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导数经典例题1


经典例题导讲 [例 1]已知 y ? (1 ? cos2x) 2 ,则 y ? ? .

错因:复合函数求导数计算不熟练,其 2 x 与 x 系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错 解为: y ? ? ?2 sin 2 x(1 ? cos 2 x) .

? x 正解:设 y ? u 2 , u ? 1 ? cos 2 x ,则 y? ? yu u? ? 2u(1 ? cos2x)? ? 2u ? (? sin 2x) ? (2x)? x
? 2u ? (? sin 2 x) ? 2 ? ?4 sin 2 x(1 ? cos2 x) ? y ? ? ?4 sin 2 x(1 ? cos 2 x) .

?1 2 ? 2 ( x ? 1)(x ? 1) ? [例 2]已知函数 f ( x) ? ? 判断 f(x)在 x=1 处是否可导? ? 1 ( x ? 1)(x ? 1) ?2 ?

1 1 [(1 ? ?x) 2 ? 1] ? (12 ? 1) 2 错解:? lim 2 ? 1,? f ?(1) ? 1 。 ?x?0 ?x
分析: 分段函数在“分界点”处的导数,须根据定义来判断是否可导 .

1 1 [(1 ? ?x) 2 ? 1] ? (12 ? 1) ?y 2 解: lim ? ? lim? 2 ?1 ?x?0 ?x ?x?0 ?x

∴ f(x)在 x=1 处不可导. 注: ?x ? 0 ? ,指 ?x 逐渐减小趋近于 0; ?x ? 0 ? ,指 ?x 逐渐增大趋近于 0。 点评:函数在某一点的导数,是一个极限值,即 lim
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ,△x→0,包括△x→0+,与△x ?x

?x ?0

→0-,因此,在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时,要验证其左、右极限是否存在且相等, 如果都存在且相等,才能判定这点存在导数,否则不存在导数. [例 3]求 y ? 2x 2 ? 3 在点 P(1,5) 和 Q(2,9) 处的切线方程。 错因:直接将 P , Q 看作曲线上的点用导数求解。 分析:点 P 在函数的曲线上,因此过点 P 的切线的斜率就是 y ? 在 x ? 1 处的函数值; 点 Q 不在函数曲线上,因此不能够直接用导数求值,要通过设切点的方法求切线. 解:? y ? 2 x 2 ? 3,? y ? ? 4 x. ? y ? x?1 ? 4 即过点 P 的切线的斜率为 4,故切线为: y ? 4 x ? 1 .

设过点 Q 的切线的切点为 T ( x0 , y0 ) ,则切线的斜率为 4x 0 ,又 k PQ ?
2 x0 ? 6 ? 4 x 0 ,? 2 x0 2 ? 8x0 ? 6 ? 0. ? x0 ? 1,3 。 x0 ? 2
2

y0 ? 9 , x0 ? 2



即切线 QT 的斜率为 4 或 12,从而过点 Q 的切线为:
y ? 4 x ? 1, y ? 12x ? 15

点评: 要注意所给的点是否是切点.若是,可以直接采用求导数的方法求;不是则需设出切点坐标.
1 图象上的各点处切线的斜率小于 1,并求出其斜率为 0 的切线方程. x 1 分析: 由导数的几何意义知,要证函数 y ? x ? 的图象上各点处切线的斜率都小于 1,只要证它的导函 x

[例 4]求证:函数 y ? x ?

数的函数值都小于 1,因此,应先对函数求导后,再进行论证与求解.
1 1 1 解:(1) y ? x ? ,? y ? ? 1 ? 2 ? 1 ,即对函数 y ? x ? 定义域内的任一 x ,其导数值都小于 1 ,于是由 x x x

导数的几何意义可知,函数 y ? x ? (2)令 1 ?

1 图象上各点处切线的斜率都小于 1. x

1 1 ? 0 ,得 x ? ?1 ,当 x ? 1 时, y ? 1 ? ? 2 ;当 x ? ?1 时, y ? ?2 , 2 1 x 1 的斜率为 0 的切线有两条,其切点分别为 (1,2) 与 (?1,?2) ,切线方程分别为 y ? 2 或 x

? 曲线 y ? x ?
y ? ?2 。

点评: 在已知曲线 y ? f (x) 切线斜率为 k 的情况下,要求其切线方程,需要求出切点,而切点的横坐 标就是 y ? f (x) 的导数值为 k 时的解,即方程 f ?( x) ? k 的解,将方程 f ?( x) ? k 的解代入 y ? f (x) 就可得 切点的纵坐标,求出了切点坐标即可写出切线方程,要注意的是方程 f ?( x) ? k 有多少个相异实根,则所 求的切线就有多少条. [例 5]已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x 3 ? a , x ? ?0,??? ,设 x1 ? 0 ,记曲线 y ? f (x) 在点 M ( x1 , f ( x1 )) 处的切 线为 l . (1)求 l 的方程; (2)设 l 与 x 轴交点为 ( x2 ,0) ,求证: ① x2 ?
1 a3 ;

②若 x1 ?

1 a3

1 ,则 a 3

? x2 ? x1

分析:本题考查导数的几何意义,利用其求出切线斜率,导出切线方程 .

解:(1) f / ( x) ? lim

?y ( x ? ?x) 3 ? a ? x 3 ? a ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

? lim

3x 2 ?x ? 3x(?x) 2 ? (?x) 3 ?x?0 ?x

? lim [3x 2 ? 3x?x ? (?x) 2 ] ? 3x 2
?x?0

? f ?( x1 ) ? 3x12 ? 切线 l 的方程为 y ? f ( x1 ) ? f ?( x1 )(x ? x1 )
即 y ? ( x13 ? a) ? 3x12 ( x ? x1 ) . (2)①依题意,切线方程中令 y=0 得,

②由①知 x 2 ? x1 ?

x13 ? a 3x1
2

,? x 2 ? x1 ? ?

x13 ? a 3x1
2

[例 6]求抛物线 y ? x 2 上的点到直线 x ? y ? 2 ? 0 的最短距离. 分析:可设 P( x, x 2 ) 为抛物线上任意一点,则可把点 P 到直线的距离表示为自变量 x 的函数,然后求函 数最小值即可,另外,也可把直线向靠近抛物线方向平移,当直线与抛物线相切时的切点到直线
x ? y ? 2 ? 0 的距离即为本题所求.

解: 根据题意可知, 与直线 x-y-2=0 平行的抛物线 y=x2 的切线对应的切点到直线 x-y-2=0 的距离最 短,设切点坐标为( ),那么 y ' | x?x0 ? 2x | x?x0 ? 2x0 ? 1 ,∴ x0 ?
1 2

1 1 ? ?2| 7 2 1 1 ? ( , ) ,切点到直线 x-y-2=0 的距离 d ? 2 4 ∴ 切点坐标为 , 8 2 4 2 |
∴ 抛物线上的点到直线的最短距离为

7 2 . 8

2 [例 7]已知曲线 S : y ? ? x 3 ? x 2 ? 4 x 及点 P(0,0) ,求过点 P 的曲线 S 的切线方程. 3

错解: y? ? ?2x 2 ? 2x ? 4 ,? 过点 P 的切线斜率 k ? y? x?0 ? 4 ,? 过点 P 的曲线 S 的切线方程为 y ? 4 x . 错因:曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值,这是导数的几何意义.在此题 中,点 P 凑巧在曲线 S 上,求过点 P 的切线方程,却并非说切点就是点 P ,上述解法对求过点 P 的切线 方程和求曲线在点 P 处的切线方程,认识不到位,发生了混淆. 正解:设过点 P 的切线与曲线 S 切于点 Q( x0 , y0 ) ,则过点 P 的曲线 S 的切线斜率

[例 8]已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? x ? 1 在 R 上是减函数,求 a 的取值范围. 错解: f ?( x) ? 3ax2 ? 6x ? 1, ? f (x) 在 R 上是减函数,? f ?( x) ? 0 在 R 上恒成立,
? 3ax2 ? 6 x ? 1 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,? ? ? 0 ,即 36 ? 12 a ? 0 ,? a ? ?3 .

正解: f ?( x) ? 3ax2 ? 6 x ? 1 ,? f (x) 在 R 上是减函数,? f ?(x) ? 0 在 R 上恒成立,? ? ? 0 且 a ? 0 ,即
36 ? 12 a ? 0 且 a ? 0 ,? a ? ?3 .

[例 9]当 x ? 0 ,证明不等式 证明: f ( x) ? ln( x ? 1) ?

x ? ln(1 ? x) ? x . 1? x

x x , g ( x) ? ln(x ? 1) ? x ,则 f ?( x) ? ,当 x ? 0 时。? f (x) 在 ?0,??? 内 1? x (1 ? x) 2

x ?x ? 0 , g ?( x) ? ? 又 , x ? 0 时,g ?( x) ? 0 , g (x) 在 ?0,??? 当 1? x 1? x x ? ln(1 ? x) ? x 成立. 内是减函数,? g ( x) ? g (0) ,即 ln(1 ? x) ? x ? 0 ,因此,当 x ? 0 时,不等式 1? x x 点评:由题意构造出两个函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? , g ( x) ? ln(x ? 1) ? x .利用导数求函数的单调区间, 1? x

? 是增函数, f ( x) ? f (0) , l( 1 ? x) ? 即n

从而导出 f ( x) ? f (0) 及 g ( x) ? g (0) 是解决本题的关键. [例 10]设工厂到铁路线的垂直距离为 20km,垂足为 B.铁路线上距离 B 为 100km 处有一原料供应站 C,现 要在铁路 BC 之间某处 D 修建一个原料中转车站,再由车站 D 向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路 运费与公路运费之比为 3:5,那么,D 应选在何处,才能使原料供应站 C 运货到工厂 A 所需运费最省? 解 : 设 BD 之间的距离为 x km,则|AD|= x 2 ? 202 ,|CD|= 100 ? x .如果公路运费为 a 元/km,那么铁路运费 为

3a 元/km.故从原料供应站 C 途经中转站 D 到工厂 A 所需总运费 y 5
5

为: y ? 3a (100 ? x ) + a

x2 ? 400 ,( 0 ? x ? 100 ).对该式求导,得

? 3a a (5 x ? 3 x 2 ? 400 ) ax y? = + = ,令 y ? ? 0 ,即得 25 x 2 =9( x 2 ? 400 ),解之得 2 2 5 5 x ? 400 x ? 400

x1 =15, x2 =-15(不符合实际意义,舍去).且 x1 =15 是函数 y 在定义域内的唯一驻点,所以 x1 =15 是函数
y 的极小值点,而且也是函数 y 的最小值点.由此可知,车站 D 建于 B,C 之间并且与 B 相距 15km 处时,运费

最省. 点评: 这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的知识求其最值往往 没有一般方法,即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识,求复合函数的最值就变得非 常简单.一般情况下,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函数为高次多项式函数、简单的分式函数 简单的无理函数、简单的指数、对数函数,或它们的复合函数,均可用导数法求其最值.由此也可见,导数 的引入,大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间. [例 11]函数 f ( x) ? 3x 3 ? 3ax ?1, g ( x) ? f ' ( x) ? ax ? 5 ,其中 f ' ( x) 是 f (x) 的导函数.(1)对满足-1≤ a ≤ 1 的一切 a 的值,都有 g (x) <0,求实数 x 的取值范围; (2)设 a =- m 2 ,当实数 m 在什么范围内变化时,函数 y = f (x) 的图象与直线 y =3 只有一个公共点. 解:(1)由题意 g ? x ? ? 3x2 ? ax ? 3a ? 5 令 ? ? x ? ? ?3 ? x ? a ? 3x2 ? 5 , ?1 ? a ? 1 对 ?1 ? a ? 1 ,恒有 g ? x ? ? 0 ,即 ? ? a ? ? 0
? ? ?1? ? 0 ? ∴? ?? ? ?1? ? 0 ?
?3 x 2 ? x ? 2 ? 0 即? 2 ?3 x ? x ? 8 ? 0

解得 ?

2 ? x ?1 3

? 2 ? 故 x ? ? ? ,1? 时,对满足-1≤ a ≤1 的一切 a 的值,都有 g ? x ? ? 0 . ? 3 ?

(2) f ' ? x ? ? 3x2 ? 3m2 ①当 m ? 0 时, f ? x ? ? x3 ?1 的图象与直线 y ? 3 只有一个公共点 ②当 m ? 0 时,列表:

x
f ' ? x? f ? x?

? ??, m ?
?
?

?m
0

?? m , m ?
?
?

m
0

? m , ?? ?
?
?

极大

极小

∴ f ? x ?极小 ? f ? x ? ? ?2m 2 m ? 1 ? ?1 又∵ f ? x ? 的值域是 R ,且在 ? m , ?? ? 上单调递增 ∴当 x ? m 时函数 y ? f ? x ? 的图象与直线 y ? 3 只有一个公共点.

当 x ? m 时,恒有 f ? x ? ? f ? ? m ? 由题意得 f ? ? m ? ? 3 即 2m 2 m ? 1 ? 2 m ? 1 ? 3
3

解得 m ? ? 3 2, 0 ? 0, 3 2

?

? ?

? ?

综上, m 的取值范围是 ? 3 2, 3 2 . [例 12]若电灯 B 可在桌面上一点 O 的垂线上移动,桌面上有与点 O 距离为 a 的另一点 A,问电灯与点 0 的距离怎样,可使点 A 处有最大的照度?( ?BAO ? ? , BA ? r , 照度与 sin ? 成正比,与 r 2 成反比) 分析:如图,由光学知识,照度 y 与 sin ? 成正比,与 r 2 成反比, 即y?C
sin ? ( C 是与灯光强度有关的常数)要想点 A 处有最 r2

?

大的照度,只需求 y 的极值就可以了. 解:设 O 到 B 的距离为 x ,则 sin ? ? 于是 y ? C
x , r ? x2 ? a2 r

sin ? x ?C 3 ?C 2 r r

x (x
2 3 2 2 ?a )

(0 ? x ? ?) , y ? ? C

a 2 ? 2x 2 (x ?
2 5 2 2 a )

? 0.

当 y ? ? 0 时,即方程 a 2 ? 2 x 2 ? 0 的根为 x1 ? ?
a 2

a 2

(舍)与 x 2 ?

a 2

,在我们讨论的半闭区间 ?0,??? 内,
a 2

所以函数 y ? f (x) 在点

取极大值, 也是最大值。 即当电灯与 O 点距离为
a 2 a 2

时, A 的照度 y 为最大. 点

(0,
y?
y



(

,??)

+ ↗



点评:在有关极值应用的问题中,绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得 f ?(x) =0 且在该点 两侧, f ?(x) 的符号各异,一般称为单峰问题,此时,该点就是极值点,也是最大(小)值点.


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