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高中数学常见思想方法总结


高中常见数学思想方法
方法一 函数与方程的思想方法
函数是中学数学的一个重要概念, 它渗透在数学的各部分内容中, 一直是高考的热点、 重点内容.函数的思想, 就是用运动变化的观点,分析和研究具体问题中的数量关系,建立函数特征,重在对问题的变量的动态研究,从 变量的运动变化、联系和发展角度拓宽解题思路.方程的思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中 的

条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组) ,然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问 题获解. 函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面: 一是借助有关初等函数的性质, 解有关求值、 解(证) 不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数, 把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.有时,还实现函数与方程的互相转 化、接轨,达到解决问题的目的. 【例 1】 设等差数列 ?an ? 的前 n 项的和为 S n ,已知 a3 ? 12, S12 ? 0, S13 ? 0 . (1)求公差 d 的取值范围; (2)指出 S1 、 S 2 、?、 S12 中哪一个值最大,并说明理由. 【分析】 (1)利用公式 an 与 S n 建立不等式,容易求解 d 的范围; (2)利用 S n 是 n 的二次函数,将 S n 中哪 一个值最大,变成求二次函数中 n 为何值时 S n 取最大值的函数最值问题. 【解】 (1) 由 a3 = a1 ? 2d =12,得到 a1 =12-2 d , 所以 S12 =12 a1 +66 d =12(12-2 d )+66 d =144+42 d ? 0,

S13 =13 a1 +78 d =13(12-2 d )+78 d =156+52 d ? 0.
解得: ?

24 ? d ? ?3 . 7

(2)解法一: (函数的思想)

1 1 5 S n = na1 ? n(n ? 1)d ? dn2 ? (12 ? d )n 2 2 2
d? 1? 24 ? ? d ? 1 ? 24 ? ? = ?n ? ? 5 ? ?? ? ? ? 5 ? ?? 2? 2? d ?? 2 ? 2 ? d ??
2 2 2

? 1? 24 ? ? 因为 d ? 0 ,故 ? n ? ? 5 ? ? 最小时, S n 最大. 2? d ?? ? ?

? 1? 24 ? ? 1? 24 ? 24 由? ? d ? ?3 得 6 ? n ? ? 5 ? ? ? 6.5 ,故正整数 n =6 时 ? n ? ? 5 ? ? ? 最小,所以 S 6 最大. 2? d ?? 2? d ? 7 ?
解法二: (方程的思想) 由 d ? 0 可知 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a13 . 因此,若在 1 ? n ? 12 中存在自然数 n ,使得 an ? 0 , an ?1 ? 0 , 则 S n 就是 S1 , S 2 , ? , S n 中的最大值.

2

d ? ? a6 ? 0 ? S12 ? 0 ?a1 ? 5d ? ? ? 0 , ?? ?? 2 ? ? a7 ? 0 ? S13 ? 0 ? a1 ? 6d ? 0 ?
故在 S1 、 S 2 、?、 S12 中 S 6 的值最大. 【点评】 数列的通项公式及前 n 项和公式实质上是定义在自然数集上的函数,因此可利用函数思想来分析, 即用函数方法来解决数列问题;也可以利用方程的思想,利用不等式关系,将问题进行算式化,从而简洁明快. 由此可见,利用函数与方程的思想来解决问题,要求灵活地运用、巧妙的结合,发展了学生思维品质的深刻性、 独创性. 【例 1】 在平面直角坐标系 xoy 中,如图,已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左右顶点为 A,B,右顶点为 F,设过点 T 9 5

( t, m )的直线 TA,TB 与椭圆分别交于点 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 ) ,其中 m>0, y1 ? 0, y 2 ? 0 (1)设动点 P 满足 PF ? PB ? 4 ,求点 P 的轨迹;
2 2

(2)设 x1 ? 2, x 2 ?

(3)设 t ? 9 ,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐标与 m 无关). A 【解】 (1)由题意知 F (2,0) , A(3,0) ,设 P( x, y ) ,则

1 ,求点 T 的坐标; 3

O

F

B

( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 4
化简整理得 x ?

9 . 2 1 5 1 20 代人椭圆方程分别求出 M (2, ) , N ( , ) 3 3 3 9


(2)把 x1 ? 2 , x 2 ? 直线 AM : y ?

1 ( x ? 3) 3

直线 BN : y ? ?

5 ( x ? 3) 6



①、②联立得 T ? 7, (3) T (9, m) , 直线 TA : y ?

? 10 ? ?. ? 3?

3(m 2 ? 80) 40 m , 2 ) ( x ? 3) ,与椭圆联立得 M (? 2 12 m ? 80 m ? 80 3(m 2 ? 20) 20 m ,? 2 ) ( x ? 3) ,与椭圆联立得 N ( 2 6 m ? 20 m ? 20
40 20 ? ? 3( m 2 ? 20) ? m 2 ? 80 m 2 ? 20 ?x? ?, 2 2 3(m ? 80) 3( m ? 20) ? m 2 ? 20 ? ? ? m 2 ? 80 m 2 ? 20

直线 TB : y ?

20 ? 直线 MN : y ? 2 m ? 20

化简得 y ?

20 10 ? 3(m2 ? 20) ? ?? 2 x? ? ? m2 ? 20 m ? 40 ? m2 ? 20 ?

令 y ? 0 ,解得 x ? 1 ,即直线 MN 过 x 轴上定点 (1,0) . 【点评】 本题主要考查求简单曲线的方程,考查直线与椭圆的方程等基础知识,考查运算求解能力和探究问 题的能力.而且,本题在解决问题时,无论求点的坐标,还是求点 P 的轨迹方程,都灵活运用了方程的思想,特别 是在证明过程中更是很好地利用方程的有关知识,使问题画繁为简,华难为易.

方法二

数形结合的思想方法

正确利用数形结合,应注意三个原则: (1)等价性原则 数形信息的转换应该是等价的、充要的.要注意由于图形的直观性,往往可以成为严格推证的启导,但有时不 能完整表现数的一般性,考虑问题可能不完备. (2)双向性原则 数形结合的含意是双向的,即考虑问题既注意代数问题几何化,也注意几何问题代数化,而不仅仅指前者. (3)简单性原则 有了解题思路,思考用几何方法,还是代数方法,还是两者兼而用之,要取决于解题的简单性原则,而不能 形而上学地让几何问题代数化,代数问题几何化成为一种机械模式.

运用数形结合的思想方法解题的途径主要有三条: 第一,以形助数:把一些数式的几何意义明朗化,构造出解题的几何模型,突显问题的直观性,使解题思路 变得形像而通畅; 第二,以数助形:利用几何图形或图像图表中隐含的数式特征,构造出解题的代数模型(必要时建立坐标系), 突显问题的本质,另辟解题的捷径; 第三,数形互助:根据问题的需要,将以形助数和以数助形二方面结合运用. 数形结合的应用是广泛的,数与形的结合点主要集中在以下几个方面: 1.研究函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性、值域与最值等),可从函数图像的直观性得到鲜明的 启示. 2.利用数轴与坐标系(包括直角坐标系、极坐标系),使数与点对应,使函数与图像、方程与曲线结合,使代 数与几何联结.这样,可利用坐标或向量的运算,探索几何图形的相关性质;利用函数图像与方程曲线的直观性, 探索函数或方程的性质. 3.从统计图表、图像中,收集分析出“数”的信息,由破译的数量关系建立代数模型,探索相关的结论.这类 数形信息的转换能力是近年高考的新亮点. 4.三角函数与单位圆、三角函数曲线的联系. 5.复平面与复数、向量的沟通. 6.利用类比法、换元法(如三角换元)、构造法、坐标法等构造代数问题的几何模型、几何问题的代数模型, 开辟解题的新思路. 【例 1】 (12 年上海模拟)若函数 y ? f ( x)( x ? R) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且 x ? [?1,1] 时, f ( x ) ? 1 ? x 2 ,

?lg( x ? 1), ? 1 ? 函数 g ( x ) ? ? ? , ? x ?0, ?

x ?1 x?0 0 ? x ?1
,则函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间 [?5,6] 内的零点个数为_________.

【答案】 9 【解】 由题意,直接求解会很麻烦,且不易得到正确的答案,所以该题中求 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的零点,可 以转化为求 f ( x) 与 g ( x) 两函数图像的交点.则画出 f ( x) 与 g ( x) 的图像,由于 f ( x) 在 x ? [?1,1] 上为 f ( x ) ? 1 ? x2 , 且为周期函数,周期为 2,而 g ( x) 是分段函数,注意其图像共分为三部分,如图,可等共有 9 个交点,其中有一个易错 点,即其中 1 个交点为(1,0)很容易被遗漏.

【点评】 要求 h( x) ? f ( x) ? h( x) 在区间 [?5,6] 内的零点的个数,可转化为求 f ( x) 与 h( x ) 交点的个数, 可以作出图形,观察图形易得交点的个数.本题体现了数形结合的思想,正是运用数形结合的思想方法解题的途径 中的以形助数. 【例2】 函数 y=f(x)的图像为圆心在原点的两段圆弧,试解不等式 f(x)>f(-x)十 x. 【解】 解法一: (以数助形) 由题意及图像,有 f ( x) ? ?

? ? 1? x2 ?? 1 ? x 2 ?

0 ? x ?1 ?1 ? x ? 0
2



(1)当 0<x≤1 时, f(x)>f(-x)+x 得 1 ? x >- 1 ? ( ? x ) +x, 解得 0<x<
2

2 5 ; 5

(2)当-1≤x<0 时, 得- 1 ? x > 1 ? ( ? x ) +x, 解得-1≤x<-
2

2

2 5 , 5

∴ 原不等式的解集为[-1, - 解法二: (数形互助)

2 5 2 5 )∪(0, ). 5 5

由图象知 f(x)为奇函数,∴ 原不等式为 f(x)>

x 2 5 x ,而方程 f(x)= 的解为 x=± ,据图像可知原不等 5 2 2

式解集为[-1, -

2 5 2 5 )∪(0, ). 5 5

【点评】 本题以形看数(解式,奇偶性) ,以数解形(曲线交点 A、B) ,最后以形解数(不等式) ,这才是真 正意义上的数形结合,扬长避短.

方法三

分类讨论的思想方法

1.通常引起分类讨论的原因,大致可归纳为如下几点: (1)涉及的数学概念是分类定义的; (2)涉及运算的数学定义、公式或运算性质、法则是分类给出的; (3)涉及题中所给的限制条件或研究对像的性质而引起的; (4)涉及数学问题中参变量的不同取值导致不同结果而引起的; (5)涉及的几何图形的形状、位置的变化而引起的;

(6)一些较复杂或非常规的数学问题,需要采用分类讨论的解题策略解决的. 2.分类讨论的步骤一般可分为以下几步: (1)确定讨论的对像及其范围; (2)确定分类讨论的标准,正确进行分类; (3)逐类讨论,分级进行; (4)归纳整合,作出结论. 其中最重要的一条是“不漏不重”.学生必须对相关知识点或涉及的概念、定义、定理相当清楚,对于一些结 论成立的条件掌握牢固,这样才能在解题时思路清晰,才能知道何时必须进行分类讨论,而何时无须讨论,从而 可以知道怎样进行分类讨论. 【例 1】 (12 年上海二模)点 Q( x, y ) 是函数 y ? 距离的最小值是______________. 【答案】

x2 ? 1 图像上的任意一点,点 P(0,5) ,则 P 、 Q 两点之间 2

11

【解】 ①当

x2 x2 2 ? 1 ? 0 时, y ? 1 ? , PQ ? x 2 ? ( y ? 5) 2 ? ( y ? 6) 2 ? 9 . 2 2

y ? 6 ? ?3 时,即 y=9 或 y=3, PQ 取最小值 0,但 x 2 ? 2 ? 2 y 都为负数,∴不成立;

x2 x2 2 ? 1 ? 0 时, y ? ? 1 , PQ ? x 2 ? ( y ? 5) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 11 .当 y=4 时, PQ 取最小值为 11 .综上 ②当 2 2
所述, P 、 Q 两点之间距离的最小值为 11 . 【点评】 由于题中给出的是绝对值函数,需要利用分类讨论的思想去掉绝对值,然后再求解.体现了数学概 念是分类定义的而引起的分类讨论.

【例 2】设等比数列 {an } 的公比为 q ,前 n 项和 Sn ? 0(n ? 1, 2,3,?) ,求 q 的取值范围. 【分析】在应用等比数列前 n 项和的公式时,由于公式的要求,分 q =1 和 q ≠1 两种情况. 【解】? {an } 是等比数列,且前 n 项和 Sn ? 0(n ? 1, 2,3,?) ,

? a1 ? S1 ? 0 ,且 q ? 0
当 q ? 1 时, Sn ? na1 ? 0 ;

当 q ? 1 时, S n ?

a1 (1 ? q n ) 1 ? qn ? 0 ,即 ? 0(n ? 1, 2,3,?) . 1? q 1? q
?1 ? q n ? 0 ①或 ? ? 1? q ? 0
②,

?1 ? q n ? 0 上式等价于 ? ? 1? q ? 0

由①得 q ? 1 ,由②得 ?1 ? q ? 1 ,

? q 的取值范围为 ? ?1, 0 ? ? ? 0, ?? ? .
【点评】本题正是分类讨论中运算的数学定义、公式或运算性质、法则是分类给出的体现. 【例 4】已知实数 a ? 0 ,函数 f ? x ? ? ? 【答案】

? 2 x ? a, x ? 1, 若 f ?1 ? a ? ? f ?1 ? a ? ,则 a 的值为________. ?? x ? 2a, x ? 1.

?

3 4

【解】首先讨论 1 ? a , 1 ? a 与 1 的关系. 当 a ? 0 时, 1 ? a ? 1 , 1 ? a ? 1,所以 f ?1 ? a ? ? ? ?1 ? a ? ? 2a ? ?1 ? a ;

f ?1 ? a ? ? 2(1 ? a) ? a ? 3a ? 2 .
因为 f ?1 ? a ? ? f ?1 ? a ? ,所以 ?1 ? a ? 3a ? 2 ,所以 a ? ?

3 ; 4

当 a ? 0 时, 1 ? a ? 1, 1 ? a ? 1,所以 f ?1 ? a ? ? 2 ?1 ? a ? ? a ? 2 ? a ;

f ?1 ? a ? ? ?(1 ? a) ? 2a ? ?3a ? 1 .
因为 f ?1 ? a ? ? f ?1 ? a ? ,所以 2 ? a ? ?3a ? 1 ,所以 a ? ? 综上,满足条件的 a ? ?

3 (舍去). 2

3 . 4

【点评】本题的解题关键在于讨论 1 ? a , 1 ? a 与 1 的关系,正是体现了数学问题中参变量的不同取值导致 不同结果而引起的分类讨论.

方法四

概括归纳的思想方法

概括是在思维中将同一种类型的对像共同的本质属性集中起来, 结合为一般类型的属性.归纳是一种逻辑型的 思维形状,是从几个特殊情形做出一般结论的不完全的属性.一类是性质和法则的归纳,如数列的基本性质,对数 运算的法则的归纳过程;另一类是解题方法的归纳,如向量在物理中的应用等;第三类是归纳猜想,如由表格所 给数据归纳几个连续奇数的和等. 【例 2】在数列{ an }中, a1 =13 ,且前 n 项的算术平均数等于第 n 项的 2 n -1 倍( n ∈N*) .

(1)写出此数列的前 5 项; (2)归纳猜想{ an }的通项公式,并用数学归纳法证明. 【分析】 (1)利用数列{ an }前 n 项的算术平均数等于第 n 项的 2 n -1 倍,推出关系式,通过 n =2,3,4,5 求出此数列的前 5 项; (2)通过(1)归纳出数列{ an }的通项公式,然后用数学归纳法证明.第一步验证 n =1 成立;第二步,假设

n = k 猜想成立,然后证明 n = k ? 1 时猜想也成立.
a ? a2 ? a3 ? ? ? an 1 , 1 = ( 2 n - 1 ) an , 分 别 取 n = 2 , 3 , 4 , 5 , 得 3 n 1 1 1 1 1 1 a2 ? a1 ? ? , a3 ? ? a1 ? a2 ? ? ? , 5 3 ? 5 15 14 5 ? 7 35 1 1 1 1 1 1 a4 ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? , a5 ? ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? , 27 7 ? 9 63 44 9 ?11 99 1 1 1 1 1 所以数列的前 5 项是: a1 ? , a2 ? , a3 ? , a4 ? , a5 ? . 3 15 35 63 99
【解】 ( 1 ) 由 已 知 a1 = (2)由(1)中的分析可以猜想 an ? 下面用数学归纳法证明: ①当 n =1 时,猜想显然成立. ②假设当 n = k ( k ≥1 且 k ∈N*)时猜想成立,即 ak ?

1 ( n ∈N*) . (2n ? 1)(2n ? 1)

1 . (2k ? 1)(2k ? 1)

那么由已知,得

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? (2k ? 1)ak ?1 , k ?1
2 2 2

即 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? (2k ? 3k )ak ?1 .所以 (2k ? k )ak ? (2k ? 3k )ak ?1 , 即 (2k ? 1)ak ? (2k ? 3)ak ?1 ,又由归纳假设,得 (2k ? 1)

1 ? (2k ? 3)ak ?1 , (2k ? 1)(2k ? 1)

所以 ak ?1 ?

1 ,即当 n ? k ? 1 时,猜想也成立. (2k ? 1)(2k ? 3) 1 成立. (2n ? 1)(2n ? 1)

综上①和②知,对一切 n ∈N*,都有 an ?

【点评】 本题考查数列的项的求法,通项公式的猜想与数学归纳法证明方法的应用,注意证明中必须用上假 设,考查计算能力,分析问题解决问题的能力.正是体现了概括归纳的思想方法.

方法五

化归与等价变换的思想方法

在解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难,需将原问题转化成一个新问题(相对来说,对自己 较熟悉的) ,通过对新问题的求解,达到解决原问题的目的.这一思想方法我们称之为“转换化归思想”.而转换化 归思想的基本原则就是:化难为易,化生为熟,化繁为简,化未知为已知.? 1.利用转换化归思想解决数学问题时必须明确三个问题: (1)把什么东西进行转换化归,即化归对像; (2)化归转换到何处,即化归转换的目的; (3)如何进行转换化归,即转换化归的方法. 2. 化归与转化常遵循以下几个原则. (1)目标简单化原则:将复杂的问题向简单的问题转化; (2)和谐统一性原则:即化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐,在量、形关系上趋于统一的方向 进行,使问题的条件和结论更均匀和恰当; (3)熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决; (4)直观化原则:将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决; (5)正难则反原则:即当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探求,使问题 获解. 3.转化与化归常用到的方法 (1)直接转化法:把问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题. (2)换元法:运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等,把较复杂的函数、方程、不等式问题转 化为易于解决的基本问题. (3)数形结合法:研究原问题中数量关系(解式)与空间形式(图形)关系,通过互相变换获得转化途径. (4)构造法: “构造”一个合适的数学模型,把问题变为易于解决的问题. (5)坐标法:以坐标系为工具,用计算方法解决几何问题,是转化方法的一个重要途径. (6)类比法:运用类比推理,猜测问题的结论,易于确定转化途径. (7)特殊化方法:把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的结论适合原问题. (8)等价问题法:把原问题转化为一个易于解决的等价命题,达到转化目的. (9)加强命题法:在证明不等式时,原命题难以得证,往往把命题的结论加强,即命题的结论加强为原命题

的充分条件,反而能将原命题转化为一个较易证明的命题,比如在证明不等式时:原命题往往难以得证,这时常 把结论加强,使之成为原命题的充分条件,从而易证. (10)补集法:如果下面解决原问题有困难,可把原问题结果看作集合 A,而包含该问题的整体问题的结果 类比为全集 U,通过解决全集 U 及补集 使原问题得以解决.

化归与等价变换的思想方法所涉及到的具体问题很多很多,如果不断努力地用这种方法去解决一些数学问题 或数学范畴以外的问题时,往往会出现事半功倍的奇特效果. 【例 1】 【解】 设 x 、 y ∈R 且 3x ? 2 y ? 6 x ,求 x ? y 的范围.
2 2 2 2

方法一:等价转化法(转化为函数问题)
2 2

由 6 x ? 2 y ? 3x ≥0 得 0≤ x ≤2. 设 k ? x ? y ,则 y ? k ? x ,代入已知等式得: x ? 6 x ? 2k ? 0 ,
2 2 2 2

2

即k ? ?

1 2 x ? 3x ,其对称轴为 x =3. 2

由 0≤ x ≤2 得 k ∈[0,4]. 所以 x ? y 的范围是:0≤ x ? y ≤4.
2 2 2 2

方法二:数形结合法(转化为解几何问题) :

y2 由 3x ? 2 y ? 6 x 得 ? x ? 1? ? ? 1 ,即表示如图所示椭圆,其一个顶点在坐标原点. x 2 ? y 2 的范围就是 3 2
2 2

2

椭圆上的点到坐标原点的距离的平方.由图可知最小值是 0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点. 设圆方程为 x ? y ? k ,代入椭圆中消 y 得 x ? 6 x ? 2k ? 0 .由判别式 ? ? 36 ? 8k ? 0 得 k ? 4 ,所以 x ? y 的
2 2

2

2

2

范围是: 0 ? x ? y ? 4 .
2 2

方法三: 三角换元法,对已知式和待求式都可以进行三角换元(转化为三角问题) :

? x ? 1 ? cos ? y2 ? ? 1 ,设 ? 由 3x ? 2 y ? 6 x 得 ? x ? 1? ? ,则 6 3 sin ? ?y ? ? 2 2 3 3 1 x 2 ? y 2 ? 1 ? 2cos ? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? ? 2cos ? ? cos 2 ? 2 2 2 1 5 ? ? cos 2 ? ? 2cos ? ? ? ?0, 4? 2 2
2 2

2

所以 x ? y 的范围是: 0 ? x ? y ? 4 .
2 2 2 2

【点评】本题运用多种方法进行解答,实现了多种角度的转化,联系了多个知识点,有助于提高发散思维能 力.而且各种方法的运用,分别将代数问题转化为了其它问题,属于问题转换题型,正是体现了熟悉化原则,将不 熟悉的知识转化为自己熟悉的知识. 【例 2】设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1、Sn、Sn+2 成等差数列,则 q=___________. 【答案】-2 【解】 S 2 ? a1 ? a1 q , S1 ? a1 , S3 ? a1 ? a1q ? a1q ∵ S 2 ? S 3 ? 2S1
2
2

∴ 2a1 ? 2a1 q ? a1 q ? 2a1 (a1≠0)

∴ q ? ?2 或 q ? 0 (舍去). 【点评】 由于该题为填空题,我们不防用特殊情况来求 q 的值.如: S2 , S1 , S3 成等差,求 q 的值.这样就避 免了一般性的复杂运算.既体现简单化原则,也是特殊化方法的使用,正是转化与化归的思想方法的典型体现。 【例 4】 对于满足 p ? 2 的所有实数 p ,求使不等式 x ? px ? 1 ? 2 x ? p 恒成立的 x 取值范围. 【解】 原不等式化为 ( x ? 1) p ? ( x ? 1) ? 0 ,令 f ( p) ? ( x ? 1) p ? ( x ? 1) ,它是关于 p 的一次函数,定
2 2

义域为 [?2,2] 。由依次函数的单调性知 ? 解得: x ? ?1 或 x ? 3

? f (?2) ? ( x ? 1)( x ? 3) ? 0 ? f (2) ? ( x ? 1)( x ? 1) ? 0

【点评】 本题正是利用主元与参变量的关系, 视参变量为主元 (即变量与主元的角色换位) ,简化问题在求解, 正是转化与化归思想的典型体现.


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