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全国高中数学联合竞赛模拟(二试)


全国高中数学联合竞赛模拟试题
加试
一、(本题满分 40 分) 在 ?ABC 中, D , E , F 分别为内切圆与边 BC , CA , AB 的切点, L , M , N 分别为边 BC , CA , AB 上高线的中点,证明: DL , EM , FN 三线共点. 二、(本题满分 40 分) 非零整系数多项式 f ( x) ? an x n ? an

?1 x n ?1 ? ? ? a1 x ? a0 有一根 s ? N ? ,若其还 有一实根 r ? (0, s ) ,证明: f ( x) 必有某一项系数不小于 s . 三、(本题满分 50 分)

?1, 存在x ? Z , x 2 ? d (mod p ), p ∣/ d ?d ? ? 2 / a 求证: 定义 ? ? p? ? ? ?? 1, 不存在x ? Z , x ? d (mod p ) .给定 a ? Z且p∣ ? ? ? ∣d ?0, p

? a ? x2 ? ? ? ? p ? ? ? ?1 ,其中 Z p 为模 p 的完全剩余系. x?Z p ? ?
四、(本题满分 50 分) 给定 n, k ? N ? 及 x1 , x2 ,? , xn ? R? .定义如下操作:从一张圆纸片上剪下 n 张较小的圆纸片,且它们与原来的圆纸片的半径之比分别为 x1 , x2 ,? , xn ,并且每 次剪下的圆纸片可以继续进行操作.现有 k 张完全相同的圆纸片,证明:无论如何 进行操作,在已剪下的圆纸片中一定有不少于

(n ? 1)k 张的圆纸片完全相同. 3n


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