1 ? 2 y1 ( x1 ? 2) y1

y0-1 y0+1 y02-1 1 k1·k2= . = =- . ………………4 分 x0 x0 x02 4 (2)由题设可以得到直线 AP 的方程为 y-1=k1(x-0),直线 PB 的方程为 y-(-1)=k2(x-0).

?

2 ? x1 2( x12 ? 4) ? 12 ? 3x12 2 ? x1 2 ? x1 2 ? x1 x? ( x ? 1) , x? = = y1 y1 y1 y1 ( x1 ? 2) y1
………………………………………………………16 分

所以直线 m 过定点 (?1,0) .

3 ? ? y ? 1 ? k1x ?x ? ? ,解得 ? k1 ; y ? ? 2 ? ? ? y ? ?2 1 ? ? y ? 1 ? k2 x ?x ? ? 由? ,解得 ? k2 . ? y ? ?2 ? ? y ? ?2
由? 所以,直线 AP 与直线 l 的交点 N (?

3. 已 知 F1 (?c , 0 ) , F2 (c,0) ( c ? 0 ) 是 椭 圆 的 两 个 焦 点 , O 为 坐 标 原 点 , 圆 M 的 方 程 是

5 9c 2 ( x ? c)2 ? y 2 ? . 4 16

(1)若 P 是圆 M 上的任意一点,求证:

| PF1 | 是定值; | PF2 |

3 1 , ?2) ,直线 PB 与直线 l 的交点 M (? , ?2) . k1 k2
………………7 分

(2)若椭圆经过圆上一点 Q ,且 cos ?F1QF2 ?

3 ,求椭圆的离心率; 5

3 1 1 于是 MN ?| ? | ,又 k1·k2=-4,所以 k1 k2

34 (3)在(2)的条件下,若 | OQ | = ,求椭圆的方程. 2 x2 4.在平面直角坐标系 xOy 中,如图,已知椭圆 C: +y2=1 的上、下顶点分别为 A、B,点 P 错误!未 4 找到引用源。错误!未找到引用源。在椭圆 C 上且异于点 A、B 错误!未找到引用源。 ,直线 AP、PB 与 错误!未找到引用源。直线 l:y=-2 分别交于点 M、N. (1)设直线 AP、PB 的斜率分别为 k1,k2,错误!未找到引用源。求证:k1·k2 错误!未找到引用 源。为定值; (2)求线段 MN 长的最小值; (3)当点 P 运动时,以 MN 为直径的圆是否经过某定点?请证明你的结论.
y A O x

MN ?|

3 3 3 ? 4k1 |? ? 4 | k1 | ≥2 ? 4 | k1 | =4 3, k1 | k1 | | k1 |
3 3 . ? 4 | k1 | ,解得 k1 ? ? 2 | k1 |

[来源:学科网]

等号成立的条件是

………………10 分 → → ( 3 ) 设 点 Q(x,y) 是 以 MN 为 直 径 的 圆 上 的 任 意 一 点 , 则 QM · QN = 0 , 故 有 3 1 ( x ? )( x ? ) ? ( y ? 2)( y ? 2) ? 0 . k1 k2 故线段 MN 长的最小值是 4 3. 又 k1 ? k2 ? ?

P M

x2 18. 解: (1)由题设 +y2=1 可知,点 A(0,1), 4 令 P(x0,y0),则由题设可知 x0≠0. y0-1 所以,直线 AP 的斜率 k1= ,PB 的斜率为 x0

B N

1 ,所以以 MN 为直径的圆的方程为 4 3 x 2 ? ( y ? 2)2 ? 12 ? ( ? 4k1 ) x ? 0 . k1
,解得 ?

………………13 分 .

B(0,-1).

令?

?x ? 0
2 2 ? x ? ( y ? 2) ? 12 ? 0

?x ? 0 ? y ? ?2 ? 2 3

或?

?x ? 0 ? y ? ?2 ? 2 3

(第 18 题) k2 =

所以,以 MN 为直径的圆恒 过定点 (0,?2 ? 2 3) (或点 (0,?2 ? 2 3) ) . ………………16 分

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注:写出一点的坐标即可得分.


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