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2011年高考新课标全国卷


2011 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.已知集合 M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M ? N ,则 P 的子集共有 A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个 2.复数

5i ? 1 ? 2i A.

2 ? i C. ?2 ? i

B. 1 ? 2 i D. ?1 ? 2i

3.下列函数中,既是偶函数又在 (0, ??) 单调递增的函数是 A . y ? x3 C. y ? ? x 2 ? 1 B. y ?| x | ?1 D. y ? 2?|x|

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 4.椭圆 16 8
A.

1 3

B.

1 2

C.

3 3

D.

2 2

5.执行右面的程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的 p 是 A.120 B. 720 C. 1440 D. 5040 6.有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同, 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为

1 3 2 C. 3
A.

1 2 3 D. 4
B.

7.已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y ? 2 x 上,则 cos 2? = A. ?

4 5

B. ?

3 5

C.

3 5

D.

4 5

8.在一个几何体的三视图中,正视图与俯视图如右图所示,则相应的侧 视图可以为

9.已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点, | AB |? 12 ,P 为 C 的准线上一点,则 ?ABP 的面积为 A.18 B.24
x

C. 36

D. 48

10.在下列区间中,函数 f ( x) ? e ? 4 x ? 3 的零点所在的区间为 A. (? ,0)

1 4

B. (0, )

11.设函数 f ( x) ? sin(2 x ? A. y ? f ( x) 在 (0, B. y ? f ( x) 在 (0, C. y ? f ( x) 在 (0, D. y ? f ( x) 在 (0,

?

1 4

C. ( , )

?
? ?
2

) ? cos(2 x ? ) ,则 4 4

?

1 1 4 2

D. ( , )

1 3 2 4

) 单调递增,其图象关于直线 x ?
) 单调递增,其图象关于直线 x ? ) 单调递减,其图象关于直线 x ? ) 单调递减,其图象关于直线 x ?

?

? ?

4

对称 对称 对称 对称

2 2 2

2 4 2

?

?

2 12.已知函数 y ? f ( x) 的周期为 2,当 x ?[?1,1] 时 f ( x) ? x ,那么函数 y ? f ( x) 的图象与函数

y ?| lg x | 的图象的交点共有
A.10 个 B.9 个 C.8 个 D.1 个

二、填空题 :本大题共 4 小题, 每小题 5 分. 13. 已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量, k 为实数, 若向量 a+b 与向量 ka-b 垂直, 则 k=_____________. 14.若变量 x,y 满足约束条件 ?

?3 ? 2 x ? y ? 9 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值是_________. ?6 ? x ? y ? 9

15. ?ABC 中, B ? 120?, AC ? 7, AB ? 5 ,则 ?ABC 的面积为_________. 16.已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是 这个球面面积的

3 ,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________. 16

三、解答题:解答应写文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)

1 1 ,公比 q ? . 3 3 1 ? an (I) Sn 为 {an} 的前 n 项和,证明: S n ? 2
已知等比数列 {an} 中, a1 ? (II)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ?

? log3 an ,求数列 {bn} 的通项公式.

18. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, ?DAB ? 60? , AB ? 2 AD , PD ? 底面 ABCD. (I)证明: PA ? BD ; (II)设 PD=AD=1,求棱锥 D-PBC 的高.

19. (本小题满分 12 分) 某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各生产了 100 件这种产 品,并测量了每产品的质量指标值,得到时下面试验结果: A 配方的频数分布表 指标值分组 频数 指标值分组 频数 [90,94) 8 [90,94) 4 [94,98) 20 [94,98) 12 [98,102) 42 B 配方的频数分布表 [98,102) 42 [102,106) 32 [106,110] 10 [102,106) 22 [106,110] 8

(I)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (II)已知用 B 配方生产的一种产品利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为

? ?2, t ? 94 ? y ? ? 2,94 ? t ? 102 ? 4, t ? 102 ?
估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率,并求用 B 配方生产的上述 100 件产品平均 一件的利润.

20. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y ? x2 ? 6 x ? 1与坐标轴的交点都在圆 C 上. (I)求圆 C 的方程; (II)若圆 C 与直线 x ? y ? a ? 0 交于 A,B 两点,且 OA ? OB, 求 a 的值.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

a ln x b ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 . x ?1 x ln x . x ?1

(I)求 a,b 的值; (II)证明:当 x>0,且 x ? 1 时, f ( x ) ?

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答是用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,D,E 分别为 ?ABC 的边 AB,AC 上的 点,且不与 ?ABC 的顶点重合.已知 AE 的长为 m, AC 的长为 n,AD,AB 的长是关于 x 的方程

x 2 ? 14 x ? mn ? 0 的两个根.
(I)证明:C,B,D,E 四点共圆; (II)若 ?A ? 90? ,且 m ? 4, n ? 6, 求 C,B, D,E 所在圆的半径.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? 点满足 OP ? 2OM ,点 P 的轨迹为曲线 C2 . (I)求 C2 的方程; (II)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|.

? x ? 2cos ? ,M 为 C1 上的动点,P (? 为参数) ? y ? 2 ? 2sin ?

?
3

与 C1 的异于极点的交点为

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? a | ?3x ,其中 a ? 0 . (I)当 a=1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集. (II)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为{x| x ? ?1} ,求 a 的值.

2011 年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学试卷参考答案
一、选择题 (1)B (7)B 二、填空题 (13)1 三、解答题 (17)解: (Ⅰ )因为 a n ? (14)-6 (15) (2)C (8)D (3)B (9)C (4)D (10)C (5)B (11)D (6)A (12)A

15 3 4

(16)

1 3

1 1 n ?1 1 ?( ) ? n . 3 3 3 1 1 1 (1 ? n ) 1 ? n 3 ? 3 , Sn ? 3 1 2 1? 3

所以 S n ?

1 ? an , 2

(Ⅱ ) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 an

? ?(1 ? 2 ? ? ? n)
?? n( n ? 1) 2

所以 {bn } 的通项公式为 bn ? ? (18)解:

n(n ? 1) . 2

(Ⅰ )因为 ?DAB ? 60?, AB ? 2 AD , 由余弦定理得 BD ? 3 AD

从而 BD2+AD2= AB2,故 BD ? AD 又 PD ? 底面 ABCD,可得 BD ? PD 所以 BD ? 平面 PAD. 故 PA ? BD (Ⅱ )如图,作 DE ? PB,垂足为 E。已知 PD ? 底面 ABCD,则 PD ? BC。由(Ⅰ )知 BD ? AD, 又 BC//AD,所以 BC ? BD。 故 BC ? 平面 PBD,BC ? DE。 则 DE ? 平面 PBC。 由题设知,PD=1,则 BD= 3 ,PB=2,

根据 BE· PB=PD· BD,得 DE=

3 , 2

即棱锥 D—PBC 的高为 (19)解

3 . 2
22 ? 8 =0.3 ,所以用 A 配方生产的 100

(Ⅰ )由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质的频率为 产品的优质品率的估计值为 0.3。 由试验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 产品的优质品率的估计值为 0.42

32 ? 10 ? 0.42 ,所以用 B 配方生产的 100

(Ⅱ )由条件知用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 当且仅当其质量指标值 t≥94,由试验结果 知,质量指标值 t≥94 的频率为 0.96,所以用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率估计值 为 0.96. 用 B 配方生产的产品平均一件的利润为

1 ? (4 ? (?2) ? 54 ? 2 ? 42 ? 4) ? 2.68 (元) 100
(20)解:

(Ⅰ )曲线 y ? x 2 ? 6x ? 1 与 y 轴的交点为 (0,1),与 x 轴的交点为 ( 3 ? 2 2,0), (3 ? 2 2,0). 故可设 C 的圆心为(3,t),则有 32 ? (t ? 1) 2 ? (2 2 ) 2 ? t 2 , 解得 t=1.
2 2 则圆 C 的半径为 3 ? (t ? 1) ? 3.

所以圆 C 的方程为 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9. (Ⅱ )设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),其坐标满足方程组:

? ? x ? y ? a ? 0, ? 2 2 ? ?( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9.
消去 y,得到方程

2x 2 ? (2a ? 8) x ? a 2 ? 2a ? 1 ? 0.
由已知可得,判别式 ? ? 56 ? 16a ? 4a ? 0.
2

因此, x1, 2 ?

(8 ? 2a) ? 56 ? 16a ? 4a 2 4
a 2 0 ? 2a ? 1 2

, 从而

x1 ? x2 ? 4 ? a, x1 x2 ?



由于 OA⊥ OB,可得 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0, 又 y1 ? x1 ? a, y 2 ? x2 ? a, 所以

2x1 x2 ? a( x1 ? x2 ) ? a 2 ? 0.
由① ,② 得 a ? ?1 ,满足 ? ? 0, 故 a ? ?1. (21)解:



(Ⅰ ) f '( x) ?

?(

x ?1 ? ln x) b x ? 2 2 ( x ? 1) x

? f (1) ? 1, 1 ? 由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率为 ? ,且过点 (1,1) ,故 ? 1 即 2 f '(1) ? ? , ? ? 2
?b ? 1, ? ?a 1 ?b ? ? , ? ?2 2
(Ⅱ )由(Ⅰ )知 f ( x) ? 解得 a ? 1 , b ? 1 。

ln x 1 ? ,所以 x ?1 x

x2 ?1 ln x 1 f ( x) ? ? (2 ln x ? ) x ?1 1? x2 x
考虑函数 h( x) ? 2ln x ?

x2 ?1 x

( x ? 0) ,则

2 2 2 2 x ? ( x ? 1) ( x ? 1) 2 h?( x) ? ? ? ? x x2 x2

所以当 x ? 1 时, h?( x) ? 0, 而h(1) ? 0, 故 当 x ? (0,1) 时, h( x) ? 0, 可得

1 h( x) ? 0; 1? x2 1 h( x) ? 0; 1? x2

当 x ? (1,??) 时, h( x) ? 0, 可得

从而当 x ? 0, 且x ? 1, f ( x) ? (22)解:

ln x ln x ? 0, 即f ( x) ? . x ?1 x ?1

(I)连接 DE,根据题意在△ ADE 和△ ACB 中, AD× AB=mn=AE× AC,



AD AE ? .又∠ DAE=∠ CAB,从而△ ADE∽ △ ACB AC AB

因此∠ ADE=∠ ACB 所以 C,B,D,E 四点共圆。 (Ⅱ )m=4, n=6 时,方程 x2-14x+mn=0 的两根为 x1=2,x2=12. 故 AD=2,AB=12. 取 CE 的中点 G,DB 的中点 F,分别过 G,F 作 AC,AB 的垂线,两垂线相交于 H 点,连接 DH.因为 C,B,D,E 四点共圆,所以 C,B,D,E 四点所在圆的圆心为 H,半径为 DH. 由于∠ A=900,故 GH∥ AB, HF∥ AC. HF=AG=5,DF= 故 C,B,D,E 四点所在圆的半径为 5 2 (23)解: (I)设 P(x,y),则由条件知 M(

1 (12-2)=5. 2

X Y , ).由于 M 点在 C1 上,所以 2 2

?x ? ? 2 ? 2 cos? , ? ? ? ? ? ? y ? 2 ? 2 sin ? ? ? ? ?2 ?
从而 C 2 的参数方程为



s ?x ? 4 c o ? ? ? ? ?? ?y ? 4 ? 4s i n

? x ? 4cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? 4 ? 4sin ?
(Ⅱ )曲线 C 1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? 。 射线 ? ? 射线 ? ?

? ?
3 3

与 C 1 的交点 A 的极径为 ? 1 ? 4sin 与 C 2 的交点 B 的极径为 ? 2 ? 8sin

?
?
3 3

, 。

所以 | AB |?| ? 2 ? ?1 |? 2 3 . (24)解: (Ⅰ )当 a ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 2 可化为

| x ?1|? 2 。
由此可得

x ? 3 或 x ? ?1 。

故不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集为

{x | x ? 3 或 x ? ?1} 。
(Ⅱ ) 由 f ( x) ? 0 得

x ? a ? 3x ? 0
此不等式化为不等式组

?x ? a ? ? x ? a ? 3x ? 0
?x ? a ? ? a 即 x? ? ? 4

或?

?x ? a ?a ? x ? 3 x ? 0
?x ? a ? ? a 或 a?? ? ? 2
a 2

因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x | x ? ? 由题设可得 ?

?

a = ?1 ,故 a ? 2 2


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