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必修1课件2.2.1-3对数与对数运算 (三)


§2.2.1-3对数与对数运算 (三)

教学目标:
1.掌握对数的换底公式,并能解决有关的化简、求 值、证明问题; 2.培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能 力、逻辑推理能力.

教学重、难点:
1.换底公式及推论;

2.换底公式的证明和灵活应用.

一、复习引入:

1.重要公式:

1) 负数和零没有对数。 2)

log a 1 ? 0 (a ? 0 , a ? 1)
log a a ? 1 (a ? 0 , a ? 1)
王新敞
奎屯 新疆

3)
4) 5)

a

loga N

? N (a ? 0 , a ? 1, N ? 0)
N

log a a ? N (a ? 0, a ? 1)

一、复习引入: 2.积、商、幂的对数运算法则:

如果 a > 0,且a ? 1,M > 0, N > 0 有:

log a (MN) ? log a M ? log a N (1) M log a ? log a M ? log a N N n log a M ? nlog a M(n ? R) ( 2) (3)

?思考: 利用关系式a b ? N ? b ? loga N证明下式: logm N loga N ? . logm a 证明: 设loga N ? b则有N ? a b
logm N logm a b b logm a ? ? ? ?b logm a logm a logm a

logm N 即证得loga N ? logm a ----这就是对数里很重要的一个公式:

换底公式

二、新授内容:
1.对数换底公式: log m N log a N ? (a ? 0且a ? 1 m ? 0且m ? 1 N ? 0) , , log m a 证明:设 loga N ? x 则a x ? N 两边取以m 为底的对数:

log m a ? logm N ? x log m a ? log m N
x

log m N ?x? log m a

log m N ? log a N ? log m a

2.两个常用的推论:

(1) log a b ? logb a ? 1, log a b ? logb c ? log c a ? 1
n (2) log am b ? log a b(a ? 0且a ? 1,b ? 0) m
n

lg b lg a 证明:(1) log a b ? log b a ? ? ?1 lg a lg b

lg b n lg b n (2) log am b ? ? ? log a b m lg a m lg a m
n

n

三、讲解范例: 例1 已知 log 2 3 ? a, log 3 7 ? b 用 a, b 表示 log 42 56

1 解:? log 2 3 ? a, ? ? log 3 2 又 ? log3 7 ? b a log 3 56 log3 7 ? 3 ? log 3 2 ? log 42 56 ? ? log 3 42 log3 7 ? log3 2 ? 1 3 b? a ? ab ? 3 ? 1 b ? ? 1 ab ? a ? 1 a

例2计算:

(1)
(2)

5

1? log0.2 3

log 4 3 ? log9 2 ? log 1 4 32
2

5 解: 原式 ? log0.2 3 ? (1) ? ? 15 1 1 log 5 5 5 3 3 5 1 1 (2)原式 ? log 2 3 ? log3 2 ? log 2 2 2 2 4 1 5 3 ? ? ? 4 4 2

5

5

例3.设: x, y, z ? (0, ??)且3 ? 4 ? 6
x y

z

1 1 1 ? 1? 求证: ? x 2y z

2? 比较

3x,4 y,6 z

的大小

证明1?:设 3x ? 4 y ? 6 z ? k ? 1(? x, y, z ? (0, ??))

lg k lg k lg k 两边取对数:x ? ,y? ,z ? lg 3 lg 4 lg 6 1 1 lg 3 lg 4 2lg 3 ? lg 4 ? ? ? ? x 2 y lg k 2 lg k 2lg k 2 lg 3 ? 2 lg 2 lg 6 1 ? ? ? 2 lg k lg k z

例3.设: x, y, z ? (0, ??)且3 ? 4 ? 6
x y

z

3x,4 y,6 z lg k lg k lg k 2?由1? x ? ,y? ,z ? lg 3 lg 4 lg 6
2? 比较

1 1 1 ? 1? 求证: ? x 2y z

的大小

3 4 ? 3x ? 4 y ? ( ? ) lg k lg 3 lg 4

? 3x ? 4 y

64 lg k lg lg 64 ? lg 81 81 ? 0 ? lg k ? lg 3lg 4 lg 3lg 4

4 6 lg 36 ? lg 64 又? 4 y ? 6 z ? ( ? ) lg k ? lg k lg 4 lg 6 lg 2 lg 6 9 lg k ? lg 16 ? 0 ? lg 2 lg 6

?4 y ? 6z
? 3x ? 4 y ? 6 z

例4.已知: log a

x ? loga c ? b ,求x.

分析:由于x作为真数,故可直接利用对数定义求解; 另外,由于等式右端为两实数和的形式,b的存在使 变形产生困难,故可考虑将 log a c 移到等式左端,或 者将b变为对数形式. 解法一:由对数定义可知:

x?a

log a c ?b

?a ?a b ? c?a
loga c

b

解法二:由已知移项可得 log a x ? log a c ? b
x 即log a ? b c

x ? ab 即由对数定义知: c
b

?x ? c?a
b

b

? 解法三: b ? log a a

又? log a x ? log a c ? b

? log a c ? a b ? log a x ? log a c ? log a a

?x ? c?a

b

四、课堂练习:

①已知:

log 18 45 log 18 9 ? log 18 5 a ? b log 36 45 ? ? ? log 18 36 1 ? log 18 2 2?a
②若 log8 3 ? p

log18 9 ? a, 18b ? 5 用 a, b 表示 log 36 45.

log3 5 ? q

, 求 lg 5 .

log3 5 log 3 5 3 pq lg 5 ? ? ? log3 10 log3 2 ? log3 5 1 ? 3 pq

小结 本节课学习了以下内容: 1.对数换底公式:

log m N log a N ? (a ? 0且a ? 1,m ? 0且m ? 1,N ? 0) log m a
2.两个常用的推论:

(1) log a b ? logb a ? 1, log a b ? logb c ? log c a ? 1
n (2) log am b ? log a b(a ? 0且a ? 1,b ? 0) m
n


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