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2014全国高中数学联赛辽宁赛区初赛试题


2014 全国高中数学联赛辽宁赛区初赛试题
1、已知 A ? B ? C ? ?a, b, c, d , e, f ?, A ? B ? ?a, b, c, d ? , c ? A ? B ? C ,则符合上述 条件的 ?A, B, C?共有()组 A 100 2、已 知 集 合 B 140 C 180 D 200

S1 ? ?x, y ? | l

og2 1 ? x 2 ? y3 ? 1 ? log2 ?x ? y ?

?

?

?

?

, 并 且 集 合

? ? S 2 ? ??x, y ? | log1 2 ? x 2 ? y 2 ? ?2 ? log1 ?x ? y ?? ,则 S2 与 S1 的面积之比为 2 2 ? ?

?

?

A 2:1

B 4:1

C 6:1

D 8:1

s i a, b, c 的对角依次为 A, B, C , 3、已知 ?ABC 的三边 a, b, c 成等比数列, 则n
取值范围是 A

B?c o s B的

?1 3? ? ,1 ? ? 2 ? ?2

B

?1, 2 ?

C

? 2? ?1,1 ? ? ? 2 ? ?

D

?1 ? , 2? ? ?2 ?

4、 ?ABC 的三个内角为 A, B, C , 若 大值为 A

sin A ? 3 cos A 7? o s C 的最 ? tan ,则 sin 2 B ? 2 c 12 cos A ? 3 sin A
3 2

1 2

B 1

C

D 2

5、正项数列 ?an ? 满足

1 1 1 ? ? ? 1 , n ? N , a1 ? a3 ? 6 , a1 , a2 , a3 单 an an?1 an an? 2 an?1an? 2

调递增且成等比数列, Sn 为 ?an ?的前 n 项和,则 ?S2014 ? 的值是(其中 ?x ? 表示不超过实数 x 的最大整数) A 5368

B 5367

C 5363

D 5362

6、设直线 l 与球 O 有且只有一个公共点 P,从直线 l 出发的两个半平面 ? , ? 截球 O 的两个 截面的半径分别为 1 和 3 ,二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 A

5? ,则球 O 的半径为 6
D

7

B

2 7

C

10

2 10

二、填空题 7、若非零复数 x 满足 x ? 8、不等式
1 1 ? 1 ,则 x 2014 ? 2014 ? 。 x x

?1 ?

4x2 1? 2x

?

2

? 2 x ? 9 的解集为。

9、甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分。比赛进行到 2 有一人比对方多 2 分或者打满 6 局时停止。设甲在每局中获胜的概率为 ,乙 3 1 在每局获胜的概率为 ,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数 ? 的期望 3
E? 为。

10、如 图 所 示 , 在 ?ABC 中 , c o C s?

2 5 , 5

? ? ? ? ? ? AH ? BC ? 0 , AB? ? ? CA? CB ? ? 0 ,则过点 C,以 A、 ? ?

H 为两焦点的双曲线的离心率为。 11、设 A 是 由 任 意 100 个 互 补 相 同 的 正 整 数 组 成 的 集 合 , 令
?a ? B ? ? | a, b ? A且a ? B? , f ? A? 表示集合 B 中元素的个数,则 f ? A? 的最大值与 ?b ?

最小值之和为。 12、抛物线 y ? ax2 ? bx ? 1 的参数 a , b 满足 8a 2 ? 4ab ? b 2 ,则当 a , b 变动时,抛物 线的顶点 ?s, t ? 的轨迹方程为。 三、解答题 13、函数 f ?x ? 的定义域为实数集 R, 已知 x ? 0 时,f ?x ? ? 0 , 并且对任意 m, n ? R , 都有 f ?m ? n? ? f ?m? ? f ?n?。 (I)讨论函数 f ?x ? 的奇偶性以及单调性; (II)设集合 A ? ?x, y ? | f 3x 2 ? f 4 y 2 ? 24 , ??x, y ? | f ?x? ? f ?ay? ? f ?3? ? 0?,
1 ? ? C ? ??x, y ? | f ?x ? ? f y 2 ? f ?a ?? ,且 f ?1? ? 2 ,若 A ? B ? ? ,试求实数 a 的取值 2 ? ?

?

? ? ? ?

?

? ?

范围。 14、如图,锐角 ?ABC 外心为 O,直线 BO 和 CO 分别为边 AC,AB 交于点 B?, C? 。 直线 B?C ? 交 ?ABC 外接圆于点 P,Q。若 AP=AQ,证明 ?ABC 是等腰三角形。 15、已知数列 ?an ?错误!中, a1 ? 2 ,对于任意 q, p ? N ,有 a p?q ? a p ? aq 。 (I)求数列 ?an ?的通项公式;

(II)数列 ?bn ?满足: an ? 求数列 ?bn ?的通项公式;

b bn b1 b b n ?1 ?n ? N ? , ? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? ... ? ?? 1? n 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1

(III)设 Cn ? 3n ? ?bn ?n ? N ? ,是否存在实数 ? ,当 n ? N 时,Cn?1 ? Cn 恒成立, 若存在,求实数 ? 的取值范围;若不存在,请说明理由。 16、已知抛物线 C : y 2 ? 2 px? p ? 0? ,直线 l 与抛物线 C 相交于 A, B 两点,连接 A 及抛物线顶点 O 的直线交准线于 B? , 连接 B 及 O 的直线交准线于 A? , 并且 AA? 与 BB? 都平行于 x 轴。 (I)证明:直线 l 过顶点; (II)求四边形 AB B?A? 的面积的最小值。


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